4-توصیفات ریاضی میدان الکترومغناطیسی

فرمول‌بندی‌های جبر هندسی

مشابه فرمول‌بندی تانسور، دو شیء، یکی برای میدان الکترومغناطیسی و دیگری برای چگالی جریان ، معرفی می‌شوند. در جبر هندسی (GA) این‌ها چندبردارها هستند که گاهی اوقات از حساب ریکی پیروی می‌کنند .

جبر فضای فیزیکی

[ ویرایش ]

در جبر فضای فیزیکی (APS)، که با نام جبر کلیفورد نیز شناخته می‌شود $C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )$ ، میدان و جریان توسط چند برداری نمایش داده می‌شوند.

بردار چندگانه میدان، که به عنوان بردار ریمان-سیلبرشتاین شناخته می‌شود ، عبارت است از $\mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k}،$ و چندبردار چهار جریانی به صورت زیر است: $c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}$ با استفاده از مبنای متعامد $\{\sigma _{k}\}$ به طور مشابه، واحد شبه اسکالر به صورت زیر است : $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ ، به دلیل این واقعیت که مبنای مورد استفاده متعامد است. این بردارهای پایه جبر ماتریس‌های پائولی را به اشتراک می‌گذارند ، اما معمولاً با آنها برابر نیستند، زیرا اشیاء متفاوتی با تفاسیر متفاوت هستند.

پس از تعریف مشتق $\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$

معادلات ماکسول به معادله واحد [ 3 ] کاهش می‌یابند.

معادلات ماکسول (فرمول‌بندی APS)

$\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right) \mathbf {F} = \mu _{0}c(c\rho - \mathbf {J}).}$

در حالت سه‌بعدی، مشتق ساختار ویژه‌ای دارد که امکان معرفی یک ضرب خارجی را فراهم می‌کند: $\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$ که از آن به راحتی می‌توان دید که قانون گاوس بخش اسکالر، قانون آمپر-ماکسول بخش برداری، قانون فارادی بخش شبه برداری و قانون گاوس برای مغناطیس بخش شبه اسکالر معادله است. پس از بسط و بازآرایی، می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

$\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$

جبر فضازمان

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: جبر فضازمان § الکترومغناطیس کلاسیک

می‌توانیم APS را به عنوان یک زیرجبر از جبر فضازمان (STA) شناسایی کنیم. $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$ ، تعریف کننده $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ و $I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ . (این) $\gamma _{\mu }$ s همان خواص جبری ماتریس‌های گاما را دارند اما نمایش ماتریسی آنها مورد نیاز نیست. مشتق اکنون به صورت زیر است:. $\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$

ریمان-سیلبرشتاین به یک بایوکتور تبدیل می‌شود

$F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-\gamma _{0}-\gamma _{0}-\gamma _{3}+B^{2}\گاما _{3}\گاما _{1}+B^{3}\گاما _{1}\گاما _{2})،$ و چگالی بار و جریان به یک بردار تبدیل می‌شوند

$J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).$

به دلیل هویت

$\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$

معادلات ماکسول به معادله واحدی کاهش می‌یابند

معادلات ماکسول (فرمول‌بندی STA)

$\nabla F=\mu _{0}cJ.$

رویکرد فرم‌های دیفرانسیلی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرم دیفرانسیل و جبر خارجی

در ادامه، از واحدهای cgs-گاوسی استفاده شده است ، نه واحدهای SI . (برای تبدیل به SI، اینجا را ببینید .) طبق نمادگذاری انیشتین ، ما به طور ضمنی مجموع تمام مقادیر شاخص‌هایی را که می‌توانند در یک بعد تغییر کنند، در نظر می‌گیریم.

فرم فیلد ۲

[ ویرایش ]

در فضای آزاد ، که در آن ε = ε0 و μ = μ0 در همه جا ثابت هستند، معادلات ماکسول با استفاده از زبان هندسه دیفرانسیل و فرم‌های دیفرانسیلی، به طور قابل توجهی ساده می‌شوند . میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی اکنون به طور مشترک توسط یک فرم F دوبعدی در یک منیفولد فضا-زمان چهاربعدی توصیف می‌شوند . تانسور فارادی $F_{\mu \nu }$ ( تانسور الکترومغناطیسی ) را می‌توان به صورت یک فرم ۲-گانه در فضای مینکوفسکی با امضای متریک (− + + +) به صورت زیر نوشت:

$\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$

که مشتق خارجی چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است

$\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$

معادلات بدون منبع را می‌توان با عمل مشتق خارجی بر روی این فرم دوبعدی نوشت. اما برای معادلات با جملات منبع

( قانون گاوس و معادله آمپر-ماکسول )، دوگان هاج این فرم دوبعدی مورد نیاز است. عملگر ستاره هاج یک فرم p را به فرم a ( n - p ) می‌برد، که در آن n تعداد ابعاد است. در اینجا، فرم دوبعدی ( F ) را می‌گیرد و فرم دوبعدی دیگری (در چهار بعد، n - p = 4-2 = 2 ) می‌دهد. برای بردارهای کتانژانت پایه، دوگان هاج به صورت زیر داده می‌شود ( به عملگر ستاره هاج § چهار بعدی مراجعه کنید )

${\star}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,$ و غیره. با استفاده از این روابط، دوگان فرم ۲ فارادی، تانسور ماکسول است

$\displaystyle \star \mathbf \F \mathrm \d} \t-B_{y} \t-B_{z ...$

جریان ۳ حالته، جریان دوگانه ۱ حالته

[ ویرایش ]

در اینجا، شکل سه-گانه J ، شکل جریان الکتریکی یا شکل سه-گانه جریان نامیده می‌شود

$\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$

با توجه به اینکه F یک فرم بسته است و مشتق خارجی دوگان هاج آن ، فرم 3-فعلی است، معادلات ماکسول را به صورت زیر بیان کنید: [ 4 ]

معادلات ماکسول

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$

$\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J}$

در اینجا d نشان دهنده مشتق خارجی است - یک عملگر دیفرانسیلی مستقل از مختصات طبیعی و متریک که روی فرم‌ها عمل می‌کند، و عملگر ستاره هاج (دوگان)⋆ ${\star }$ یک تبدیل خطی از فضای ۲-فرم به فضای (۴-۲)-فرم است که توسط متریک در فضای مینکوفسکی تعریف می‌شود (در چهار بعد، حتی توسط هر متریک منطبق با این متریک ). میدان‌ها در واحدهای طبیعی هستند که در آن

۱/(۴πε۰ ) = ۱

است .

از آنجا که d ^2 = 0 است، فرم سوم J، پایستگی جریان ( معادله پیوستگی ) را برآورده می‌کند:

$\mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.$ شکل سه بعدی جریان را می‌توان روی یک ناحیه فضا-زمان سه بعدی انتگرال‌گیری کرد. تعبیر فیزیکی این انتگرال، بار موجود در آن ناحیه در صورت فضامانند بودن آن ناحیه است، یا مقدار باری است که در یک بازه زمانی مشخص از یک سطح عبور می‌کند، در صورتی که آن ناحیه یک سطح فضامانند باشد. از آنجایی که مشتق خارجی روی هر منیفولدی تعریف می‌شود ، نسخه فرم دیفرانسیلی اتحاد بیانکی برای هر منیفولدی چهار بعدی منطقی است، در حالی که معادله منبع در صورتی تعریف می‌شود که منیفولد جهت‌دار باشد و متریک لورنتس داشته باشد. به طور خاص، نسخه فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول، یک فرمول‌بندی راحت و شهودی از معادلات ماکسول در نسبیت عام است.

نکته: در بسیاری از متون، نمادگذاری‌ها $\mathbf {J}$ و ${\star }\mathbf {J}$ جابجا می‌شوند، به طوری که $\mathbf {J}$ یک فرم ۱-شکلی است که جریان نامیده می‌شود و ${\star }\mathbf {J}$ یک شکل سه‌تایی است که جریان دوگانه نامیده می‌شود. [ 5 ]

تأثیر ماکروسکوپی خطی ماده

[ ویرایش ]

در یک نظریه خطی و ماکروسکوپی، تأثیر ماده بر میدان الکترومغناطیسی از طریق تبدیل خطی کلی‌تر در فضای 2-فرم توصیف می‌شود. ما آن را ... می‌نامیم. $C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}$ تبدیل ساختاری. نقش این تبدیل با تبدیل دوگانگی هاج قابل مقایسه است. معادلات ماکسول در حضور ماده به صورت زیر در می‌آیند: $\mathrm {d} \mathbf {F} =0$ $\mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J}$ که در آن، فرم سه‌گانه‌ی فعلی J همچنان معادله‌ی پیوستگی dJ = 0 را ارضا می‌کند .

وقتی میدان‌ها به صورت ترکیب‌های خطی (از ضرب‌های خارجی ) از فرم‌های پایه θ i بیان شوند ،. $\mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.$ رابطه‌ی سازنده به این شکل درمی‌آید $G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}$ که در آن ضرایب میدان و ضرایب ساختاری برای جابجایی اندیس‌های هر یک، ضدجابجایی هستند. به طور خاص، عملگر ستاره هاج که در مورد فوق استفاده شد، با در نظر گرفتن بدست می‌آید. $\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$ بر حسب نمادگذاری شاخص تانسوری نسبت به یک مبنای (نه لزوماً متعامد) ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ در فضای

$V=T_{p}M$ و مبنای دوگانه آن $\{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}$ در $V^{*}=T_{p}^{*}M$ با داشتن ماتریس ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ و ماتریس معکوس آن $(g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )$ ، و $\varepsilon _{abpq}$ نماد لوی-چیویتا با $\varepsilon _{1234}=1$ تا مقیاس‌بندی، این تنها تانسور ثابت از این نوع است که می‌تواند با متریک تعریف شود.