حالت های کوانتومی به عنوان بردار

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرمول بندی ریاضی مکانیک کوانتومی ، نماد Bra-ket ، و عملگر موقعیت

در یک لحظه خاص از زمان، تمام مقادیر تابع موج Ψ( x , t ) اجزای یک بردار هستند. تعداد نامحدودی از آنها وجود دارد و از ادغام به جای جمع استفاده می شود. در نماد Bra–ket ، این بردار نوشته شده است{\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}و به عنوان "بردار حالت کوانتومی" یا به سادگی "حالت کوانتومی" نامیده می شود. چندین مزیت برای درک توابع موج به عنوان نمایش عناصر یک فضای برداری انتزاعی وجود دارد:

  • از تمام ابزارهای قدرتمند جبر خطی می توان برای دستکاری و درک توابع موج استفاده کرد. به عنوان مثال:
    • جبر خطی توضیح می‌دهد که چگونه می‌توان به یک فضای برداری مبنای داد و سپس هر بردار در فضای برداری را می‌توان بر اساس آن بیان کرد. این رابطه بین یک تابع موج در فضای موقعیت و یک تابع موج در فضای تکانه را توضیح می دهد و نشان می دهد که احتمالات دیگری نیز وجود دارد.
    • از نماد Bra–ket می توان برای دستکاری توابع موج استفاده کرد.
  • این ایده که حالات کوانتومی بردارهایی در یک فضای برداری انتزاعی هستند در تمام جنبه های مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی کاملاً کلی است ، در حالی که این ایده که حالت های کوانتومی توابع "موجی" با ارزش پیچیده فضا هستند، تنها در شرایط خاصی صادق است.

پارامتر زمان اغلب سرکوب می شود و در ادامه خواهد آمد. مختصات x یک شاخص پیوسته است. |​ x 〉 بردارهای نامناسبی نامیده می شوند که بر خلاف بردارهای مناسبی که قابل نرمال سازی تا واحد هستند، فقط می توانند به یک تابع دلتای دیراک نرمال شوند. [ nb 3 ] [ nb 4 ] [ 29 ]

{\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}بنابراین

{\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}{\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }

که عملگر همانی را روشن می کند

.{\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}

که مشابه رابطه کامل بودن مبنای متعارف در فضای هیلبرت N بعدی است.

یافتن عملگر همانی در یک مبنا، به حالت انتزاعی اجازه می‌دهد که به صراحت در یک مبنا بیان شود، و بیشتر (محصول داخلی بین دو بردار حالت و سایر عملگرها برای مشاهده‌پذیرها را می‌توان در مبنا بیان کرد).