مقدار انتظار

می توان نشان داد که مقدار انتظاری هامیلتونی که مقدار انتظار انرژی را می دهد همیشه بزرگتر یا مساوی با حداقل پتانسیل سیستم خواهد بود.

محاسبه مقدار انتظاری انرژی جنبشی را در نظر بگیرید:

{\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left( {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({ \left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\ چپ({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={ \frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2} \,dx\geq 0\end{تراز شده}}}

بنابراین مقدار انتظاری انرژی جنبشی همیشه غیر منفی است. این نتیجه را می توان برای محاسبه مقدار انتظاری کل انرژی که برای یک تابع موج نرمال شده به صورت زیر داده می شود استفاده کرد:

{\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}( ایکس)}

که اثبات را کامل می کند. به طور مشابه، شرط را می توان با استفاده از قضیه واگرایی به هر ابعاد بالاتر تعمیم داد .