مقادیر انتظاری عملگرها روی Ψ

[ ویرایش ]

مقدار انتظار (معادل میانگین یا مقدار متوسط) میانگین اندازه گیری یک قابل مشاهده برای ذره در ناحیه R است . ارزش انتظار{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }از اپراتور{\displaystyle {\hat {A}}}محاسبه می شود از: [ 3 ]

{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\ psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}

این را می توان به هر تابع F از یک عملگر تعمیم داد:

{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\ چپ ({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}

یک مثال از F، عمل 2 برابری A روی ψ است ، یعنی مجذور کردن یک عملگر یا انجام آن دو بار:

{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A} }^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\ vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}

اپراتورهای هرمیت

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور خود الحاقی

تعریف اپراتور هرمیتی عبارت است از: [ 1 ]

{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}

به دنبال این، در نماد bra–ket:

{\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left| {\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}

ویژگی های مهم اپراتورهای هرمیتین عبارتند از:

  • مقادیر ویژه واقعی،
  • بردارهای ویژه با مقادیر ویژه متفاوت متعامد هستند ،
  • بردارهای ویژه را می توان به عنوان یک مبنای متعارف کامل انتخاب کرد ،

عملگرها در مکانیک ماتریس

[ ویرایش ]

یک عملگر را می توان به صورت ماتریسی نوشت تا یک بردار پایه را به بردار دیگر نگاشت. از آنجایی که عملگرها خطی هستند، ماتریس یک تبدیل خطی (معروف به ماتریس انتقال) بین پایه ها است. هر عنصر پایهϕj{\displaystyle \phi _{j}}را می توان با عبارت [ 3 ] به دیگری متصل کرد :

{\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}

که یک عنصر ماتریسی است:

{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\پایان{pmatrix}}}

ویژگی دیگر عملگر هرمیتی این است که توابع ویژه مربوط به مقادیر ویژه مختلف متعامد هستند. [ 1 ] در شکل ماتریسی، عملگرها اجازه می‌دهند مقادیر ویژه واقعی، مربوط به اندازه‌گیری‌ها، پیدا شوند. متعامد بودن به مجموعه پایه مناسبی از بردارها اجازه می دهد تا وضعیت سیستم کوانتومی را نشان دهند. مقادیر ویژه عملگر نیز مانند ماتریس مربع، با حل چند جمله ای مشخصه ارزیابی می شود :

{\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}

جایی که I ماتریس هویت n × n است ، به عنوان یک عملگر با عملگر هویت مطابقت دارد. برای یک مبنای گسسته:

{\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}

در حالی که به صورت مستمر:

{\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }

معکوس یک اپراتور

[ ویرایش ]

یک عملگر غیر تکیا{\displaystyle {\hat {A}}}معکوس دارد{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}تعریف شده توسط:

{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}} }

اگر عملگر معکوس نداشته باشد، یک عملگر منفرد است. در یک فضای محدود، یک عملگر غیر مفرد است اگر و فقط اگر تعیین کننده آن غیر صفر باشد:

{\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}

و از این رو دترمینان برای یک عملگر منفرد صفر است.

جدول عملگرهای QM

[ ویرایش ]

عملگرهای مورد استفاده در مکانیک کوانتومی در جدول زیر جمع آوری شده اند (به عنوان مثال [ 1 ] [ 4 ] را ببینید ). بردارهای پررنگ با محیط فلکس بردار واحد نیستند ، آنها عملگرهای 3 بردار هستند. هر سه مولفه فضایی با هم.

اپراتور (نام/های مشترک)جزء دکارتیتعریف کلیواحد SIبعد
موقعیت{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}}{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!}متر[L]
تکانهژنرال

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{ y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{تراز شده}}}

ژنرال

{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}

J sm −1 = N s[M] [L] [T] -1
میدان الکترومغناطیسی

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p }}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}

میدان الکترومغناطیسی ( از تکانه جنبشی استفاده می کند ؛ A ، پتانسیل برداری)

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{تراز شده}}\،\!}

J sm −1 = N s[M] [L] [T] -1
انرژی جنبشیترجمه

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{ \partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{ \frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{تراز شده}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\ &={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}

جی[M] [L] 2 [T] -2
میدان الکترومغناطیسی

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x }}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left( -i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}

میدان الکترومغناطیسی ( A ، پتانسیل برداری )

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\ &={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{تراز شده}}\,\!}

جی[M] [L] 2 [T] -2
چرخش ( I ، ممان اینرسی )

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\ \{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{تراز شده}}\,\!}

چرخش

{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}[ نیازمند منبع ]

جی[M] [L] 2 [T] -2
انرژی بالقوهN/A{\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r},t\right)=V\,\!}جی[M] [L] 2 [T] -2
کل انرژیN/Aپتانسیل وابسته به زمان:

{\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}

مستقل از زمان:
E^=E{\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}

جی[M] [L] 2 [T] -2
همیلتونیان {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf { \hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{تراز شده}}\،\!}جی[M] [L] 2 [T] -2
عملگر حرکت زاویه ای{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y} \right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right )\end{تراز شده}}}{\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla }J s = N sm[M] [L] 2 [T] -1
حرکت زاویه ای را بچرخانید{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={ \hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}

کجا

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0& -i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{تراز شده}}}

ماتریس های پائولی برای ذرات اسپین 1/2 هستند .

{\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!}

که σ برداری است که اجزای آن ماتریس های پائولی هستند.

J s = N sm[M] [L] 2 [T] -1
تکانه زاویه ای کل{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\ کلاه {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf { r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}J s = N sm[M] [L] 2 [T] -1
گشتاور دوقطبی انتقال (الکتریکی){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat { y}}،&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{تراز شده}}}{\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }سی متر[I] [T] [L]

نمونه هایی از کاربرد عملگرهای کوانتومی

[ ویرایش ]

روش استخراج اطلاعات از تابع موج به شرح زیر است. تکانه p یک ذره را به عنوان مثال در نظر بگیرید. عملگر تکانه در موقعیت در یک بعد عبارت است از:

{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}

با اجازه دادن به این عمل روی ψ بدست می آوریم:

{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}

اگر ψ یک تابع ویژه از{\displaystyle {\hat {p}}}، سپس مقدار ویژه تکانه p مقدار تکانه ذره است که توسط:

{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}

برای سه بعد عملگر تکانه از عملگر nabla استفاده می کند تا تبدیل شود:

{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}

در مختصات دکارتی (با استفاده از بردارهای پایه دکارتی استاندارد e x , e y , e z ) می توان این را نوشت.

{\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{ y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\ mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}

یعنی:

{\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\ hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\،\!}

فرآیند یافتن مقادیر ویژه یکسان است. از آنجایی که این یک معادله بردار و عملگر است، اگر ψ یک تابع ویژه باشد، هر جزء از عملگر تکانه دارای مقدار ویژه مربوط به آن جزء تکانه خواهد بود. بازیگری {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }در ψ بدست می آید:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{تراز شده} }\،\!}

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)