از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

نباید با نماد bra-ket ، که به عنوان نماد دیراک نیز شناخته می شود، اشتباه گرفت.

براکت دیراک تعمیم براکت پواسون است که توسط پل دیراک [ 1 ] برای درمان سیستم‌های کلاسیک با محدودیت‌های دسته دوم در مکانیک همیلتونی توسعه یافته است و بنابراین به آنها اجازه می‌دهد تا تحت کوانتیزه‌سازی متعارف قرار گیرند . این بخش مهمی از توسعه دیراک در مکانیک همیلتونی است که با ظرافت به لاگرانژیان عمومی تر رسیدگی کند . به طور خاص، زمانی که محدودیت ها در دسترس هستند، به طوری که تعداد متغیرهای ظاهری از متغیرهای دینامیکی بیشتر شود. [ 2 ] به طور انتزاعی تر، دو شکلی که از براکت دیراک نشان داده شده است، محدودیت شکل سمپلتیک به سطح محدودیت در فضای فاز است . [ 3 ]

این مقاله با فرض آشنایی با فرمالیسم های لاگرانژی و همیلتونی استاندارد و ارتباط آنها با کوانتیزاسیون متعارف است . جزئیات فرمالیسم همیلتونی اصلاح شده دیراک نیز برای قرار دادن براکت دیراک در متن خلاصه شده است.

ناکافی بودن روش استاندارد همیلتونی

[ ویرایش ]

توسعه استاندارد مکانیک هامیلتونی در چندین موقعیت خاص ناکافی است:

  1. زمانی که لاگرانژ حداکثر در سرعت حداقل یک مختصات خطی باشد. در این صورت، تعریف تکانه متعارف منجر به یک محدودیت می شود . این شایع ترین دلیل برای متوسل شدن به براکت دیراک است. به عنوان مثال، لاگرانژی (چگالی) برای هر فرمیون به این شکل است.
  2. هنگامی که درجات آزادی سنج (یا غیر فیزیکی دیگر) وجود دارد که باید اصلاح شوند.
  3. وقتی هر محدودیت دیگری وجود دارد که فرد بخواهد در فضای فاز اعمال کند.

نمونه ای از لاگرانژی خطی در سرعت

[ ویرایش ]

یک مثال در مکانیک کلاسیک ، ذره ای با بار q و جرم m محدود به صفحه x - y با میدان مغناطیسی عمود بر همگن و ثابت قوی است، بنابراین در جهت z با قدرت B اشاره می کند . [ 4 ]

لاگرانژی برای این سیستم با انتخاب مناسب پارامترها می باشد

{\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}})،}

که→الف پتانسیل برداری میدان مغناطیسی است ،→ب; c سرعت نور در خلاء است. و V(→r) یک پتانسیل اسکالر خارجی دلخواه است. به راحتی می توان آن را در x و y درجه دوم گرفت ، بدون از دست دادن کلیت. استفاده می کنیم

{\displaystyle {\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})}

به عنوان پتانسیل برداری ما؛ این مربوط به یک میدان مغناطیسی یکنواخت و ثابت B در جهت z است . در اینجا، کلاه ها بردارهای واحد را نشان می دهند. با این حال، در ادامه مقاله، از آنها برای تشخیص عملگرهای مکانیکی کوانتومی از آنالوگ‌های کلاسیک آنها استفاده می‌شود. کاربرد باید از روی زمینه مشخص باشد.

به صراحت، لاگرانژی برابر است با فقط

{\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c} }(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}

که منجر به معادلات حرکت می شود

{\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}}

{\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.}

برای یک پتانسیل هارمونیک، گرادیان V فقط به مختصات، -( x ، y ) می رسد .

اکنون، در حد یک میدان مغناطیسی بسیار بزرگ، qB / mc ≫ 1 . سپس می‌توان عبارت جنبشی را حذف کرد تا یک لاگرانژی ساده تقریبی تولید شود.

{\displaystyle L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}

با معادلات حرکت مرتبه اول

{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}

{\displaystyle {\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.}

توجه داشته باشید که این لاگرانژی تقریبی در سرعت ها خطی است ، که یکی از شرایطی است که در آن روش استاندارد همیلتونی شکسته می شود. در حالی که این مثال به عنوان یک تقریب انگیزه داده شده است، لاگرانژی مورد بررسی مشروع است و به معادلات حرکت ثابت در فرمالیسم لاگرانژی منجر می شود.

با این حال، به دنبال روش همیلتونی، لحظه‌های متعارف مرتبط با مختصات اکنون هستند

{\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y}

{\displaystyle p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,}

که از این جهت غیرمعمول هستند که نسبت به سرعت ها معکوس نیستند. در عوض، آنها محدود هستند تا توابعی از مختصات باشند: چهار متغیر فضای فاز به صورت خطی وابسته هستند، بنابراین مبنای متغیر بیش از حد کامل است .

دگرگونی لژاندر سپس هامیلتونی را تولید می کند

{\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x, y).}

توجه داشته باشید که این همیلتونی "ساده لوح" هیچ وابستگی به لحظه ندارد ، به این معنی که معادلات حرکت (معادلات همیلتون) ناسازگار هستند.

رویه همیلتونی شکست خورده است. ممکن است با حذف دو جزء از فضای فاز 4 بعدی، مثلاً y و p y ، به یک فضای فاز کاهش یافته از 2 بعد، که گاهی مختصات را به صورت لحظه و گاهی به صورت مختصات بیان می کند، سعی کنید مشکل را برطرف کنید. با این حال، این نه یک راه حل کلی و نه دقیق است. این به اصل موضوع می‌پردازد: اینکه تعریف لحظه‌ای متعارف مستلزم محدودیت در فضای فاز (بین لحظه و مختصات) است که هرگز در نظر گرفته نشد.

روش همیلتونی تعمیم یافته

[ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، اگر سیستم دارای محدودیت‌های هولونومیک باشد، به طور کلی ضریب‌های لاگرانژ را به لاگرانژ اضافه می‌کنیم تا آنها را محاسبه کنیم. شرایط اضافی زمانی که محدودیت ها برآورده می شوند ناپدید می شوند، در نتیجه مسیر عمل ساکن را مجبور می کند روی سطح محدودیت قرار گیرد. در این مورد، رفتن به فرمالیسم همیلتونی محدودیتی را در فضای فاز در مکانیک همیلتونی معرفی می کند، اما راه حل مشابه است.

قبل از ادامه، درک مفاهیم برابری ضعیف و برابری قوی مفید است . دو تابع در فضای فاز، f و g ، در صورتی که در صورت برآورده شدن قیود مساوی با یکدیگر ضعیف باشند ، اما نه در کل فضای فاز ، که f ≈ g نشان داده شده است . اگر f و g مستقل از قیود برآورده شده برابر باشند، آنها را به شدت برابر می نامند، f = g نوشته می شود . توجه به این نکته ضروری است که برای به دست آوردن پاسخ صحیح، نمی توان از معادلات ضعیف قبل از ارزیابی مشتقات یا براکت های پواسون استفاده کرد .

روش جدید به شرح زیر عمل می کند، با یک لاگرانژ شروع کنید و لحظه های متعارف را به روش معمول تعریف کنید. برخی از این تعاریف ممکن است معکوس نباشند و در عوض محدودیتی در فضای فاز ایجاد کنند (مانند بالا). محدودیت هایی که از این طریق به دست می آیند یا از ابتدای مسئله اعمال می شوند، محدودیت های اولیه نامیده می شوند . قیود، با برچسب φj ، باید ضعیف ناپدید شوند، φj ( p ,q ) ≈ 0 .

در مرحله بعد، همیلتونی ساده‌لوح ، H را به روش معمول از طریق تبدیل لژاندر، دقیقاً مانند مثال بالا، پیدا می‌کنیم . توجه داشته باشید که همیلتونی را همیشه می توان تنها به عنوان تابعی از q s و p s نوشت، حتی اگر سرعت ها را نتوان به تابع های لحظه ای معکوس کرد.

تعمیم همیلتونی

[ ویرایش ]

دیراک استدلال می کند که ما باید همیلتونی (تا حدودی مشابه روش ضرب کننده های لاگرانژ) را به تعمیم دهیم.

{\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\تقریبا H،}

که در آن c j ثابت نیستند بلکه توابعی از مختصات و لحظه هستند. از آنجایی که این همیلتونی جدید، کلی‌ترین تابع مختصات و گشتاور ضعیفی برابر با همیلتونی ساده است، H * وسیع‌ترین تعمیم همیلتونی ممکن است به طوری که δH * ≈ δH وقتی δφ j ≈ 0 .

برای روشن کردن بیشتر cj ، در نظر بگیرید که چگونه معادلات حرکت را از همیلتونی ساده در روش استاندارد بدست می آوریم. یکی تنوع همیلتونی را به دو صورت گسترش می‌دهد و آنها را برابر می‌کند (با استفاده از یک نماد مختصر با شاخص‌ها و جمع‌های سرکوب‌شده):

{\displaystyle \delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}} \delta p-{\dot {p}}\delta q~,}

که در آن برابری دوم پس از ساده سازی با معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ و تعریف تکانه متعارف برقرار است. از این برابری، معادلات حرکت در فرمالیسم همیلتونی استنباط می شود

{\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p} }-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,}

که در آن نماد برابری ضعیف دیگر به صراحت نمایش داده نمی شود، زیرا طبق تعریف معادلات حرکت فقط ضعیف هستند. در شرایط فعلی، نمی توان ضرایب δq و δp را به طور جداگانه روی صفر قرار داد، زیرا تغییرات تا حدودی توسط محدودیت ها محدود می شوند. به ویژه، تغییرات باید مماس بر سطح محدودیت باشد.

می توان نشان داد که راه حل برای

{\displaystyle \sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}

برای تغییرات δq n و δp n محدود شده توسط قیود Φ j ≈ 0 (با فرض اینکه محدودیت ها برخی از شرایط نظم را برآورده می کنند) به طور کلی [ 5 ] است .

{\displaystyle A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}}}

{\displaystyle B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},}

که در آن u m توابع دلخواه هستند.

با استفاده از این نتیجه، معادلات حرکت تبدیل می شود

{\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\جزئی q_{j}}}}

{\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \ فی _{k}}{\ p_{j}}}}

{\displaystyle \phi _{j}(q,p)=0,}

که در آن u k توابعی از مختصات و سرعت هستند که در اصل از معادله دوم حرکت بالا قابل تعیین هستند.

تبدیل لژاندر بین فرمالیسم لاگرانژی و فرمالیسم همیلتونی به قیمت افزودن متغیرهای جدید ذخیره شده است.