از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از Oblate spheroid )

کروی با محورهای چرخشی عمودی
اربعینبزرگ کردن

کروی که به نام بیضی چرخشی یا بیضی چرخشی نیز شناخته می شود ، سطح چهارگانه ای است که از چرخش یک بیضی حول یکی از محورهای اصلی آن به دست می آید. به عبارت دیگر، یک بیضی با دو نیمه قطر مساوی . کروی دارای تقارن دایره ای است .

اگر بیضی حول محور اصلی خود بچرخد ، نتیجه یک کروی پرولاتی است که مانند توپ راگبی کشیده شده است . فوتبال آمریکایی شبیه به هم است اما انتهایی نوک تیزتر از یک کروی دارد. اگر بیضی حول محور کوچک خود بچرخد ، نتیجه یک کروی مایل است که مانند یک عدس یا یک M&M ساده صاف شده است . اگر بیضی مولد یک دایره باشد، نتیجه یک کره است .

به دلیل اثرات ترکیبی گرانش و چرخش ، شکل زمین (و تمام سیارات ) کاملاً یک کره نیست، اما در عوض در جهت محور چرخش خود کمی مسطح شده است. به همین دلیل، در نقشه‌برداری و ژئودزی، زمین اغلب به‌جای یک کره، با یک کروی مایل، معروف به بیضی مرجع تقریب می‌شود . مدل کنونی سیستم ژئودتیک جهانی از کروی استفاده می کند که شعاع آن 6378.137 کیلومتر (3963.191 مایل) در استوا و 6356.752 کیلومتر (3949.903 مایل) در قطب است .

کلمه کروی در اصل به معنای "یک جسم تقریباً کروی" بود که بی نظمی ها را حتی فراتر از شکل بیضی دو یا سه محوری می پذیرفت. به این ترتیب است که این اصطلاح در برخی از مقالات قدیمی تر در مورد ژئودزی استفاده می شود (برای مثال، اشاره به انبساط هارمونیک کروی کوتاه مدل ژئوپتانسیل گرانشی زمین ). [ 1 ]

معادله

[ ویرایش ]

تخصیص نیم محورها بر روی یک کروی. اگر c < a (سمت چپ) و اگر c > a (راست) متمایل است .

معادله یک بیضی سه محوری در مرکز مبدا با نیم محورهای a , b و c که در امتداد محورهای مختصات تراز شده اند

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1.}

معادله کروی با z به عنوان محور تقارن با تنظیم a = b به دست می آید :

{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}

نیم محور a شعاع استوایی کروی است و c فاصله مرکز تا قطب در امتداد محور تقارن است. دو مورد احتمالی وجود دارد:

  • c < a : کروی پهن
  • c > a : پرولات کروی

مورد a = c به یک کره کاهش می یابد.

خواص

[ ویرایش ]

منطقه

[ ویرایش ]

یک کروی مایل با c < a دارای مساحت سطح است

{\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right) =2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}

کروی مایل به چرخش حول محور z یک بیضی با محور نیمه اصلی a و نیمه فرعی c ایجاد می شود ، بنابراین e ممکن است به عنوان خروج از مرکز شناسایی شود . (به بیضی مراجعه کنید .) [ 2 ]

یک کروی پرولاتی با c > a دارای مساحت سطح است

{\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where }}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}

کروی پرولاتی با چرخش حول محور z یک بیضی با محور نیمه اصلی c و محور نیمه فرعی a ایجاد می شود . بنابراین، e ممکن است دوباره به عنوان خروج از مرکز شناسایی شود . (به بیضی مراجعه کنید .) [ 3 ]

این فرمول ها از این نظر یکسان هستند که فرمول S Oblate را می توان برای محاسبه مساحت سطح یک کروی پرولات و بالعکس استفاده کرد. با این حال، e پس از آن خیالی می‌شود و دیگر نمی‌توان مستقیماً آن را با گریز از مرکز شناسایی کرد. هر دوی این نتایج را می‌توان با استفاده از هویت‌های ریاضی استاندارد و روابط بین پارامترهای بیضی به شکل‌های بسیار دیگری تبدیل کرد.

حجم

[ ویرایش ]

حجم داخل یک کروی (از هر نوعی) است

{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}

اگر A = 2 a قطر استوایی و C = 2 c قطر قطبی باشد، حجم برابر است.

{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\prox 0.523A^{2}C.}

انحنا

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: شعاع زمین § شعاع انحنا

اجازه دهید یک کروی به صورت پارامتری شود

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}

که β عرض جغرافیایی کاهش یافته یا عرض جغرافیایی پارامتری است ، λ طول جغرافیایی است و -⁠π/2< β < + ⁠π/2⁠ و

−π < λ < +π . سپس، انحنای گوسی کروی است

{\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\ cos ^{2}\beta \right)^{2}}}،}

و میانگین انحنای آن است

{\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\ beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}

هر دوی این انحناها همیشه مثبت هستند، به طوری که هر نقطه روی یک کروی بیضوی است.

نسبت ابعاد

[ ویرایش ]

نسبت ابعاد یک کروی مایل به بیضی، c : a ، نسبت طول قطب به استوایی است، در حالی که مسطح شدن (همچنین مایل بودن نامیده می شود ) f ، نسبت اختلاف طول استوایی-قطبی به طول استوایی است:

{\displaystyle f={\frac {ac}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}

اولین خروج از مرکز (معمولاً خارج از مرکز، مانند بالا) اغلب به جای مسطح کردن استفاده می شود. [ 4 ] به این صورت تعریف می شود:

{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}

روابط بین گریز از مرکز و مسطح شدن عبارتند از:

{\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}

تمام بیضی‌های ژئودتیکی مدرن با محور نیمه اصلی به اضافه محور نیمه فرعی (با دادن نسبت ابعاد)، مسطح شدن یا اولین خروج از مرکز تعریف می‌شوند. در حالی که این تعاریف از نظر ریاضی قابل تعویض هستند، محاسبات دنیای واقعی باید دقت خود را از دست بدهند. برای جلوگیری از سردرگمی، یک تعریف بیضوی مقادیر خود را به شکلی که می دهد دقیق می داند.

وقوع و کاربردها

[ ویرایش ]

رایج‌ترین شکل‌ها برای توزیع چگالی پروتون‌ها و نوترون‌ها در یک هسته اتمی ، کروی ، پرولاتی و کروی مایل هستند ، که در آن محور قطبی، محور اسپین (یا جهت بردار تکانه زاویه‌ای اسپین ) در نظر گرفته می‌شود. اشکال هسته ای تغییر شکل یافته در نتیجه رقابت بین دافعه الکترومغناطیسی بین پروتون ها، کشش سطحی و اثرات پوسته کوانتومی رخ می دهد .

اسفروئیدها در کشت سلولی سه بعدی رایج هستند . کروی های تعادلی دوار شامل کروی ماکلورین و بیضی ژاکوبی هستند . کروی نیز شکلی از آثار باستان شناسی است.

کروی های ابری

[ ویرایش ]

سیاره مشتری یک کروی مایل اندک با مسطح شدن 0.06487 است.

کروی مایل به شکل تقریبی سیارات در حال چرخش و دیگر اجرام آسمانی از جمله زمین، زحل ، مشتری و ستاره به سرعت در حال چرخش Altair است . زحل با 0.09796 مسطح ترین سیاره در منظومه شمسی است . برای جزئیات بیشتر به صاف شدن سیاره و برآمدگی استوایی مراجعه کنید .

دانشمند روشنگری ، اسحاق نیوتن ، که از آزمایش‌های آونگ ژان ریچر و نظریه‌های کریستیان هویگنز برای تفسیر آنها کار می‌کرد، استدلال کرد که مشتری و زمین به دلیل نیروی گریز از مرکز ، کروی‌های مات هستند . [ 5 ] [ 6 ] سیستم های نقشه برداری و ژئودتیک متنوع زمین بر پایه بیضی های مرجع هستند که همگی به صورت مایل هستند.

کروی پرولاته

[ ویرایش ]

یک توپ راگبی

کروی پرولاتی شکل تقریبی توپ در چندین ورزش است، مانند توپ راگبی .

چندین قمر منظومه شمسی به شکل تقریبی کروی های منقطع هستند، اگرچه آنها در واقع بیضی های سه محوری هستند . به عنوان مثال می توان به ماهواره های زحل میماس ، انسلادوس ، و تتیس و میراندا اورانوس اشاره کرد .

بر خلاف انحراف به کروی های مایل از طریق چرخش سریع، اجرام آسمانی هنگامی که به دور جسم عظیمی در مداری نزدیک می چرخند، از طریق نیروهای جزر و مدی، اندکی به کروی های پرولاتی تغییر شکل می دهند. افراطی ترین مثال، قمر مشتری Io است که در مدار خود به دلیل یک خروج از مرکز کمی بیشتر یا کمتر متمایل می شود و باعث آتشفشان شدید می شود . محور اصلی کروی پرولاتی در این مورد از طریق قطب های ماهواره نمی گذرد، بلکه از طریق دو نقطه روی استوای آن که مستقیماً به سمت و دور از اصلی قرار دارند می گذرد. این امر با اعوجاج اریب کوچکتر ناشی از چرخش همزمان ترکیب می شود و باعث می شود که بدنه سه محوری شود.

این اصطلاح همچنین برای توصیف شکل برخی از سحابی ها مانند سحابی خرچنگ استفاده می شود . [ 7 ] مناطق فرنل ، که برای تجزیه و تحلیل انتشار امواج و تداخل در فضا استفاده می‌شوند، مجموعه‌ای از کروی‌های پرولات متحدالمرکز با محورهای اصلی هستند که در امتداد خط دید مستقیم بین فرستنده و گیرنده قرار دارند.

هسته اتمی عناصر اکتینید و لانتانید شبیه کروی های پرولاتی است . [ 8 ] در آناتومی، اندام های نزدیک به کروی مانند بیضه را می توان با محورهای بلند و کوتاه آنها اندازه گیری کرد . [ 9 ]

بسیاری از زیردریایی ها شکلی دارند که می توان آن را به عنوان کروی پرولات توصیف کرد. [ 10 ]

خواص دینامیکی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: بیضوی § خواص دینامیکی

برای کروی که چگالی یکنواخت دارد، ممان اینرسی ممان بیضی با محور تقارن اضافی است. با توجه به توصیف یک کروی که دارای یک محور اصلی c و محورهای فرعی a = b است ، گشتاورهای اینرسی در امتداد این محورهای اصلی عبارتند از C ، A و B. با این حال، در یک کروی، محورهای کوچک متقارن هستند. بنابراین، شرایط اینرسی ما در امتداد محورهای اصلی عبارتند از: [ 11 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac { 1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{تراز شده}}}

که در آن M جرم بدن است که به صورت تعریف شده است

{\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Spheroid#Oblate_spheroids