مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ای

کاربرد خاصی از مفهوم عملگر نردبانی در درمان مکانیکی کوانتومی تکانه زاویه ای یافت می شود . برای یک بردار تکانه زاویه ای کلی J با مولفه های J x ، J y و J z یکی دو عملگر نردبانی را تعریف می کند [3]

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}

جایی که i واحد مختلط است .

رابطه کموتاسیون بین مولفه های دکارتی هر عملگر تکانه زاویه ای با استفاده از

{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}

که در آن ε ijk نماد لوی-سیویتا است و هر یک از i ، j و k می توانند هر یک از مقادیر x ، y و z را بگیرند .

از این، روابط جابجاگر بین عملگرهای نردبان و J z به دست می آید:

{\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}] &=2\hbar J_{z}\end{تراز شده}}}

(از نظر فنی، این جبر لی است {\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}).

خواص عملگرهای نردبانی را می توان با مشاهده اینکه چگونه عمل عملگر Jz را در یک حالت مشخص تغییر می دهند تعیین کرد:

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{ \pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\& =\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{تراز شده}}}

این نتیجه میدهد

{\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}

بنابراین، یکی نتیجه می گیرد که {\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}مقداری اسکالر ضربدر است{\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}:

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle & =\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{تراز شده}}}

این ویژگی تعیین کننده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد: افزایش (یا کاهش) یک عدد کوانتومی، در نتیجه نگاشت یک حالت کوانتومی به حالت دیگر. به همین دلیل است که آنها اغلب به عنوان اپراتورهای افزایش و کاهش شناخته می شوند.

برای به دست آوردن مقادیر α و β ، ابتدا هنجار هر عملگر را بگیرید، با تشخیص اینکه J + و J- یک جفت مزدوج هرمیتی هستند .{\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}):

{\displaystyle {\begin{تراز شده}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_ {+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2} ,\\&\langle j\,m|J_{-}^{\ خنجر }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\ ,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\بتا |^{2}.\end{تراز شده} }}

حاصل ضرب عملگرهای نردبانی را می توان بر حسب جفت رفت و آمد J 2 و J z بیان کرد :

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2} +J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+ }J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[ J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{تراز شده}}}

بنابراین، می توان مقادیر | را بیان کرد α | 2 و | β | 2 بر حسب مقادیر ویژه J 2 و J z :

{\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2} m=\hbar ^{2}(jm)(j+m+1)،\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2} m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{تراز شده}}}

فازهای α و β از نظر فیزیکی مهم نیستند، بنابراین می توان آنها را مثبت و واقعی انتخاب کرد ( کنوانسیون فاز کاندون - شورتلی ). سپس داریم [4]

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(jm)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j +m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{تراز شده}}}

تأیید اینکه m با مقدار j محدود شده است {\displaystyle -j\leq m\leq j})، یک نفر دارد

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{تراز شده} }}

نمایش فوق در واقع ساخت ضرایب کلبش-گوردان است .

https://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_operator