تکامل یک کاردیوئید [ ویرایش ]

یک کاردیوئید

تکامل کاردیوئید

یک نقطه P; مرکز انحنای آن M; و دایره ارتعاشی آن

تکامل یک منحنی محل مراکز انحنا است. در جزئیات: برای یک منحنی{\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}با شعاع انحنا{\displaystyle \rho (s)}تکامل نشان می دهد

{\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).} با{\displaystyle {\vec {n}}(ها)}واحد مناسب جهت گیری معمولی است.

برای یک کاردیوئید دریافت می شود:

فرگشت یک کاردیوئید کاردیوئید دیگری است، یک سوم بزرگتر و رو به جهت مخالف (ص. تصویر) .

اثبات [ ویرایش ]

برای کاردیوئید با نمایش پارامتریک

{\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}

{\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi } واحد نرمال است

{\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )} و شعاع انحنا

2.

{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.} از این رو معادلات پارامتری تکامل هستند

{\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\ varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi } {2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}

{\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\ varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi } {2}}\sin \varphi \,.} این معادلات یک کاردیوئید را به اندازه یک سوم توصیف می کنند که 180 درجه چرخیده و در امتداد محور x جابجا شده است.{\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}.

(از فرمول های مثلثاتی استفاده شد:{\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\ sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac { \varphi }{2}}،\ \cos \varphi =\cdots \ .})

مسیرهای متعامد [ ویرایش ]

کاردیوئیدهای متعامد

خط سیر متعامد یک مداد منحنی منحنی است که هر منحنی مداد را به صورت متعامد قطع می کند. برای کاردیوئیدها موارد زیر صادق است:

مسیرهای متعامد مداد کاردیوئیدها با معادلات

{\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ } کاردیوئیدها با معادلات هستند

{\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}

(مداد دوم را می توان به عنوان بازتاب در محور y مداد اول در نظر گرفت. نمودار را ببینید.)

اثبات [ ویرایش ]

برای منحنی داده شده در مختصات قطبی توسط یک تابع{\displaystyle r(\varphi )}اتصال زیر به مختصات دکارتی برقرار است:

{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned }}}

و برای مشتقات

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\ frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{تراز شده}}}

با تقسیم معادله دوم بر معادله اول، شیب دکارتی خط مماس به منحنی در نقطه به دست می آید.{\displaystyle (r(\varphi),\varphi )}:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}

برای کاردیوئیدها با معادلات{\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}و{\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }به ترتیب یکی دریافت می کند:

{\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}} و

{\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\ varphi )}}\ .}

(شیب هر منحنی به این بستگی دارد{\displaystyle \varphi }فقط و نه روی پارامترها{\displaystyle a}یا{\displaystyle b}!)

از این رو

{\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\ cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\ varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.} یعنی: هر منحنی مداد اول هر منحنی مداد دوم را به صورت متعامد قطع می کند.

4 کاردیوئید در بازنمایی قطبی و موقعیت آنها در دستگاه مختصات