خواص متریک [ ویرایش ]

برای کاردیوئید همانطور که در بالا تعریف شده است، فرمول های زیر وجود دارد:

  • مساحت {\displaystyle A=6\pi a^{2}}،
  • طول کمان{\displaystyle L=16a}و
  • شعاع انحنا .{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}

شواهد این اظهارات در هر دو مورد از نمایش قطبی کاردیوئید استفاده می کنند. برای فرمول های مناسب به سیستم مختصات قطبی (طول قوس) و سیستم مختصات قطبی (مساحت) مراجعه کنید.

اثبات فرمول مساحت

{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3} {2}}\pi =6\pi a^{2}.}

اثبات فرمول طول قوس

{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _ {0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}

اثبات شعاع انحنا

شعاع انحنا{\displaystyle \rho }یک منحنی در مختصات قطبی با معادله{\displaystyle r=r(\varphi )}است (s. انحنا )

{\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2 }}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ . }

برای کاردیوئید{\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}یکی می گیرد

.

{\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac { 3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac { \varphi }{2}}\ .}

خواص [ ویرایش ]

آکورد یک کاردیوئید

آکورد از طریق قله [ ویرایش ]

C1

آکوردهای از طریق کاسپ کاردیوئید طول یکسانی دارند{\displaystyle 4a}.

C2

نقاط میانی آکوردها از طریق کاسپ در محیط دایره مولد ثابت قرار دارند (تصویر را ببینید) .

اثبات C1 [ ویرایش ]

نقاط{\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}بر روی یک وتر از طریق کاسپ (= مبدأ) هستند . از این رو

{\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\ varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{تراز شده}}.}

اثبات برای C2 [ ویرایش ]

برای اثبات از نمایش در صفحه مختلط (به بالا مراجعه کنید) استفاده می شود. برای امتیازات

{\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)} و

{\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\ right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}

نقطه وسط آکوردپس{\displaystyle PQ}است

{\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }} که در محیط دایره با نقطه وسط قرار دارد{\displaystyle -a}و شعاع{\displaystyle a}(تصویر را ببینید).

کاردیوئید به عنوان منحنی معکوس سهمی [ ویرایش ]

کاردیوئید تولید شده از وارونگی یک سهمی در سراسر دایره واحد (خطوط)

نوشتار اصلی: هندسه معکوس

کاردیوئید منحنی معکوس سهمی است که کانون آن در مرکز وارونگی است (نمودار را ببینید)

برای مثال نشان داده شده در نمودار، دایره های مولد دارای شعاع هستند{\textstyle a={\frac {1}{2}}}. از این رو کاردیوئید نمایش قطبی دارد

{\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi } و منحنی معکوس آن

{\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }}،} که یک سهمی (s. parabola در مختصات قطبی ) با معادله است {\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}در مختصات دکارتی

نکته: هر منحنی معکوس سهمی کاردیوئید نیست. به عنوان مثال، اگر سهمی در دایره‌ای که مرکز آن در راس سهمی قرار دارد معکوس شود ، نتیجه یک سیسوئید از Diocles است .

کاردیوئید به عنوان پاکت مداد دایره ای [ ویرایش ]

کاردیوئید به عنوان پاکت مداد دایره ای

در بخش قبل، اگر مماس های سهمی را معکوس کنیم، مدادی از دایره در مرکز وارونگی (منشا) به دست می آید. بررسی دقیق نشان می دهد: نقاط میانی دایره ها در محیط دایره مولد ثابت قرار دارند. (دایره مولد منحنی معکوس جهت سهمی است.)

این ویژگی باعث ایجاد روش ساده زیر برای کشیدن یک کاردیوئید می شود:

  1. یک دایره انتخاب کنید{\displaystyle c}و یک نکته{\displaystyle O}در محیط آن،
  2. رسم دایره های حاوی{\displaystyle O}با مراکز روی {\displaystyle c}، و
  3. پاکت این دایره ها را بکشید.

اثبات با شرایط پاکت

پاکت مداد منحنی های تلویحی داده شده

{\displaystyle F(x,y,t)=0} با پارامتر{\displaystyle t}از چنین نکاتی تشکیل شده است{\displaystyle (x,y)}که راه حل های سیستم غیر خطی هستند

{\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,} که شرط پاکت است . توجه داشته باشید که{\displaystyle F_{t}}به معنای مشتق جزئی برای پارامتر است{\displaystyle t}.

اجازه دهید{\displaystyle c}دایره با نقطه وسط باشد{\displaystyle (-1,0)}و شعاع{\displaystyle 1}. سپس{\displaystyle c}دارای نمایش پارامتریک است{\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}. مداد دایره‌هایی که در مرکز قرار دارند{\displaystyle c}حاوی نقطه{\displaystyle O=(0,0)}می توان به طور ضمنی توسط

{\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,} که معادل است

{\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.} شرط پاکت دوم است

{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.} به راحتی می توان نقاط کاردیوئید را با نمایش پارامتریک بررسی کرد

{\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t} سیستم غیر خطی بالا را برآورده کنید. پارامتر{\displaystyle t}با پارامتر زاویه کاردیوئید یکسان است.

کاردیوئید به عنوان پاکت مداد خطوط [ ویرایش ]

کاردیوئید به عنوان پاکت یک مداد از خطوط

یک روش مشابه و ساده برای کشیدن کاردیوئید از یک مداد خطوط استفاده می کند . این به دلیل L. Cremona است :

  1. یک دایره بکشید، محیط آن را به قسمت های مساوی تقسیم کنید{\displaystyle 2N}نقاط (تصویر) و آنها را به طور متوالی شماره گذاری کنید.
  2. آکوردها را بکشید:{\splaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\ نقطه}. (یعنی نقطه دوم با سرعت دو برابر حرکت می کند.)
  3. پاکت این آکوردها کاردیوئید است.

نسل کرمونا از یک کاردیوئید

اثبات [ ویرایش ]

در نظر زیر از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }،⁡{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }،{\displaystyle 1+\cos 2\alpha }،{\displaystyle \cos 2\alpha }، و{\displaystyle \sin 2\alpha }. به منظور ساده نگه داشتن محاسبات، اثبات برای کاردیوئید با نمایش قطبی ارائه شده است {\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}( § کاردیوئیدها در موقعیت های مختلف ).

معادله مماس کاردیوئید با نمایش قطبی r = 2 (1 + cos 𝜑 ) [ ویرایش ]

از نمایش پارامتریک

{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{تراز شده}}}

یکی بردار معمولی را دریافت می کند{\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}. معادله مماس {\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (xx(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (yy(\varphi ))=0}است:

{\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi)^{2}\,. }

با کمک فرمول های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر{\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }، معادله مماس را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

{\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left( \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}

معادله وتر دایره با نقطه میانی ( 1, 0 ) و شعاع 3 [ ویرایش ]

برای معادله خط مقطعی که از دو نقطه می گذرد{\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}یکی می گیرد:

{\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta)y=-2\cos \theta -\sin(2\theta)\,.}

با کمک فرمول های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر{\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }معادله خط سکانت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y= 4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}