از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مثلث سرپینسکی

با استفاده از یک الگوریتم تصادفی تولید شده است

مثلث سرپینسکی در منطق: 16 پیوند اول استدلال های مرتب شده از نظر لغوی . ستون‌هایی که به‌عنوان اعداد باینری تفسیر می‌شوند، 1، 3، 5، 15، 17، 51 را به دست می‌دهند (توالی A001317 در OEIS )

مثلث سرپینسکی (گاهی اوقات املای سرپینسکی )، همچنین به نام واشر سرپینسکی یا غربال سرپینسکی ، یک مجموعه ثابت جذاب فراکتال با شکل کلی مثلث متساوی الاضلاع است که به صورت بازگشتی به مثلث های متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم می شود . در اصل به عنوان یک منحنی ساخته شده است، این یکی از نمونه های اساسی مجموعه های خود مشابه است - یعنی یک الگوی ریاضی ایجاد شده است که در هر بزرگنمایی یا کاهش قابل تکرار است. این نام به افتخار ریاضیدان لهستانی واکلو سرپینسکی گرفته شده است ، اما قرن ها قبل از کار سرپینسکی به عنوان یک الگوی تزئینی ظاهر شده است.

ساخت و سازها [ ویرایش ]

راه های مختلفی برای ساخت مثلث سیرپینسکی وجود دارد.

حذف مثلث ها [ ویرایش ]

مثلث سیرپینسکی ممکن است از یک مثلث متساوی الاضلاع با حذف مکرر زیر مجموعه های مثلثی ساخته شود:

  1. با مثلث متساوی الاضلاع شروع کنید.
  2. آن را به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم کنید و مثلث مرکزی را بردارید.
  3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر باقی مانده تا بی نهایت تکرار کنید.

سیر تکاملی مثلث سیرپینسکی

هر مثلث حذف شده ( ترما ) از نظر توپولوژیکی یک مجموعه باز است . [1] این فرآیند حذف بازگشتی مثلث ها نمونه ای از قانون تقسیم فرعی محدود است .

کوچک شدن و تکرار [ ویرایش ]

توالی مشابهی از اشکال، که به مثلث سرپینسکی همگرا می شوند، می توانند با مراحل زیر تولید شوند:

  1. با هر مثلثی در یک صفحه شروع کنید (هر منطقه بسته و محدود در هواپیما در واقع کار خواهد کرد). مثلث متعارف سرپینسکی از یک مثلث متساوی الاضلاع با پایه موازی با محور افقی استفاده می کند (تصویر اول).
  2. مثلث را کوچک کنید تا1/2ارتفاع و1/2عرض، سه کپی بگیرید و سه مثلث کوچک شده را طوری قرار دهید که هر مثلث دو مثلث دیگر را در یک گوشه لمس کند (تصویر 2). به ظهور سوراخ مرکزی توجه کنید - زیرا سه مثلث کوچک شده بین آنها فقط می توانند پوشش دهند.3/4از مساحت اصلی. (سوراخ ها یکی از ویژگی های مهم مثلث سیرپینسکی هستند.)
  3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر تکرار کنید (تصویر 3 و غیره).

این فرآیند نامتناهی وابسته به مثلث بودن شکل آغازین نیست - به این ترتیب واضح تر است. برای مثال، چند قدم اول که از یک مربع شروع می‌شود، به سمت مثلث سرپینسکی نیز می‌رود. مایکل بارنسلی در مقاله‌اش «فرکتال‌ها و سوپرفرکتال‌های متغیر V» از تصویری از یک ماهی برای نشان دادن این موضوع استفاده کرد. [2] [3]

تکرار از یک مربع

فراکتال واقعی چیزی است که پس از تعداد بی نهایت تکرار به دست می آید. به طور رسمی تر، آن را از نظر توابع در مجموعه های بسته از نقاط توصیف می کند. اگر اجازه دهیم d A اتساع را با ضریب نشان دهیم1/2در مورد یک نقطه A، سپس مثلث سرپینسکی با گوشه های A، B، و C مجموعه ثابت تبدیل است.دآ∪دب∪دسی{\displaystyle d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}.

این یک مجموعه ثابت جذاب است ، به طوری که وقتی این عملیات به طور مکرر روی هر مجموعه دیگری اعمال می شود، تصاویر در مثلث سرپینسکی همگرا می شوند. این همان چیزی است که با مثلث بالا اتفاق می افتد، اما هر مجموعه دیگری کافی است.

بازی آشوب [ ویرایش ]

ایجاد متحرک مثلث سرپینسکی با استفاده از بازی آشوب

اگر نقطه ای را بگیریم و هر یک از تبدیل های d A ، d B و d C را به طور تصادفی روی آن اعمال کنیم، نقاط حاصل در مثلث سرپینسکی متراکم خواهند بود، بنابراین الگوریتم زیر دوباره به طور دلخواه تقریب های نزدیک به آن ایجاد می کند: [4] ]

با برچسب گذاری p 1 , p 2 و p 3 به عنوان گوشه های مثلث سرپینسکی و یک نقطه تصادفی v 1 شروع کنید . مجموعه v n +1 =1/2( v n + p r n ) ، جایی که r n یک عدد تصادفی 1، 2 یا 3 است. نقاط v 1 تا v ∞ را رسم کنید . اگر اولین نقطه v 1 یک نقطه از مثلث سرپینسکی بود، پس تمام نقاط v n روی مثلث سرپینسکی قرار دارند. اگر اولین نقطه v 1 که در محیط مثلث قرار دارد، نقطه ای از مثلث سرپینسکی نباشد، هیچ یک از نقاط v n روی مثلث سرپینسکی قرار نخواهد گرفت، اما روی مثلث همگرا خواهند شد. اگر v 1 خارج از مثلث باشد، تنها راهی که v n روی مثلث واقعی قرار می گیرد، این است که v n روی قسمتی از مثلث باشد، اگر مثلث بی نهایت بزرگ بود.

یا ساده تر:

  1. سه نقطه از یک صفحه را بگیرید تا یک مثلث تشکیل دهید.
  2. به طور تصادفی هر نقطه ای را در داخل مثلث انتخاب کنید و موقعیت فعلی خود را در نظر بگیرید.
  3. به طور تصادفی یکی از سه نقطه راس را انتخاب کنید.
  4. نیمی از فاصله موقعیت فعلی خود را تا راس انتخاب شده حرکت دهید.
  5. موقعیت فعلی را ترسیم کنید.
  6. از مرحله 3 تکرار کنید.

این روش بازی آشوب نیز نامیده می شود و نمونه ای از یک سیستم عملکرد تکراری است . شما می توانید از هر نقطه بیرون یا داخل مثلث شروع کنید، و در نهایت واشر سرپینسکی را با چند نقطه باقیمانده تشکیل می دهد (اگر نقطه شروع روی طرح کلی مثلث باشد، هیچ نقطه باقیمانده ای وجود ندارد). با مداد و کاغذ، پس از قرار دادن تقریباً صد نقطه، یک طرح کلی شکل می‌گیرد و بعد از چند صد نقطه، جزئیات ظاهر می‌شوند.

ساخت سرپیکان واشر سرپینسکی [ ویرایش ]

ساخت سرپیکان واشر سرپینسکی

ساخت دیگری برای واشر سرپینسکی نشان می دهد که می توان آن را به صورت منحنی در هواپیما ساخت. این توسط فرآیند اصلاح مکرر منحنی های ساده تر، مشابه ساخت دانه برف Koch شکل می گیرد :

  1. با یک پاره خط در صفحه شروع کنید
  2. هر پاره خط منحنی را به طور مکرر با سه بخش کوتاه‌تر جایگزین کنید، در هر نقطه اتصال بین دو بخش متوالی، زاویه‌های 120 درجه ایجاد کنید، با اولین و آخرین بخش منحنی موازی با پاره خط اصلی یا زاویه 60 درجه با آن تشکیل شود.

در هر تکرار، این ساختار یک منحنی پیوسته می دهد. در حد، اینها به منحنی نزدیک می‌شوند که مثلث سیرپینسکی را با یک مسیر هدایت‌شده پیوسته (بی‌نهایت تکان‌دهنده) دنبال می‌کند، که به آن نوک پیکان سرپینسکی می‌گویند . [5] در واقع، هدف مقاله اصلی توسط سرپینسکی در سال 1915، نشان دادن نمونه ای از یک منحنی (یک منحنی کانتورین)، همانطور که عنوان خود مقاله بیان می کند، بود. [6] [7]

اتوماتای ​​سلولی [ ویرایش ]

مثلث سرپینسکی همچنین در اتوماتای ​​سلولی خاصی (مانند قانون 90 )، از جمله موارد مربوط به بازی زندگی کانوی ظاهر می شود . به عنوان مثال، اتومات سلولی شبه زندگی B1/S12 هنگامی که بر روی یک سلول اعمال می شود، چهار تقریب از مثلث سرپینسکی را ایجاد می کند. [8] یک خط بسیار طولانی، یک سلول ضخیم در زندگی استاندارد، دو مثلث سرپینسکی آینه ای ایجاد می کند. نمودار زمان-فضای یک الگوی شبیه ساز در یک اتومات سلولی نیز اغلب شبیه مثلث سرپینسکی است، مانند مثلث مشابه در HighLife. [9] مثلث سرپینسکی را می توان در اتومات Ulam-Warburton و Hex-Ulam-Warburton خودکار نیز یافت. [10]

مثلث پاسکال [ ویرایش ]

تقریب سطح 5 برای مثلث سیرپینسکی که با سایه زدن به 2 5 (32) سطح اول مثلث پاسکال سفید به دست می آید اگر ضریب دوجمله ای زوج و در غیر این صورت سیاه باشد.

اگر یکی مثلث پاسکال را با2�{\displaystyle 2^{n}}ردیف و رنگ اعداد زوج سفید، و اعداد فرد سیاه، نتیجه تقریبی به مثلث سرپینسکی است. به طور دقیق تر، حد نزدیک شدن به n به بی نهایت این برابری رنگی2�{\displaystyle 2^{n}}مثلث پاسکال ردیف مثلث سرپینسکی است. [11]

از آنجایی که نسبت اعداد سیاه با افزایش n به صفر میل می کند ، نتیجه این است که نسبت ضرایب دو جمله ای فرد به سمت صفر میل می کند همانطور که n به بی نهایت میل می کند. [12]

برج های هانوی [ ویرایش ]

پازل برج‌های هانوی شامل حرکت دیسک‌هایی با اندازه‌های مختلف بین سه میخ است و این ویژگی را حفظ می‌کند که هیچ دیسکی روی دیسک کوچک‌تری قرار نمی‌گیرد. حالات یک معمای دیسک n و جابجایی های مجاز از یک حالت به حالت دیگر ، یک نمودار بدون جهت ، نمودار هانوی را تشکیل می دهند که می تواند به صورت هندسی به عنوان نمودار تقاطع مجموعه مثلث های باقی مانده پس از مرحله n در نمودار نمایش داده شود. ساخت مثلث سیرپینسکی بنابراین، در حدی که n به بی نهایت می رود، این دنباله از نمودارها را می توان به عنوان یک آنالوگ گسسته از مثلث سرپینسکی تفسیر کرد. [13]

خواص [ ویرایش ]

برای تعداد صحیح ابعادد{\displaystyle d}، هنگام دو برابر کردن یک طرف یک جسم،{\displaystyle 2^{d}}کپی از آن ایجاد می شود، یعنی 2 کپی برای شی 1 بعدی، 4 کپی برای شی 2 بعدی و 8 کپی برای شی 3 بعدی. برای مثلث سرپینسکی، دو برابر کردن ضلع آن، 3 کپی از خود ایجاد می کند. بنابراین مثلث سرپینسکی دارای بعد Hausdorff است ورود به سیستم⁡3ورود به سیستم{\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}، که از حل بر می آید{\displaystyle 2^{d}=3}برای{\displaystyle d}. [14]

مساحت مثلث سرپینسکی صفر است (در اندازه گیری Lebesgue ). مساحت باقی مانده پس از هر تکرار است{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}از ناحیه تکرار قبلی، و تعداد نامتناهی تکرار منجر به نزدیک شدن به یک ناحیه به صفر می شود. [15]

نقاط یک مثلث سرپینسکی مشخصه ساده در مختصات barycentric دارند . [16] اگر نقطه ای دارای مختصات باری مرکزی باشد{\displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{ 3}\dots )}، به صورت اعداد باینری بیان می شود ، سپس نقطه در مثلث سیرپینسکی است اگر و فقط اگر{\displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}برای همه{\displaystyle i}.

تعمیم به سایر مدول ها [ ویرایش ]

تعمیم مثلث سرپینسکی نیز می تواند با استفاده از مثلث پاسکال در صورت وجود مدول متفاوت ایجاد شود.پ{\displaystyle P}استفاده می شود. تکرار{\displaystyle n}را می توان با گرفتن مثلث پاسکال {\displaystyle P^{n}}ردیف ها و اعداد رنگ آمیزی بر اساس مدول مقدار آن{\displaystyle P}. مانند{\displaystyle n}به بی نهایت نزدیک می شود، یک فراکتال تولید می شود.

همین فراکتال را می توان با تقسیم یک مثلث به مجموعه ای از به دست آورد{\displaystyle P^{2}}مثلث‌های مشابه و حذف مثلث‌هایی که وارونه هستند از مثلث اصلی، سپس این مرحله را با هر مثلث کوچک‌تر تکرار کنید.

برعکس، فراکتال را می توان با شروع با مثلث و کپی کردن آن و مرتب کردن آن تولید کرد{\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}از شکل‌های جدید در جهت یکسان به یک مثلث مشابه بزرگ‌تر که رئوس شکل‌های قبلی لمس می‌شود، سپس آن مرحله را تکرار می‌کند. [17]

آنالوگ در ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

بازگشت هرم سیرپینسکی (8 مرحله)

چهار ضلعی سیرپینسکی یا تتریکس آنالوگ سه بعدی مثلث سیرپینسکی است که با کوچک کردن مکرر یک چهار ضلعی منظم به نصف ارتفاع اصلی آن، کنار هم قرار دادن چهار نسخه از این چهار وجهی با گوشه‌های لمس شده و سپس تکرار فرآیند ایجاد می‌شود.

یک تتریکس ساخته شده از چهار وجهی اولیه با طول جانبی{\displaystyle L}این خاصیت را دارد که مساحت کل با هر تکرار ثابت می ماند. مساحت سطح اولیه چهار وجهی (تکرار-0) با طول جانبی{\displaystyle L}است{\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}. تکرار بعدی شامل چهار نسخه با طول جانبی است{\displaystyle {\tfrac {L}{2}}}، بنابراین کل مساحت است{\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}از نو. تکرارهای بعدی مجدداً تعداد کپی ها را چهار برابر می کند و طول ضلع را نصف می کند و سطح کلی را حفظ می کند. این در حالی است که حجم ساخت و ساز در هر مرحله به نصف کاهش می یابد و بنابراین به صفر نزدیک می شود. حد این فرآیند نه حجم دارد و نه سطح، اما مانند واشر سرپینسکی، یک منحنی به هم پیوسته پیچیده است. بعد Hausdorff آن استورود به سیستم⁡4ورود به سیستم⁡2=2{\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}; در اینجا "log" لگاریتم طبیعی را نشان می دهد، شمارنده لگاریتم تعداد کپی های شکل است که از هر کپی از تکرار قبلی تشکیل شده است، و مخرج لگاریتم عاملی است که توسط آن این نسخه ها از قبلی کوچک می شوند. تکرار. اگر همه نقاط بر روی صفحه ای قرار گیرند که موازی با دو لبه بیرونی است، دقیقاً یک مربع به طول ضلع را پر می کنند.{\displaystyle {\tfrac {L}{\sqrt {2}}}}بدون همپوشانی [18]

انیمیشن یک تتریکس در حال چرخش سطح 4 که نشان می دهد چگونه برخی از پیش بینی های املایی یک تتریکس می توانند یک صفحه را پر کنند - در این SVG تعاملی ، برای چرخاندن مدل سه بعدی به چپ و راست روی تتریکس حرکت کنید.

تاریخچه [ ویرایش ]

واکلو سرپینسکی مثلث سرپینسکی را در سال 1915 توصیف کرد. با این حال، الگوهای مشابه در حال حاضر به عنوان یک نقوش مشترک از سنگ کاری منبت کاری Cosmatesque قرن سیزدهم ظاهر می شود . [19]

واشر آپولونی برای اولین بار توسط آپولونیوس پرگا (قرن 3 قبل از میلاد) توصیف شد و توسط گوتفرید لایبنیتس (قرن 17) بیشتر مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و پیشروی منحنی مثلث سرپینسکی قرن بیستم است. [20]

ریشه شناسی [ ویرایش ]

استفاده از کلمه "واشر" برای اشاره به مثلث سرپینسکی به واشرهایی اشاره دارد که در موتورها یافت می شوند و گاهی اوقات دارای یک سری سوراخ هایی با اندازه کاهش می یابند، مشابه فرکتال. این استفاده توسط بنوا ماندلبروت ابداع شد ، که فکر می کرد فراکتال شبیه به "قسمتی که از نشتی در موتورها جلوگیری می کند" است. [21]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • واشر آپولونی ، مجموعه ای از دایره های مماس متقابل با ساختار ترکیبی مشابه مثلث سیرپینسکی
  • فهرست فراکتال ها بر اساس بعد هاسدورف
  • فرش سرپینسکی ، فرکتال دیگری که به نام سرپینسکی نامگذاری شده و با برداشتن مکرر مربع از یک مربع بزرگتر تشکیل شده است.
  • تری فورس ، یادگاری در سری افسانه زلدا

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_triangle