سایر اقدامات [ ویرایش ]

طبق قضیه باربیه، همه منحنی‌های با عرض ثابت یکسان از جمله مثلث رولو دارای محیط‌های مساوی هستند . به طور خاص، این محیط با محیط دایره با همان عرض برابر است{\displaystyle \pi s}. [23] [24] [9]

شعاع بزرگترین دایره محاطی مثلث رولو با عرض s و دایره محصور همان مثلث عبارتند از

{\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s }{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}

به ترتیب؛ مجموع این شعاع ها برابر است با عرض مثلث رولو. به طور کلی، برای هر منحنی با عرض ثابت، بزرگترین دایره محاطی و کوچکترین دایره محصور متحدالمرکز هستند و شعاع آنها با عرض ثابت منحنی جمع می شود. [25]

مسئله حل نشده در ریاضی :

مثلث های Reuleaux چقدر می توانند در هواپیما جمع شوند؟

(مسائل حل نشده بیشتر در ریاضیات)

چگالی بسته بندی بهینه مثلث Reuleaux در هواپیما ثابت نشده است، اما حدس زده می شود که

{\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\تقریبا 0.923 ،}

که چگالی یک بسته بندی شبکه دوتایی ممکن برای این اشکال است. بهترین کران بالای ثابت شده در چگالی بسته بندی تقریباً 0.947 است. [26] همچنین حدس زده شده است، اما ثابت نشده است که مثلث های Reuleaux بالاترین چگالی بسته بندی را در بین هر منحنی با عرض ثابت دارند. [27]

چرخش در یک مربع [ ویرایش ]

چرخش مثلث Reuleaux در یک مربع، همچنین نشان دادن منحنی ترسیم شده توسط مرکز مثلث

هر منحنی با عرض ثابت می‌تواند روتوری را در یک مربع تشکیل دهد ، شکلی که می‌تواند چرخش کامل را در حالی که درون مربع باقی می‌ماند و همیشه هر چهار طرف مربع را لمس می‌کند، انجام دهد. با این حال، مثلث Reuleaux روتور با حداقل مساحت ممکن است. [9] همانطور که می چرخد، محور آن در یک نقطه ثابت نمی ماند، بلکه از منحنی تشکیل شده توسط قطعات چهار بیضی پیروی می کند . [28] به دلیل زوایای 120 درجه‌ای، مثلث چرخان رئولو نمی‌تواند به برخی از نقاط نزدیک به زوایای تیزتر در راس مربع برسد، بلکه شکلی را با گوشه‌های کمی گرد می‌پوشاند که همچنین توسط کمان‌های بیضوی شکل می‌گیرد. [9]

مثلث Reuleaux در یک مربع، با بیضی حاکم بر مسیر حرکت مرکز مثلث

یکی از چهار بیضی که مرکز یک مثلث رولو در حال چرخش در یک مربع به دنبال آن قرار دارد

مثلث Reuleaux در یک مربع، با بیضی محدود کننده منطقه ای که توسط مثلث رد شده است

بیضی که یکی از گوشه های (پایین سمت چپ) یک مربع را از ناحیه ای که توسط مثلث چرخان رئولو رد می شود جدا می کند.

در هر نقطه از این چرخش، دو گوشه از مثلث Reuleaux دو ضلع مجاور مربع را لمس می کنند، در حالی که گوشه سوم مثلث یک منحنی نزدیک راس مخالف مربع را ترسیم می کند. شکل ترسیم شده توسط مثلث چرخان Reuleaux تقریباً 98.8٪ از مساحت مربع را پوشش می دهد. [29]

به عنوان مثال متقابل [ ویرایش ]

انگیزه اصلی رولو برای مطالعه مثلث رولو به عنوان یک مثال متقابل بود، و نشان داد که سه تماس تک نقطه ای ممکن است برای ثابت کردن یک جسم مسطح در یک موقعیت منفرد کافی نباشد. [30] وجود مثلث های Reuleaux و منحنی های دیگر با عرض ثابت نشان می دهد که اندازه گیری قطر به تنهایی نمی تواند تأیید کند که یک جسم دارای مقطع دایره ای است. [31]

اگلستون (1958) در رابطه با مسئله مربع محاطی مشاهده کرد که مثلث رولو نمونه ای از یک شکل با عرض ثابت را ارائه می دهد که در آن هیچ چندضلعی منتظم با بیش از چهار ضلع نمی تواند حک شود، به جز شش ضلعی منتظم، و او یک شکل کوچک را توصیف کرد. اصلاح این شکل که عرض ثابت آن را حفظ می کند، اما همچنین مانع از حک شدن شش ضلعی های منظم در آن می شود. او این نتیجه را با استفاده از استوانه ای به شکل مقطع آن به سه بعدی تعمیم داد . [32]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

رسیدن به گوشه ها [ ویرایش ]

انواع مختلفی از ماشین آلات بر اساس خاصیت چرخش در یک مربع شکل مثلث Reuleaux را دارند.

مته مربعی ابزار Watts Brothers Tool Works به شکل مثلث Reuleaux است که با فرورفتگی هایی اصلاح شده تا سطوح برش را تشکیل دهد. هنگامی که در یک چاک مخصوص نصب می شود که اجازه می دهد بیت مرکز چرخش ثابتی نداشته باشد، می تواند سوراخی تقریباً مربعی ایجاد کند. [33] اگرچه توسط هنری واتس در سال 1914 ثبت اختراع شد، تمرین‌های مشابهی که توسط دیگران اختراع شده بود قبلاً مورد استفاده قرار گرفتند. [9] دیگر چند ضلعی های Reuleaux برای سوراخ کردن سوراخ های پنج ضلعی، شش ضلعی و هشت ضلعی استفاده می شود. [9] [33]

جاروبرقی رباتیک پاناسونیک RULO شکل خود را بر اساس مثلث Reuleaux دارد تا به آسانی گرد و غبار را در گوشه اتاق تمیز کند. [34] [35]

سیلندرهای نورد [ ویرایش ]

مقایسه غلتک مثلثی استوانه ای و رئولو

کلاس دیگری از کاربردهای مثلث Reuleaux شامل اجسام استوانه ای با سطح مقطع مثلث Reuleaux است. مدادهای متعددی به این شکل ساخته می‌شوند، نه بشکه‌های سنتی‌تر گرد یا شش ضلعی. [36] آن‌ها معمولاً به‌عنوان راحت‌تر یا تشویق‌کننده گرفتن مناسب‌تر، و همچنین احتمال پایین افتادن میزها (از آنجایی که مرکز ثقل بیشتر از یک شش ضلعی غلتان بالا و پایین می‌رود) تبلیغ می‌شوند.

مثلث Reuleaux (همراه با تمام منحنی‌های دیگر با عرض ثابت ) می‌تواند بپیچد ، اما چرخ ضعیفی ایجاد می‌کند زیرا حول یک مرکز چرخش ثابت نمی‌چرخد. جسمی در بالای غلتک‌هایی که دارای سطح مقطع مثلث رئولو هستند، به نرمی و صاف می‌غلتد، اما یک محور متصل به چرخ‌های مثلثی رئولو سه بار در هر دور به بالا و پایین می‌پرد. [9] [37] این مفهوم در یک داستان کوتاه علمی تخیلی توسط پول اندرسون با عنوان "چرخ سه گوشه" استفاده شد . [11] [38] یک دوچرخه با محورهای شناور و یک قاب که توسط لبه چرخ مثلثی شکل Reuleaux آن پشتیبانی می‌شود، در سال 2009 توسط مخترع چینی Guan Baihua، که از مدادهایی با همان شکل الهام گرفته بود، ساخته و به نمایش گذاشته شد. [39]