ویژگی های ریاضی [ ویرایش ]

خطوط پشتیبان موازی مثلث Reuleaux

اساسی ترین ویژگی مثلث رولو این است که عرض آن ثابت است، به این معنی که برای هر جفت خط نگهدارنده موازی (دو خط از یک شیب که هر دو شکل را بدون عبور از آن لمس می کنند) دو خط فاصله اقلیدسی یکسانی دارند . یکدیگر، صرف نظر از جهت گیری این خطوط. [9] در هر جفت خط پشتیبان موازی، یکی از دو خط لزوماً مثلث را در یکی از رئوس آن لمس می کند. خط پشتیبان دیگر ممکن است مثلث را در هر نقطه از قوس مقابل لمس کند و فاصله آنها (عرض مثلث Reuleaux) برابر با شعاع این قوس است. [11]

اولین ریاضیدانی که وجود منحنی‌هایی با عرض ثابت را کشف کرد و مشاهده کرد که مثلث رولو دارای عرض ثابت است، ممکن است لئونارد اویلر باشد . [5] اویلر در مقاله‌ای که در سال 1771 ارائه کرد و در سال 1781 با عنوان De curvis triangaribus منتشر کرد، مثلث‌های منحنی خطی و همچنین منحنی‌های عرض ثابت را مورد مطالعه قرار داد که او آن‌ها را orbiforms نامید. [12] [13]

اقدامات افراطی [ ویرایش ]

با معیارهای مختلف، مثلث Reuleaux یکی از شدیدترین منحنی‌های عرض ثابت است.

بر اساس قضیه بلاشکه-لبگ ، مثلث رولو کمترین مساحت ممکن را در بین هر منحنی با عرض ثابت داده شده دارد. این منطقه است

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}

که در آن s عرض ثابت است. یک روش برای استخراج این فرمول مساحت این است که مثلث Reuleaux را به یک مثلث متساوی الاضلاع داخلی و سه ناحیه منحنی بین این مثلث داخلی و کمان هایی که مثلث Reuleaux را تشکیل می دهند تقسیم کرده و سپس مساحت های این چهار مجموعه را اضافه کنید. در انتهای دیگر، منحنی عرض ثابت که حداکثر مساحت ممکن را دارد، یک دیسک دایره‌ای است که دارای مساحت است.{\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}. [14]

زوایای ایجاد شده توسط هر جفت کمان در گوشه های مثلث Reuleaux همگی برابر با 120 درجه است. این تیزترین زاویه ممکن در هر راس هر منحنی با عرض ثابت است. [9] علاوه بر این، در میان منحنی‌های عرض ثابت، مثلث Reuleaux مثلثی است که بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مثلث‌های متساوی الاضلاع را دارد. [15] بزرگترین مثلث متساوی الاضلاع محاط شده در مثلث Reuleaux مثلثی است که سه گوشه آن را به هم وصل می کند و کوچکترین مثلثی است که سه نقطه میانی اضلاع آن را به هم وصل می کند. زیرمجموعه مثلث Reuleaux متشکل از نقاط متعلق به سه قطر یا بیشتر، قسمت داخلی بزرگتر از این دو مثلث است. مساحت آن بیشتر از مجموعه نقاط سه قطری هر منحنی دیگر با عرض ثابت است. [16]

اشکال متقارن مرکزی در داخل و خارج مثلث Reuleaux که برای اندازه گیری عدم تقارن آن استفاده می شود.

اگرچه مثلث رولو دارای تقارن دو وجهی شش برابری است , همانند مثلث متساوی الاضلاع , اما تقارن مرکزی ندارد . مثلث رولو با توجه به دو معیار مختلف عدم تقارن مرکزی، کمترین منحنی متقارن با عرض ثابت است، اندازه گیری کوونر-بسیکوویچ (نسبت مساحت به بزرگترین شکل متقارن مرکزی محصور در منحنی) و اندازه گیری استرمن (نسبت مساحت به کوچکترین شکل متقارن مرکزی که منحنی را در بر می گیرد). برای مثلث Reuleaux، دو شکل متقارن مرکزی که معیارهای عدم تقارن را تعیین می کنند، هر دو شش ضلعی هستند ، اگرچه شکل داخلی دارای اضلاع منحنی است. [17] مثلث Reuleaux قطرهایی دارد که مساحت آن را بیش از هر منحنی دیگری با عرض ثابت تقسیم می کند. یعنی حداکثر نسبت نواحی در دو طرف قطر، معیار دیگری از عدم تقارن، برای مثلث رولو بزرگتر از منحنی های دیگر با عرض ثابت است. [18]

در میان تمام اشکال با عرض ثابت که از تمام نقاط یک شبکه اعداد صحیح اجتناب می کنند ، شکلی که بیشترین عرض را دارد مثلث Reuleaux است. یکی از محورهای تقارن آن موازی با محورهای مختصات روی یک خط نیم صحیح است. عرض آن، تقریباً 1.54، ریشه یک چند جمله ای درجه 6 با ضرایب صحیح است. [17] [19] [20]

همانطور که ممکن است یک دایره توسط شش دایره متجانس احاطه شود که آن را لمس می کنند، همچنین می توان هفت مثلث رولو متجانس را به گونه ای مرتب کرد که همگی با یک مثلث مرکزی رولو با یک اندازه تماس برقرار کنند. این حداکثر عدد ممکن برای هر منحنی با عرض ثابت است. [21]

بادبادک متساوی ضلعی که نسبت محیط به قطر را به حداکثر می رساند و در مثلث Reuleaux حک شده است .

در بین تمام چهار ضلعی ها ، شکلی که بیشترین نسبت محیط خود را به قطر دارد، بادبادک متساوی الاضلاعی است که می توان آن را در مثلث رئولو حک کرد. [22]