از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

        چند ضلعی منتظم

        مثلث منظم

        مربع منظم

        پنج ضلعی منظم

        شش ضلعی منتظم

        هفت ضلعی منتظم

        هشت ضلعی منظم

        غیر آگونی منظم

        دوازده ضلعی منظم
        لبه ها و رئوس{\displaystyle n}
        نماد شلافلی{\displaystyle \{n\}}
        نمودار کاکستر – داینکین
        گروه تقارنD n ، مرتبه 2n
        چند ضلعی دوگانهخود دوگانه
        مساحت
        (با طول ضلع{\displaystyle s})        		{\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
        زاویه داخلی{\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}
        مجموع زاویه داخلی{\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi }}
        قطر دایره حکاکی شده{\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
        قطر دایره محصور{\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
        خواصمحدب ، حلقوی ، متساوی الاضلاع ، ایزوگونال ، ایزوتوکسال

        در هندسه اقلیدسی ، چند ضلعی منتظم چند ضلعی است که متساوی الاضلاع مستقیم (همه زوایا از نظر اندازه برابر هستند) و متساوی الاضلاع (همه ضلع ها دارای طول یکسان هستند). چند ضلعی های منتظم ممکن است محدب ، ستاره ای یا کج باشند . در حد ، دنباله ای از چند ضلعی های منتظم با تعداد اضلاع فزاینده به دایره تقریب می زند ، اگر محیط یا مساحت ثابت باشد، یا اگر طول لبه ثابت باشد، یک آپیروگون منتظم (در واقع یک خط مستقیم است).

        خصوصیات عمومی [ ویرایش ]

        چند ضلعی های محدب و ستاره ای منتظم با 3 تا 12 راس که با نمادهای شلافلی آنها برچسب گذاری شده است.

        این ویژگی ها برای همه چند ضلعی های منظم، اعم از محدب یا ستاره ای اعمال می شود .

        یک چند ضلعی n ضلعی منظم دارای تقارن چرخشی مرتبه n است .

        همه رئوس یک چند ضلعی منتظم روی یک دایره مشترک قرار دارند ( دایره محدود شده ). یعنی نقاط حلقوی هستند. یعنی یک چند ضلعی منتظم یک چندضلعی حلقوی است .

        همراه با ویژگی اضلاع با طول مساوی، این نشان می دهد که هر چند ضلعی منتظم همچنین دارای یک دایره یا دایره محاطی است که در نقطه میانی بر هر ضلعی مماس است. بنابراین یک چند ضلعی منتظم یک چند ضلعی مماسی است .

        یک چندضلعی منتظم n وجهی را می‌توان با قطب‌نما و خط مستقیم ساخت ، اگر و فقط اگر ضرایب اول فرد n اعداد اول فرما باشند . چند ضلعی قابل ساخت را ببینید .

        یک چندضلعی n ضلعی منظم را می توان با اوریگامی ساخت اگر و فقط اگر{\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}برای برخی{\displaystyle r\in \mathbb {N} }، که در آن هر یک متمایز است {\displaystyle p_{i}}یک عدد اول پیرپونت است . [1]

        تقارن [ ویرایش ]

        گروه تقارن یک چندضلعی منتظم n وجهی، گروه دووجهی D n (از مرتبه 2 n ): D 2 , D 3 , D 4 , ... از چرخش های C n به همراه تقارن بازتابی در n محور تشکیل شده است. که از مرکز عبور می کنند. اگر n زوج باشد، نیمی از این محورها از دو رأس مخالف و نیمی دیگر از وسط اضلاع مخالف عبور می کنند. اگر n فرد باشد، تمام محورها از یک راس و نقطه وسط طرف مقابل عبور می کنند.

        چند ضلعی های محدب منظم [ ویرایش ]

        همه چند ضلعی های ساده منظم (چند ضلعی ساده آن است که خود را در جایی قطع نکند) محدب هستند. آنهایی که تعداد اضلاع یکسانی دارند نیز مشابه هستند .

        یک چند ضلعی منتظم محدب n وجهی با نماد Schläfli آن { n } نشان داده می شود. برای n < 3، دو مورد انحطاط داریم :

        یک ضلعی {1}

        منحط در فضای معمولی . (بیشتر مراجع، یک ضلعی را به عنوان یک چندضلعی واقعی در نظر نمی گیرند، تا حدی به این دلیل، و همچنین به این دلیل که فرمول های زیر کار نمی کنند، و ساختار آن شبیه به هیچ چندضلعی انتزاعی نیست .)

        دیگون {2}; یک "قطعه دو خط"

        منحط در فضای معمولی . (بعضی از مراجع به این دلیل دیگون را یک چندضلعی واقعی نمی دانند.)

        در زمینه های خاص، همه چند ضلعی های در نظر گرفته شده منظم خواهند بود. در چنین شرایطی مرسوم است که پیشوند منظم را حذف کنید. به عنوان مثال، تمام وجوه چندوجهی یکنواخت باید منظم باشند و وجه ها به سادگی به صورت مثلث، مربع، پنج ضلعی و غیره توصیف می شوند.

        به عنوان نتیجه فرمول وتر حلقوی ، ناحیه محدود شده توسط دایره دایره و دایره هر چند ضلعی منتظم محدب واحد، π /4 است.

        زوایا [ ویرایش ]

        برای یک n - ضلعی محدب منظم ، هر زاویه داخلی اندازه‌گیری دارد:

        {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}درجه؛

        {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}رادیان; یا

        {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}چرخش کامل ،

        و هر زاویه بیرونی (یعنی مکمل زاویه داخلی) یک اندازه دارد{\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}درجه، با مجموع زوایای بیرونی برابر با 360 درجه یا 2π رادیان یا یک دور کامل.

        با نزدیک شدن n به بی نهایت، زاویه داخلی به 180 درجه نزدیک می شود. برای یک چند ضلعی منتظم با 10000 ضلع (یک هزار ضلعی ) زاویه داخلی 179.964 درجه است. با افزایش تعداد اضلاع، زاویه داخلی می تواند به 180 درجه نزدیک شود و شکل چندضلعی به شکل دایره نزدیک می شود. با این حال چند ضلعی هرگز نمی تواند به یک دایره تبدیل شود. مقدار زاویه داخلی هرگز نمی تواند دقیقاً برابر با 180 درجه باشد، زیرا محیط عملاً به یک خط مستقیم تبدیل می شود (به apeirogon مراجعه کنید ). به همین دلیل دایره چند ضلعی با تعداد ضلع نامحدود نیست.

        مورب ها [ ویرایش ]

        برای n > 2، تعداد قطرها برابر است{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}; یعنی 0، 2، 5، 9، ...، برای مثلث، مربع، پنج ضلعی، شش ضلعی، ... . مورب ها چند ضلعی را به قطعات 1، 4، 11، 24، ... تقسیم می کنند OEIS : A007678 .

        برای یک n -gon منتظم که در یک دایره شعاع واحد محاط شده است، حاصل ضرب فواصل یک راس معین تا همه رئوس دیگر (شامل رئوس مجاور و رئوس متصل شده توسط یک مورب) برابر با n است .