معادله در فضای سه بعدی [ ویرایش ]

در هندسه تحلیلی ، سطح یک مکعب با مرکز ( x 0 , y 0 , z 0 ) و طول لبه 2a مکان تمام نقاط ( x , y , z ) است به طوری که

{\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}

یک مکعب همچنین می‌تواند حالت محدود کننده یک ابربیضی سه بعدی در نظر گرفته شود زیرا هر سه شارح به بی‌نهایت نزدیک می‌شوند.

فرمول ها [ ویرایش ]

برای یک مکعب به طول لبهآ{\displaystyle a}:

مساحت سطح6آ2{\displaystyle 6a^{2}\,}جلدآ3{\displaystyle a^{3}\,}
مورب صورت2آ{\displaystyle {\sqrt {2}}a}مورب فضا3آ{\textstyle {\sqrt {3}}a}
شعاع کره محدود شده32آ{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}شعاع کره مماس بر لبه هاآ2{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}
شعاع کره محاطیآ2{\displaystyle {\frac {a}{2}}}زوایای بین چهره ها (به رادیان )�2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}

همانطور که حجم یک مکعب سومین توان اضلاع آن استآ×آ×آ{\displaystyle a\times a\times a}قدرت های سوم مکعب نامیده می شوند ، در قیاس با مربع و توان دوم.

یک مکعب بیشترین حجم را در بین مکعب ها (جعبه های مستطیلی) با سطح معین دارد . همچنین یک مکعب بیشترین حجم را در بین مکعب ها با اندازه کل خطی یکسان (طول+عرض+ارتفاع) دارد.

نقطه در فاصله [ ویرایش ]

برای مکعبی که کره اطراف آن شعاع R دارد و برای یک نقطه معین در فضای 3 بعدی آن با فواصل d i از هشت رأس مکعب، داریم: [3]

{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\ چپ ({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\راست)^{ 2}.}

دو برابر کردن مکعب [ ویرایش ]

دوبرابر کردن مکعب یا مسئله دلی ، مسئله ای بود که توسط ریاضیدانان یونان باستان برای استفاده از قطب نما و خط مستقیم برای شروع با طول لبه یک مکعب معین و ساخت طول لبه یک مکعب با دو برابر استفاده می شد. حجم مکعب اصلی آنها نتوانستند این مشکل را حل کنند، که در سال 1837 پیر وانتزل ثابت کرد که غیرممکن است زیرا ریشه مکعب 2 یک عدد قابل ساخت نیست .

رنگ آمیزی و تقارن یکنواخت [ ویرایش ]

درخت تقارن هشت وجهی

این مکعب دارای سه رنگ‌بندی یکنواخت است که با رنگ‌های منحصر به فرد مربع‌های اطراف هر رأس نام‌گذاری شده‌اند: 111، 112، 123.

مکعب دارای چهار کلاس تقارن است که می‌توان آن را با رنگ‌آمیزی راس -گذرا نشان داد. بالاترین تقارن هشت وجهی O h همه وجوه یک رنگ دارد. تقارن دو وجهی D 4h از این می آید که مکعب یک جامد است و هر شش ضلع آن رنگ های متفاوتی دارند. زیرمجموعه های منشوری D 2d دارای رنگ آمیزی مشابه با قبلی هستند و D 2h دارای رنگ های متناوب برای طرفین خود برای مجموع سه رنگ، جفت شده توسط اضلاع مخالف است. هر شکل تقارن دارای یک نماد Wythoff متفاوت است .

نام
شش وجهی منظم		منشور مربع
ذوزنقه مستطیلی		مکعب
مستطیل
منشور لوزی		ذوزنقه مثلثی

نمودار کاکستر

نماد شلافلی		{4،3}{4}×{}
rr{4،2}		s 2 {2،4}{ } 3
tr{2,2}		{ }×2{ }

نماد Wythoff		3 | 4 24 2 | 2 2 2 2 |
تقارنOh [
4,3]
(*432)		D 4h
[4,2]
(*422)		D 2d
[4,2 + ]
(2*2)		D 2h
[2,2]
(*222)		D 3d
[6,2 + ]
(2*3)

ترتیب تقارن		24168812
تصویر
(
رنگ آمیزی یکنواخت)
(111)
(112)
(112)
(123)
(112)
(111)، (112)

روابط هندسی