18--فهرست پلی توپ ها و ترکیبات معمولی

ترکیبات سه فضایی اقلیدسی [ ویرایش ]

تنها لانه زنبوری مرکب اقلیدسی منظم یک خانواده نامتناهی از ترکیبات لانه زنبوری مکعبی است که همگی در رئوس و وجه مشترک با یک لانه زنبوری مکعبی دیگر هستند. این ترکیب می تواند هر تعداد لانه زنبوری مکعبی داشته باشد. نماد Coxeter {4،3،4}[ d {4،3،4}]{4،3،4} است.

پنج بعد و ترکیبات بالاتر [ ویرایش ]

هیچ ترکیب منظمی در پنج یا شش بعد وجود ندارد. سه ترکیب هفت بعدی شناخته شده (16، 240، یا 480 7-ساده )، و شش ترکیب شناخته شده هشت بعدی (16، 240، یا 480 8-مکعب یا 8-Ortoplexes ) وجود دارد. همچنین در فضای n بعدی یک ترکیب از n ساده وجود دارد ، مشروط بر اینکه n یک کمتر از توان دو باشد، و همچنین دو ترکیب (یکی از n مکعب ها و یکی دوگانه از n- اورتوپلکس ها) در فضای n بعدی وجود دارد. اگر n توان دو باشد.

نماد Coxeter برای این ترکیبات عبارتند از (با استفاده از α n = {3 n -1 }، β n = {3 n - 2،4}، γn = {4،3 n -2 }):

7-سیمپلکس: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 ، که در آن c = 1، 15، یا 30
8-ارتوپلکس: c γ 8 [16 c β 8 ]
8-مکعب: [16 c γ 8 ] c β 8

موارد کلی (که در آن n = 2 k و d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

Simplexes: γn - 1 [ d αn - 1 ]βn - 1
ارتوپلکس: γn [ d β n ]
هایپرمکعب : [ d γn ]β n

ترکیبات لانه زنبوری اقلیدسی [ ویرایش ]

یک خانواده شناخته شده از لانه زنبوری مرکب اقلیدسی منظم در پنج بعد یا بیشتر، یک خانواده نامتناهی از ترکیبات لانه زنبوری هایپرمکعبی است که همگی رئوس و وجوه مشترک با لانه زنبوری ابرمکعبی دیگر دارند. این ترکیب می تواند هر تعداد لانه زنبوری هایپرمکعبی داشته باشد. نماد Coxeter δn [d δn]δn است که در آن δn = { ∞ } هنگامی که n = 2 و {4,3 n - 3,4} زمانی که n ≥ 3 است.

پلی توپ های انتزاعی [ ویرایش ]

پلی توپ های انتزاعی از تلاش برای مطالعه چند توپ جدا از فضای هندسی که در آن جاسازی شده اند به وجود آمدند . تعداد بی نهایتی از هر رتبه بزرگتر از 1 وجود دارد. برای نمونه به این اطلس مراجعه کنید. برخی از نمونه‌های قابل‌توجه از پلی‌توپ‌های منظم انتزاعی که در جای دیگری در این فهرست دیده نمی‌شوند عبارتند از: 11 سلولی ، {3،5،3}، و 57 سلولی ، {5،3،5}، که دارای چند وجهی پرتابی منظم به عنوان سلول هستند. و ارقام راس

عناصر یک چند وجهی انتزاعی عبارتند از بدنه آن (عنصر حداکثر)، وجه ها، لبه ها، رئوس و چند توپی پوچ یا مجموعه خالی آن. این عناصر انتزاعی را می توان در فضای معمولی ترسیم کرد یا به صورت اشکال هندسی درآورد . برخی از چندوجهی های انتزاعی دارای واقعیت های درست یا وفادار هستند ، برخی دیگر اینگونه نیستند. پرچم مجموعه ای به هم پیوسته از عناصر هر رتبه است - برای یک چند وجهی که بدن، صورت، لبه صورت ، راس لبه و پلی توپ تهی است. به یک چند توپ انتزاعی منظم گفته می شود که تقارن ترکیبی آن روی پرچم هایش متعدی باشد - یعنی هر پرچمی را می توان تحت تقارن چند وجهی بر روی هر پرچم دیگری نگاشت کرد. پلی توپ های منظم انتزاعی یک منطقه فعال تحقیقاتی باقی می ماند.

پنج چنین چند وجهی انتزاعی منتظم که نمی‌توان آنها را به طور صادقانه و متقارن درک کرد، توسط HSM Coxeter در کتاب خود به نام Polytopes منظم (1977) و مجدداً توسط JM Wills در مقاله خود "چند وجهی منظم ترکیبی شاخص 2" (1987) شناسایی شد. [32] همه آنها از نظر توپولوژیکی معادل toroids هستند . ساخت آنها، با ترتیب دادن n وجه در اطراف هر رأس، می تواند به طور نامحدود به عنوان کاشی کاری های صفحه هذلولی تکرار شود . در نمودارهای زیر، تصاویر کاشی کاری هایپربولیک دارای رنگ هایی هستند که مطابق با تصاویر چند وجهی هستند.

چند وجهی	تریاکونتاهدرون لوزی داخلی	دوازده وجهی	ایکوسادرون سه ضلعی میانی	دوازده وجهی دو ضلعی	دوازده وجهی حفاری شده
شکل راس	{5}، {5/2}	(5.5/2) 2	{5}، {5/2}	(5.5/3) 3
چهره ها	30 لوزی	12 پنج ضلعی 12 پنتاگرام	20 شش ضلعی	12 پنج ضلعی 12 پنتاگرام	20 هگزاگرام
کاشی کاری	{4، 5}	{5، 4}	{6، 5}	{5، 6}	{6، 6}
χ	-6	-6	-16	-16	-20