ترکیبات سه بعدی [ ویرایش ]

صحت واقعی این بخش مورد مناقشه است . بحث مربوطه را ممکن است در صفحه بحث پیدا کنید . لطفاً کمک کنید تا اطمینان حاصل شود که اظهارات مورد مناقشه به طور قابل اعتماد منبع هستند . ( ژانویه 2024 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

ترکیب چندوجهی منظم را می توان به عنوان ترکیبی تعریف کرد که مانند یک چندوجهی منظم، گذرا به رأس ، گذر به لبه و گذر از صورت است . با این تعریف 5 ترکیب منظم وجود دارد.

تقارن[4،3]، ای ح[5،3] + ، I[5،3]، ih
ثنویتخود دوگانهجفت دوتایی
تصویر
کروی
چند وجهی2 {3،3}5 {3،3}10 {3،3}5 {4،3}5 {3،4}
کوکستر{4،3} [2 {3،3} ] {3،4}{5،3} [5 {3،3} ] {3،5}2 {5،3} [10 {3،3} ]2 {3،5}2 {5،3} [5 {4،3} ][5 {3،4} ]2 {3،5}

نماد Coxeter برای ترکیبات منظم در جدول بالا آورده شده است که نمادهای Schläfli را در خود جای داده است . ماده داخل کروشه ها، [ d { p , q } ]، اجزای ترکیب را نشان می دهد: d { p , q } را از هم جدا کنید. ماده قبل از کروشه نشان دهنده آرایش رأس ترکیب است: c { m , n [ d { p , q }] ترکیبی از d { p , q } است که رئوس یک { m , n } را به اشتراک می گذارد. c بار شمارش شده ماده بعد از پرانتز نشان‌دهنده آرایش وجهی ترکیب است: [ d { p , q } ] e { s , t } ترکیبی از d { p , q } به اشتراک گذاری صورتهای { s , t } شمارش شده است. بارها _ اینها ممکن است با هم ترکیب شوند: بنابراین c { m , n [ d { p , q }] e { s , t } ترکیبی از d { p , q } است که رئوس { m , n } را c بار شمارش می کند و صورت های { s , t } e بار شمارش می شود. این نماد را می توان به ترکیبات در هر تعداد ابعاد تعمیم داد. [27]

ترکیبات صفحه اقلیدسی و هذلولی [ ویرایش ]

هجده خانواده دو پارامتری از تسلیحات مرکب منظم صفحه اقلیدسی وجود دارد. در صفحه هذلولی، پنج خانواده یک پارامتری و هفده مورد جدا شناخته شده است، اما کامل بودن این فهرست هنوز ثابت نشده است.

خانواده‌های ترکیبی اقلیدسی و هذلولی 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞، p یک عدد صحیح) مشابه ستاره کروی octangula ، 2 {3،3} هستند.

چند نمونه از ترکیبات منظم اقلیدسی و هذلولی
خود دوگانهدوگانهخود دوگانه
2 {4،4}2 {6،3}2 {3،6}2 {∞،∞}
{{4,4}} یا a{4,4} یا {4,4}[2{4,4}]{4,4}
+ یا		[2{6،3}]{3،6}a{6،3} یا {6،3}[2{3،6}]
+یا		{{∞،∞}} یا a{∞،∞} یا {4،∞}[2{∞،∞}]{∞،4}
+یا
3 {6،3}3 {3،6}3 {∞،∞}
2{3،6}[3{6،3}]{6،3}{3،6}[3{3،6}]2{6،3}
++
++

ترکیبات چهار بعدی [ ویرایش ]

پیش بینی های متعامد
75 {4،3،3}75 {3،3،4}

کاکستر 32 ترکیب منظم از 4 پلی توپ معمولی را در کتاب خود به نام پلی توپ های منظم فهرست می کند . [28] مک مولن در مقاله‌اش «ترکیبات منتظم جدید از 4 پلی‌توپ» شش عدد اضافه می‌کند که در آن او همچنین ثابت می‌کند که فهرست اکنون کامل شده است. [29] در جداول زیر، بالانویس (var) نشان می‌دهد که ترکیبات برچسب‌گذاری شده از سایر ترکیبات با نمادهای مشابه متمایز هستند.

ترکیبات منظم دوتایی
ترکیبتشکیل دهندهتقارنچیدمان راسآرایش سلولی
120 {3،3،3}5 سلولی[5،3،3]، سفارش 14400 [28]{5،3،3}{3،3،5}
120 {3،3،3} (var)5 سلولیسفارش 1200 [29]{5،3،3}{3،3،5}
720 {3،3،3}5 سلولی[5،3،3]، سفارش 14400 [29]6{5،3،3}6{3،3،5}
5 {3،4،3}24 سلولی[5،3،3]، سفارش 14400 [28]{3،3،5}{5،3،3}
ترکیبات منظم به صورت جفت دوتایی
ترکیب 1ترکیب 2تقارنترتیب راس (1)آرایش سلولی (1)ترتیب راس (2)آرایش سلولی (2)
3 {3،3،4} [30]3 {4،3،3}[3،4،3]، مرتبه1152 [28]{3،4،3}2{3،4،3}2{3،4،3}{3،4،3}
15 {3،3،4}15 {4،3،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]{3،3،5}2{5،3،3}2{3،3،5}{5،3،3}
75 {3،3،4}75 {4،3،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]5{3،3،5}10{5،3،3}10{3،3،5}5{5،3،3}
75 {3،3،4}75 {4،3،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]{5،3،3}2{3،3،5}2{5،3،3}{3،3،5}
75 {3،3،4}75 {4،3،3}مرتبه 600 [29]{5،3،3}2{3،3،5}2{5،3،3}{3،3،5}
300 {3،3،4}300 {4،3،3}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]4{5،3،3}8{3،3،5}8{5،3،3}4{3،3،5}
600 {3،3،4}600 {4،3،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]8{5،3،3}16{3،3،5}16{5،3،3}8{3،3،5}
25 {3،4،3}25 {3،4،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]{5،3،3}5{5،3،3}5{3،3،5}{3،3،5}

دو ترکیب مختلف از 75 تسراکت وجود دارد: یکی از رئوس یک سلول 120 به اشتراک گذاشته می شود، در حالی که دیگری در رئوس یک سلول 600 مشترک است. بنابراین بلافاصله نتیجه می شود که ترکیبات دوگانه مربوط به 75 سلول 16 نیز متفاوت است.

ترکیبات ستاره ای خود دوگانه
ترکیبتقارنچیدمان راسآرایش سلولی
5 {5,5/2,5}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]{5،3،3}{3،3،5}
10 {5,5/2,5}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]2{5،3،3}2{3،3،5}
5 {5/2،5،5/2}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]{5،3،3}{3،3،5}
10 {5/2،5،5/2}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]2{5،3،3}2{3،3،5}
ترکیبات ستاره ای منظم به صورت جفت دوتایی
ترکیب 1ترکیب 2تقارنترتیب راس (1)آرایش سلولی (1)ترتیب راس (2)آرایش سلولی (2)
5 {3،5،5/2}5 {5/2،5،3}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]{5،3،3}{3،3،5}{5،3،3}{3،3،5}
10 {3،5،5/2}10 {5/2،5،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]2{5،3،3}2{3،3،5}2{5،3،3}2{3،3،5}
5 {5,5/2,3}5 {3,5/2,5}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]{5،3،3}{3،3،5}{5،3،3}{3،3،5}
10 {5,5/2,3}10 {3,5/2,5}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]2{5،3،3}2{3،3،5}2{5،3،3}2{3،3،5}
5 {5/2،3،5}5 {5،3،5/2}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]{5،3،3}{3،3،5}{5،3،3}{3،3،5}
10 {5/2،3،5}10 {5،3،5/2}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]2{5،3،3}2{3،3،5}2{5،3،3}2{3،3،5}

همچنین چهارده ترکیب تا حدی منظم وجود دارد که یا گذرا به سمت راس یا گذر از سلول هستند اما نه هر دو. هفت ترکیب نیمه منظم متعدی از رأس، دوگانه هفت ترکیب نیمه منظم متعدی از سلول هستند.

ترکیبات تا حدی منظم به صورت جفت دوتایی
مرکب 1
راس گذرا		ترکیب 2
انتقال سلولی		تقارن
2 سلول 16 [31]2 عدد تسراکت[4،3،3]، مرتبه384 [28]
25 سلولی 24 (var)25 سلولی 24 (var)مرتبه600 [29]
100 24 سلولی100 24 سلولی[5،3،3] + ، مرتبه7200 [28]
200 24 سلولی200 24 سلولی[5،3،3]، مرتبه14400 [28]
5600 سلولی5 120 سلولی[5،3،3] + ، مرتبه7200 [28]
10 600 سلولی10 120 سلولی[5،3،3]، مرتبه14400 [28]
ترکیبات نیمه منظم ستاره به صورت جفت دوتایی
مرکب 1
راس گذرا		ترکیب 2
انتقال سلولی		تقارن
5 {3،3،5/2}5 {5/2،3،3}[5،3،3] + ، مرتبه 7200 [28]
10 {3،3،5/2}10 {5/2،3،3}[5،3،3]، مرتبه 14400 [28]

اگرچه 5 سلولی و 24 سلولی هر دو خود دوگانه هستند، اما ترکیبات دوگانه آنها ( ترکیب دو 5 سلولی و ترکیب دو سلولی 24 ) بر خلاف ترکیب دو چهار وجهی و انواع مختلف، منظم در نظر گرفته نمی شوند. ترکیبات چند ضلعی دوگانه، زیرا آنها نه رأس منتظم هستند و نه منتظم سلولی: آنها وجه یا ستاره های هیچ چهارچوبی منظم نیستند. با این حال، آنها راس، لبه، صورت، و سلول متعدی هستند.