نمای کلی [ ویرایش ]

این جدول خلاصه ای از شمارش پلی توپ های منظم را بر اساس رتبه نشان می دهد.

رتبه محدود،اقلیدسی هایپربولیک خلاصه ترکیبات

فشرده - فشرده پاراکامپکت

محدب ستاره کج [a] [1]محدب کج [a] [1]محدب ستاره محدب محدب ستاره

11هیچ یک هیچ یک هیچ یک هیچ یک هیچ یک هیچ یک هیچ یک1هیچ یک هیچ یک

2{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }هیچ یک1هیچ یک1هیچ یکهیچ یک{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }

354933{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty }5هیچ یک

461018174هیچ یک11{\displaystyle \infty }2620

53هیچ یک3315542{\displaystyle \infty }هیچ یکهیچ یک

63هیچ یک317هیچ یک هیچ یک5{\displaystyle \infty }هیچ یک هیچ یک

73هیچ یک317هیچ یکهیچ یکهیچ یک{\displaystyle \infty }3هیچ یک

83هیچ یک317هیچ یکهیچ یکهیچ یک{\displaystyle \infty }6هیچ یک

9+3هیچ یک317هیچ یکهیچ یکهیچ یک{\displaystyle \infty }[ب]هیچ یک

  1. ^پرش به بالا:a b فقط شمارش چند توپ با رتبه کامل. پلی توپ های منظم تری از هر رتبه > 1 در ابعاد بالاتر وجود دارد.
  2. ^ {2،اگر تعداد ابعاد به شکل باشد 2ک1،اگر تعداد ابعاد به شکل باشد 2ک-10،در غیر این صورت{\displaystyle {\begin{cases}2,&{\text{اگر تعداد ابعاد به شکل }}2^{k}\\1 باشد،&{\text{اگر تعداد ابعاد به شکل باشد }}2^{k}-1\\0،&{\text{در غیر این صورت}}\\\end{موارد}}}

هیچ گونه ستارگان منظم اقلیدسی در هر ابعادی وجود ندارد.

1-پلی توپ [ ویرایش ]

نمودار کاکستر "صفحات" آینه ای را به عنوان گره نشان می دهد و اگر نقطه ای در صفحه نباشد حلقه ای را در اطراف یک گره قرار می دهد. یک دیون { }،، یک نقطه p و تصویر آینه آن نقطه p' و پاره خط بین آنها است.

تنها یک پولتیوپ در رتبه 1 ( پولتیوپ-1 وجود دارد، بخش خط بسته که توسط دو نقطه انتهایی آن محدود شده است. هر تحقق این 1- پولتیوپ منظم است. دارای نماد شلافلی { }، [2] [3] یا یک نمودار کاکستر با یک گره حلقه دار است.. نورمن جانسون آن را دیون [4] می نامد و به آن علامت شلافلی { } می دهد.

اگرچه به عنوان چند توپ بی اهمیت است، اما به عنوان لبه های چند ضلعی ها و دیگر پلی توپ های با ابعاد بالاتر ظاهر می شود. [5] در تعریف منشورهای یکنواخت مانند نماد شلافلی { }×{p} یا نمودار کاکستر استفاده می شود.به عنوان حاصل ضرب دکارتی یک پاره خط و یک چندضلعی منتظم. [6]