تابع موج [ ویرایش ]

همیلتونی اتم هیدروژن عملگر انرژی جنبشی شعاعی و نیروی جاذبه کولن بین پروتون مثبت و الکترون منفی است . با استفاده از معادله شرودینگر مستقل از زمان، نادیده گرفتن تمام فعل و انفعالات اتصال اسپین و استفاده از جرم کاهش یافته {\displaystyle \mu =m_{e}M/(m_{e}+M)}، معادله به صورت زیر نوشته می شود:

{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0 }r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}

بسط لاپلاسین در مختصات کروی:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r} }\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac { \partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\ sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\ pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }

این یک معادله دیفرانسیل جزئی قابل تفکیک است که بر حسب توابع خاص قابل حل است. وقتی تابع موج به عنوان حاصلضرب توابع جدا می شودR(r)،\ تتا (\ تتا )، و\Phi (\varphi)سه تابع دیفرانسیل مستقل [6] ظاهر می شود که A و B ثابت های جداسازی هستند:

  • شعاعی:{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\ hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}
  • قطبی:

    {\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }} \right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}
  • آزیموت:

    {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.}

توابع موج موقعیت نرمال شده ، که در مختصات کروی آورده شده اند عبارتند از:

{\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\راست) }^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n -\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}

تصویر سه بعدی از حالت ویژه{\displaystyle \psi _{4،3،1}}. الکترون ها در این حالت به احتمال 45 درصد در داخل جسم جامد نشان داده شده یافت می شوند.

جایی که :

  • ∗{\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}،
  • ∗{\displaystyle a_{0}^{*}}کاهش شعاع بور است ،{\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}،
  • {\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}یک چند جمله ای تعمیم یافته لاگر درجه است{\displaystyle n-\ell -1}، و
  • {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}تابع هارمونیک کروی درجه است\ خوبو مرتبهمتر. توجه داشته باشید که چند جمله ای های لاگر تعمیم یافته توسط نویسندگان مختلف به طور متفاوتی تعریف شده اند. استفاده در اینجا با تعاریف استفاده شده توسط مسیحا، [7] و ریاضی سازگار است. [8] در جاهای دیگر، چند جمله‌ای لاگر شامل یک عامل است{\displaystyle (n+\ell )!}، [9] یا چند جمله ای تعمیم یافته لاگر که در تابع موج هیدروژن ظاهر می شود{\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}بجای. [10]

اعداد کوانتومی می توانند مقادیر زیر را بگیرند:

  • {\displaystyle n=1،2،3،\ldots }( عدد کوانتومی اصلی )
  • {\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots ,n-1}( عدد کوانتومی ازیموتال )
  • {\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }( عدد کوانتومی مغناطیسی ).

علاوه بر این، این توابع موج نرمال می شوند (یعنی انتگرال مربع مدول آنها برابر با 1 است) و متعامد :

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{ 2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\ varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}،}جایی که | n، \ خوب، m \rangleحالتی است که توسط تابع موج نشان داده می شودمتر{\displaystyle \psi _{n\ell m}}در نماد دیراک ، و\دلتاتابع دلتای کرونکر است . [11]

توابع موج در فضای تکانه با توابع موج در فضای موقعیت از طریق تبدیل فوریه مرتبط هستند.

{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {p} }\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta,\varphi)\,dV,}

که برای حالت‌های محدود، منجر به [12] می‌شود.

{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1) !}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n ^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p ^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p}،\varphi _{p})، }

جایی که {\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}نشان دهنده چند جمله ای Gegenbauer وپدر واحد{\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}} است.

راه‌حل‌های معادله شرودینگر برای هیدروژن تحلیلی هستند و بیانی ساده برای سطوح انرژی هیدروژن و بنابراین فرکانس‌های خطوط طیفی هیدروژن می‌دهند و مدل بور را به طور کامل بازتولید می‌کنند و فراتر از آن می‌روند. همچنین دو عدد کوانتومی دیگر و شکل تابع موج الکترون («اوربیتال») را برای حالت‌های مکانیکی کوانتومی ممکن به دست می‌دهد، بنابراین ویژگی ناهمسانگرد پیوندهای اتمی را توضیح می‌دهد.

معادله شرودینگر برای اتم‌ها و مولکول‌های پیچیده‌تر نیز کاربرد دارد . هنگامی که بیش از یک الکترون یا هسته وجود دارد، راه حل تحلیلی نیست و یا محاسبات کامپیوتری ضروری است یا فرضیات ساده‌سازی باید انجام شود.

از آنجایی که معادله شرودینگر فقط برای مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی معتبر است، راه حل هایی که برای اتم هیدروژن به دست می دهد کاملاً صحیح نیستند. معادله دیراک نظریه کوانتومی نسبیتی این راه حل ها را بهبود می بخشد (به زیر مراجعه کنید).