2-ذره در جعبه

تابع موج تکانه [ ویرایش ]

تابع موج تکانه متناسب با تبدیل فوریه تابع موج موقعیت است. با $k=p/\hbar$ (توجه داشته باشید که پارامتر k که تابع موج تکانه زیر را توصیف می کند دقیقاً k n ویژه بالا نیست و به مقادیر ویژه انرژی مرتبط است)، تابع موج تکانه با

$\phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{ n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi + kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i( n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t}،$ که در آن sinc تابع sinc اصلی است ، sinc( x ) = sin( x ) x . برای جعبه مرکزی ( xc = 0 )، راه حل حقیقی و به ویژه ساده است، زیرا ضریب فاز در سمت راست به وحدت کاهش می یابد. (با دقت، می توان آن را به عنوان یک تابع زوج از p نوشت .)

مشاهده می شود که طیف تکانه در این بسته موج پیوسته است، و می توان نتیجه گرفت که برای حالت انرژی توصیف شده توسط عدد موج kn ، تکانه می تواند، زمانی که اندازه گیری می شود، به مقادیر دیگری فراتر از آن نیز برسد.پ=±ک.

از این رو، همچنین به نظر می رسد که، از آنجایی که انرژی است ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ برای حالت ویژه n ، رابطه ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ به شدت برای تکانه اندازه گیری شده p صادق نیست . حالت ویژه انرژی $\psi _{n}$ یک حالت ویژه تکانه نیست، و در واقع، نه حتی برهم نهی دو حالت ویژه تکانه، همانطور که ممکن است وسوسه شود که از معادله ( 1 ) بالا تصور کنید: به طور عجیبی، آن حرکت به خوبی قبل از اندازه گیری ندارد!

توزیع احتمال موقعیت و حرکت [ ویرایش ]

در فیزیک کلاسیک، ذره را می توان در هر جایی از جعبه با احتمال مساوی تشخیص داد. با این حال، در مکانیک کوانتومی، چگالی احتمال برای یافتن یک ذره در یک موقعیت معین از تابع موج به دست می آید. $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ برای ذره در یک جعبه، چگالی احتمال برای یافتن ذره در یک موقعیت معین به حالت آن بستگی دارد و با

$P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c }+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2 }}،\\0،&{\text{در غیر این صورت}}\end{موارد}}$

بنابراین، برای هر مقدار n بزرگتر از یک، مناطقی در کادر وجود دارد که برای آنها وجود داردپ $P(x)=0$ ، نشان می دهد که گره های فضایی وجود دارند که ذره را نمی توان در آنها یافت.

در مکانیک کوانتومی، میانگین یا مقدار انتظاری موقعیت یک ذره با استفاده از

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.$

برای ذره حالت پایدار در یک جعبه، می توان نشان داد که موقعیت متوسط همیشه است $\langle x\rangle =x_{c}$ ، صرف نظر از وضعیت ذره. برای برهم نهی حالت ها، مقدار انتظاری موقعیت بر اساس ترم متقاطع که متناسب با آن است تغییر می کند $\cos(\omega t)$ .

واریانس در موقعیت معیاری برای عدم قطعیت در موقعیت ذره است:

$\mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={ \frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

چگالی احتمال برای یافتن ذره ای با تکانه معین از تابع موجی به دست می آید.پ=||2 $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ . همانند موقعیت، چگالی احتمال برای یافتن ذره در یک تکانه معین به حالت آن بستگی دارد و با

$P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\راست)^{2} \,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)$ که، دوباره، $k=p/\hbar$ . سپس مقدار انتظار برای تکانه صفر و واریانس در تکانه به صورت زیر محاسبه می شود:

$\mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}$

عدم قطعیت در موقعیت و حرکت ( $\ دلتا x$ و $\ دلتا ص$ ) برابر با جذر واریانس های مربوطه خود تعریف می شوند، به طوری که:

$\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}$

این حاصلضرب با افزایش n افزایش می یابد و دارای حداقل مقدار برای n = 1 است. مقدار این محصول برای n =1 تقریباً برابر با 0.568 است $\hbar$ که از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ پیروی می کند ، که بیان می کند که محصول بزرگتر یا مساوی با2 $\hbar /2$

معیار دیگر عدم قطعیت در موقعیت، آنتروپی اطلاعات توزیع احتمال Hx است : [7]

پورود به سیستم⁡(پ0)دورود به سیستم⁡(2ه0)

$H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \ چپ ({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)$ که در آن x 0 یک طول مرجع دلخواه است.

یکی دیگر از معیارهای عدم قطعیت در حرکت، آنتروپی اطلاعات توزیع احتمال Hp است :

$H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp$

$\lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{ L\,p_{0}}}\راست)$ جایی که γ ثابت اویلر است . اصل عدم قطعیت آنتروپیک مکانیک کوانتومی بیان می کند که برای $x_{0}\,p_{0}=\hbar$