​

نتیجه گیری [ ویرایش ]

با جایگزینی F در قضیه واگرایی با اشکال خاص، می توان اتحاد های مفید دیگری را به دست آورد (ر.ک. اتحاد های برداری ). [10]

  • با{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}برای یک تابع اسکالر g و یک میدان برداری F ،

{\displaystyle \iint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=} \اینت\scriptstyle S {\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}

یک مورد خاص این است{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}، در این صورت قضیه مبنایی برای اتحاد های گرین است .

  • با{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }برای دو فیلد برداری F و G ، که در آن\بارنشان دهنده یک ضرب خارجی است،

{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf { G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm { d} V=} \اینت{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}

  • با{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }برای دو فیلد برداری F و G ، که در آن⋅\cdotنشان دهنده یک ضرب نقطه ای است ،

{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=} \اینت\scriptstyle S {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}

  • با{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }برای fتابع اسکالر و cمیدان برداری : [11]  

{\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=} \اینت\scriptstyle S {\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c})\,\mathrm {d} V.}

آخرین جمله در سمت راست برای ثابت ناپدید می شودج\mathbf {c}یا هر میدان برداری بدون واگرایی (سلونوئیدی)، به عنوان مثال، جریان های تراکم ناپذیر بدون منبع یا فرورفتگی مانند تغییر فاز یا واکنش های شیمیایی و غیره.ج\mathbf {c}ثابت بودن:

{\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=} \اینت\scriptstyle S {\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}

  • با{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }برای میدان برداری F و بردار ثابت c : [11]

{\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=} \اینت\scriptstyle S .{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}

با مرتب کردن مجدد حاصل ضرب سه گانه در سمت راست و خارج کردن بردار ثابت انتگرال،

{\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =} \اینت{\displaystyle \scriptstyle S}{\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c}.}

از این رو،

{\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=} \اینت{\displaystyle \scriptstyle S}{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}

مثال [ ویرایش ]

فیلد برداری مربوط به مثال نشان داده شده است. بردارها ممکن است به داخل یا خارج از کره اشاره کنند.

قضیه واگرایی را می توان برای محاسبه شار از یک سطح بسته که به طور کامل یک حجم را در بر می گیرد، مانند هر یک از سطوح سمت چپ، استفاده کرد. نمی توان مستقیماً از آن برای محاسبه شار از طریق سطوح دارای مرز مانند سطوح سمت راست استفاده کرد. (سطوح آبی، مرزها قرمز هستند.)

فرض کنید می خواهیم ارزیابی کنیم

\اینت\scriptstyle S{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}

که در آن S واحد کره تعریف شده توسط

{\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ درست\}،}

و F میدان برداری است

{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}

محاسبه مستقیم این انتگرال بسیار دشوار است، اما می‌توانیم استخراج نتیجه را با استفاده از قضیه واگرایی ساده کنیم، زیرا قضیه واگرایی می‌گوید که انتگرال برابر است با:

{\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V, }

جایی که W واحد توپ است :

{\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1 \درست\}.}

از آنجایی که تابع y در یک نیمکره W مثبت و در نیمکره دیگر منفی است، به طور مساوی و مخالف، انتگرال کل آن بر روی W صفر است. برای z هم همینطور است :

{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}

از این رو،

\اینت\scriptstyle S،{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}

زیرا توپ واحد W حجم دارد 4 π/3.

​