انرژی ذخیره شده در سیستمی از بارهای سه نقطه ای [ ویرایش ]

انرژی پتانسیل الکترواستاتیک یک سیستم با سه بار را نباید با انرژی پتانسیل الکترواستاتیک Q 1 به دلیل دو بار Q 2 و Q 3 اشتباه گرفت ، زیرا دومی شامل انرژی پتانسیل الکترواستاتیک سیستم دو بار نمی شود. .

انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در سیستم سه باری عبارت است از:

{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12 }}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}

طرح کلی اثبات

با استفاده از فرمول داده شده در ( 1 )، انرژی پتانسیل الکترواستاتیکی سیستم از سه بار به صورت زیر خواهد بود:

{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1})+Q_{2}\Phi ( \mathbf {r} _{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf {r} _{3})\راست]}

جایی که\Phi ({\mathbf {r}}_{1})پتانسیل الکتریکی در r 1 است که توسط بارهای Q 2 و Q 3 ایجاد می شود \Phi ({\mathbf {r}}_{2})پتانسیل الکتریکی در r 2 است که توسط بارهای Q 1 و Q 3 ایجاد می شود و\Phi ({\mathbf {r}}_{3})پتانسیل الکتریکی در r 3 است که توسط بارهای Q 1 و Q 2 ایجاد می شود . پتانسیل ها عبارتند از:

{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{1})=\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{1 })={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}

{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{2})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{2 })={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}

{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{3})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{3})+\Phi _{2}(\mathbf {r} _{3 })={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}

جایی که r ij فاصله بین شارژ Q i و Q j است .

اگر همه چیز را اضافه کنیم:

{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1 }Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_ {21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\ فرک {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}

در نهایت، دریافتیم که انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در سیستم سه بار:

{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12 }}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}

انرژی ذخیره شده در یک توزیع میدان الکترواستاتیک در خلاء [ ویرایش ]

چگالی انرژی یا انرژی در واحد حجم،{\textstyle {\frac {dU}{dV}}}میدان الکترواستاتیک توزیع بار پیوسته عبارت است از :

{\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\راست|^{ 2}.}

طرح کلی اثبات

می توان معادله انرژی پتانسیل الکترواستاتیک توزیع بار پیوسته را در نظر گرفت و آن را بر حسب میدان الکترواستاتیک قرار داد .

از آنجایی که قانون گاوس برای میدان الکترواستاتیک به شکل دیفرانسیل بیان می کند

{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}

جایی که

  • \mathbf{E}بردار میدان الکتریکی است
  • \rhoچگالی بار کل شامل بارهای دوقطبی محدود شده در یک ماده است
  • \varepsilon _{0}گذراندن فضای آزاد است ،

سپس،

{\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\& ={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{تمام فضا}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \ ,dV\end{تراز شده}}}

بنابراین، اکنون از اتحاد بردار واگرایی زیر استفاده می کنیم

{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow ( \nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}

ما داریم

{\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{همه فضا}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi ) dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{تمام فضا}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}

با استفاده از قضیه واگرایی و در نظر گرفتن مساحت در بی نهایت که در آن\Phi (\infty )=0

{\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ space}}^{\text {boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{ تمام فاصله}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{تمام فضا}}{\frac {1}{2}}\ varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{تراز شده}}}

بنابراین، چگالی انرژی یا انرژی در واحد حجم{\textstyle {\frac {dU}{dV}}}میدان الکترواستاتیک عبارت است از :

{\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\راست|^{2}.}