از ویکیپدیا، دانشنامه آزا

تصویری از قضیه فشار

هنگامی که یک دنباله بین دو دنباله همگرا دیگر با همان حد قرار می گیرد، به این حد نیز همگرا می شود.

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، قضیه فشردن (همچنین به عنوان قضیه ساندویچ ، در میان نام‌های دیگر [a] نیز شناخته می‌شود ) یک قضیه در مورد حد تابعی است که بین دو تابع دیگر به دام افتاده است.

قضیه فشار در حساب دیفرانسیل و انتگرال و آنالیز ریاضی استفاده می شود، معمولاً برای تأیید حد یک تابع از طریق مقایسه با دو تابع دیگر که حدود آنها مشخص است. برای اولین بار توسط ریاضیدانان ارشمیدس و یودکسوس در تلاش برای محاسبه π از نظر هندسی استفاده شد و توسط کارل فردریش گاوس به صورت امروزی فرموله شد .

بیانیه [ ویرایش ]

قضیه فشردن به طور رسمی به صورت زیر بیان می شود. [1]

قضیه - اجازه دهید من یک بازه حاوی نقطه a باشم . فرض کنید g ، f و h توابعی باشند که روی I تعریف شده اند ، به جز در خود a . فرض کنید برای هر x در I برابر a نیست ، داریم

{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}و همچنین فرض کنید که

{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.}سپس.\lim_{x \به a} f(x) = L.

  • به توابع g و h گفته می شود که به ترتیب کران پایین و بالایی f هستند .
  • در اینجا، a برای دراز کشیدن در فضای داخلی I الزامی نیست . در واقع، اگر a یک نقطه پایانی از I باشد ، آنگاه محدودیت های بالا حد چپ یا راست هستند.
  • یک عبارت مشابه برای فواصل نامتناهی صادق است: به عنوان مثال، اگر I = (0، ∞) است ، نتیجه گیری برقرار است، با در نظر گرفتن حدود x → ∞ .

این قضیه برای دنباله ها نیز معتبر است. فرض کنید ( a n )، ( cn ) دو دنباله همگرا به ℓ و ( b n ) یک دنباله باشند. اگر{\displaystyle \forall n\geq N,N\in \mathbb {N} }یک n ≤ b n ≤ c n داریم ، سپس ( b n ) نیز به ℓ همگرا می شود .

اثبات [ ویرایش ]

با توجه به فرضیه های فوق، حد پایین و برتر را در نظر می گیریم:

{\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}بنابراین تمام نابرابری ها در واقع برابر هستند و این تز بلافاصله دنبال می شود.

یک اثبات مستقیم، با استفاده از ( ε , δ ) -تعریف حد، این است که ثابت کنیم برای همه ε > 0 واقعی، یک δ > 0 واقعی وجود دارد به طوری که برای همه x با،{\displaystyle |xa|<\delta ,}ما داریم|.{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}به طور نمادین،

{\displaystyle \forall \varepsilon >0،\exists \delta >0:\forall x,(|xa|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}

مانند

{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}

یعنی که

{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|xa|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|< \varepsilon )

( 1 )

و

{\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}

یعنی که

{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|xa|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|< \varepsilon )

( 2 )

سپس ما داریم

{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}

{\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}

ما می توانیم انتخاب کنیم:\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}. سپس، اگر|x - a| < \deltaبا ترکیب ( 1 ) و ( 2 ) داریم

{\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}

{\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}

که اثبات را کامل می کند. QED

اثبات دنباله ها بسیار شبیه است، با استفاده از\varepsilon-تعریف حد یک دنباله

مثالها [ ویرایش ]

مثال اول [ ویرایش ]

{\displaystyle x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}در حد فشرده شدن x به 0 می رسد

حد

{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}

نمی توان از طریق قانون حد تعیین کرد

{\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g (ایکس)،}

زیرا

{\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}

وجود ندارد.

با این حال، با تعریف تابع سینوسی ،

{\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}

نتیجه می شود که

{\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}

از آنجا که\lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0با قضیه فشار،{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}همچنین باید 0 باشد.

مثال دوم [ ویرایش ]

مقایسه مناطق:
‏ \frac {1}{2}}\cdot \sin x\cdot 1&\leq &{\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi &\leq &{\frac {1}{2}} \cdot \tan x\cdot 1\\[4pt]\Rightarrow &\sin x&\leq &x&\leq &{\frac {\sin x}{\cos x}}\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {\cos x}{\sin x}}&\leq &{\frac {1}{x}}&\leq &{\frac {1}{\sin x}}\\[4pt]\Rightarrow &\ cos x&\leq &{\frac {\sin x}{x}}&\leq &1\end{آرایه}}}

احتمالاً شناخته شده ترین نمونه های یافتن حد با فشردن، اثبات برابری ها هستند.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{ \frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{تراز شده}}}

حد اول با استفاده از قضیه فشار از این واقعیت ناشی می شود که [2]

{\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}

برای x به اندازه کافی نزدیک به 0. صحت آن برای x مثبت را می توان با استدلال هندسی ساده مشاهده کرد (به نقاشی مراجعه کنید) که می تواند به x منفی نیز گسترش یابد. حد دوم از قضیه فشار و این واقعیت که

{\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}برای x به اندازه کافی نزدیک به 0 است. این را می توان با جایگزین کردن sin x در واقعیت قبلی توسط1-cos2⁡{\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}و مجذور نابرابری حاصل.

این دو حد در اثبات این واقعیت استفاده می شود که مشتق تابع سینوس تابع کسینوس است. این واقعیت در سایر شواهد مشتقات توابع مثلثاتی استناد شده است.

مثال سوم [ ویرایش ]

می توان آن را نشان داد

{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }با فشردن به شرح زیر است.

در تصویر سمت راست، مساحت کوچکتر از دو بخش سایه دار دایره است

{\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}

چون شعاع sec θ است و قوس روی دایره واحد دارای طول Δ θ است . به طور مشابه، مساحت بزرگتر از دو بخش سایه دار است

{\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}

چیزی که بین آنها فشرده می شود مثلثی است که قاعده آن قسمت عمودی است که انتهای آن دو نقطه است. طول قاعده مثلث tan( θ + Δ θ ) - tan θ است و ارتفاع آن 1 است. بنابراین مساحت مثلث برابر است

{\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}

از نابرابری ها

{\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{ 2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}

استنباط می کنیم که

{\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}( \تتا +\دلتا \تتا )}

اگر Δ θ > 0 باشد، و اگر Δ θ < 0 باشد، نابرابری ها معکوس می شوند . از آنجایی که عبارات اول و سوم به sec 2 θ به عنوان Δθ → 0 نزدیک می شوند و عبارت میانی نزدیک {\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}نتیجه مطلوب در پی می آید.ددد

مثال چهارم [ ویرایش ]

قضیه فشردگی هنوز هم می تواند در محاسبات چند متغیره استفاده شود، اما توابع پایین (و بالا) باید زیر (و بالاتر) تابع هدف نه فقط در طول یک مسیر، بلکه در اطراف کل همسایگی نقطه مورد نظر باشند و فقط در صورتی کار می کند که تابع باشد. واقعاً محدودیتی در آنجا وجود دارد. بنابراین، می توان از آن برای اثبات اینکه یک تابع در یک نقطه محدودیت دارد استفاده کرد، اما هرگز نمی توان برای اثبات اینکه یک تابع در یک نقطه محدودیت ندارد استفاده کرد. [3]

{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}

نمی توان با گرفتن هر تعداد محدودیت در طول مسیرهایی که از نقطه عبور می کنند پیدا کرد، اما از آنجا که

{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt ]-|y|\leq y\leq |y|\به معنی &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} }&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{ (x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\Implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\ frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{آرایه}}}

بنابراین، با قضیه فشار،

{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}

منابع [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

  1. ^ همچنین به عنوان قضیه نیشگون گرفتن ، قانون ساندویچ ، قضیه پلیس ، قضیه بین و گاهی اوقات لم فشار نیز شناخته می شود . در ایتالیا، این قضیه به عنوان قضیه کارابینیر نیز شناخته می شود .

منابع [ ویرایش ]

  1. ↑ سهراب، هوشنگ ح. (۱۳۸۲). تجزیه و تحلیل واقعی پایه (ویرایش دوم). بیرخاوزر . پ. 104. شابک 978-1-4939-1840-9.
  2. ↑ Selim G. Krejn, VN Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik . Springer, 2013, ISBN 9783322986283 , pp. 80-81 (آلمانی). همچنین به سال خان مراجعه کنید : اثبات: حد (سین x)/x در x=0 (ویدئو، آکادمی خان )
  3. ↑ استوارت، جیمز (2008). "فصل 15.2 محدودیت ها و تداوم". حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره (ویرایش ششم). ص 909-910. شابک 978-0495011637.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

  • وایستاین، اریک دبلیو. "قضیه فشرده سازی" . دنیای ریاضی .
  • قضیه فشرده توسط بروس اتوود (کالج بلویت) پس از کار توسط سلوین هالیس (دانشگاه دولتی آرمسترانگ آتلانتیک)، پروژه تظاهرات ولفرام .
  • قضیه فشرده در ProofWiki.

​https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem