2-نماد برا-کت

تابع موج موقعیت-فضا بدون چرخش

اجزای گسسته A k بردار مختلط A = Σ A k e k ، که به فضای بی‌بعدی هیلبرت قابل شمارش تعلق دارد. تعداد بی نهایت k مقادیر و بردارهای پایه e kوجود دارد .

مولفه های پیوسته ψ ( x ) بردار مختلط ψ = ∫ d x ψ ( x ) x ، که به فضای بی‌بعدی هیلبرت تعلق دارد . بی نهایت مقادیر x و بردارهای پایه وجود دارد ایکس .

اجزای بردارهای مختلط در برابر عدد شاخص رسم شده اند. k گسسته و x پیوسته . دو مؤلفه خاص از بینهایت بسیاری برجسته شده است.

فضای هیلبرت یک ذره نقطه اسپین -0 توسط یک "موقعیت پایه " { r } ، جایی که برچسب r روی مجموعه تمام نقاط در فضای موقعیت گسترش می یابد . این برچسب مقدار ویژه عملگر موقعیت است که بر اساس چنین حالتی عمل می کند. ${\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle$ . از آنجایی که تعداد نامحدودی از اجزای برداری در پایه وجود دارد ، این یک فضای هیلبرت بی‌بعدی غیرقابل شمارش است. ابعاد فضای هیلبرت (معمولا بی نهایت) و فضای موقعیت (معمولاً 1، 2 یا 3) نباید با هم ترکیب شوند.

شروع از هر کت Ψ در این فضای هیلبرت، می توان یک تابع اسکالر مختلط r را تعریف کرد که به عنوان تابع موج شناخته می شود .

$\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.$

در سمت چپ، Ψ( r ) تابعی است که هر نقطه در فضا را به یک عدد مختلط نگاشت می کند. در سمت راست،

$\left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle$

یک کت متشکل از برهم نهی کت ها با ضرایب نسبی مشخص شده توسط آن تابع است.

سپس مرسوم است که عملگرهای خطی که بر روی توابع موج عمل می کنند بر حسب عملگرهای خطی که بر روی کت ها عمل می کنند، تعریف کنیم.

${\hat {A}}(\mathbf {r})~\Psi (\mathbf {r})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.$

به عنوان مثال، عملگر حرکت ${\hat {\mathbf {p} }}$ دارای نمایندگی مختصات زیر است،

${\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \ mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.$

حتی گاهی اوقات با عباراتی مانند $\nabla |\Psi \rangle$ ، اگرچه این چیزی شبیه سوء استفاده از علامت گذاری است . عملگر دیفرانسیل باید به عنوان یک عملگر انتزاعی در نظر گرفته شود که بر روی کت ها عمل می کند، که اثر متمایز کردن توابع موج را پس از نمایش عبارت بر اساس موقعیت، دارد.، $\nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,$ حتی اگر در مبنای تکانه، این عملگر به یک عملگر ضرب صرف (با iħ p ) می رسد. که این است که بگوییم،

$\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,$

یا

${\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r } |~.$

همپوشانی حالت ها

در مکانیک کوانتومی عبارت φ ψ معمولاً به عنوان دامنه احتمال برای سقوط حالت ψ به حالت φ تفسیر می شود . از نظر ریاضی، این به معنای ضریب نمایش ψ روی φ است . همچنین به عنوان طرح ریزی حالت ψ بر روی حالت φ توصیف می شود .

تغییر اساس برای یک ذره اسپین-1/2

یک ذره اسپین ثابت 1 ⁄ 2 فضای هیلبرت دو بعدی دارد. یک مبنای متعارف این است:

$|{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downnarrow }_{z}\rangle$

کجا ↑ z حالتی است با مقدار معین عملگر اسپین S z برابر با + 1 ⁄ 2 و ↓ z حالتی است که مقدار مشخصی از عملگر اسپین S z برابر با − 1⁄2 است .

از آنجایی که اینها یک پایه هستند ، هر حالت کوانتومی ذره را می توان به صورت ترکیب خطی (یعنی برهم نهی کوانتومی ) از این دو حالت بیان کرد:

$|\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downnarrow }_{z}\rangle$

که در آن a ψ و b ψ اعداد مختلط هستند.

یک مبنای متفاوت برای همان فضای هیلبرت این است:

$|{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downnarrow }_{x}\rangle$

بر حسب S x به جای S z تعریف شده است .

باز هم، هر حالتی از ذره را می توان به صورت ترکیب خطی این دو بیان کرد:

$|\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downnarrow }_{x}\rangle$

به صورت برداری، ممکن است بنویسید

$|\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}$

بسته به اینکه از چه مبنایی استفاده می کنید به عبارت دیگر، «مختصات» یک بردار به مبنای استفاده شده بستگی دارد.

یک رابطه ریاضی بینآ $a_{\psi }$ ، $b_{\psi }$ ، $c_{\psi }$ و $d_{\psi }$ ; تغییر مبنا را ببینید .

مسائل و کاربردهای مبهم

برخی قراردادها و کاربردهای نمادگذاری وجود دارد که ممکن است برای دانش‌آموزان تازه کار یا ابتدایی گیج کننده یا مبهم باشد.

جداسازی ضرب داخلی و بردارها

یکی از دلایل سردرگمی این است که نماد عملیات ضرب داخلی را از نماد یک بردار (برا) جدا نمی کند. اگر یک بردار سینه‌بند (دو فضایی) به‌عنوان ترکیبی خطی از سایر بردارهای سینه‌بند ساخته شود (مثلاً هنگام بیان آن بر اساس برخی از پایه‌ها)، نماد ابهام ایجاد می‌کند و جزئیات ریاضی را پنهان می‌کند. می‌توانیم نماد برا-کت را با استفاده از بولد برای بردارها مقایسه کنیم، مانند ${\boldsymbol {\psi }}$ ، و $(\cdot,\cdot)$ برای ضرب داخلی بردار برا فضای دوگانه زیر را در پایه در نظر بگیرید $\{|e_{n}\rangle \}$ :

$\langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}$

اگر اعداد مختلط باشد، باید طبق قرارداد تعیین شود $\{\psi _{n}\}$ داخل یا خارج ضرب داخلی هستند و هر قراردادی نتایج متفاوتی را به همراه دارد.

$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}$

$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\ cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}$

استفاده مجدد از نمادها

استفاده از نماد یکسان برای برچسب ها و ثابت ها معمول است . مثلا، ${\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ ، جایی که نماد $\ آلفا$ به طور همزمان به عنوان نام اپراتور استفاده می شود $\ کلاه \ آلفا$ ، بردار ویژه آن $|\alpha\rangle$ و مقدار ویژه مرتبط $\ آلفا$ . گاهی اوقات کلاه نیز برای اپراتورها رها می شود و می توان نمادهایی مانند