ارزش های انتظاری

عملگرها به ما این امکان را می دهند که مقدار انتظاری برخی از کمیت های فیزیک را با توجه به تابع موج محاسبه کنیم. اگر یک ذره در حالت باشد \bgroup\color{black}$\psi(x,t)$\egroup، روش معمولی برای محاسبه مقدار انتظاری \bgroup\color{black}$f(x)$\egroupاست

\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\langle f(x)\rangle_\psi = \int\limits_{-... ...= \int\limits_{-\infty}^\infty \psi ^*(x)\psi(x) f(x) dx.\egroup\end{displaymath}

می‌توانیم \bgroup\color{black}$f(x)$\egroupقبل از \bgroup\color{black}$\psi$\egroupپیش‌بینی استفاده از عملگرهای خطی، بین این دو حرکت کنیم.

\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\langle f(x)\rangle_\psi=\int\limits_{-\infty}^\infty \psi^*(x) f(x) \psi(x ) dx\egroup\end{displaymath}

اگر متغیری که می‌خواهیم مقدار انتظاری (مانند \bgroup\color{black}$p$\egroup) را محاسبه کنیم تابع ساده‌ای نیست \bgroup\color{black}$x$\egroup، اجازه دهید عملگر آن عمل کند \bgroup\color{black}$\psi(x)$\egroup. ارزش انتظاری از $p$در حالت $\psi$ است

\bgroup\color{black}$\displaystyle \langle p\rangle_\psi =\langle\psi\vert p\vert\psi\rangle= \int\limits_{-\infty}^\infty\psi^*(x )p^{(op)}\psi(x) dx$\egroup

نمادبراکت دیراک که در بالا نشان داده شده است، روشی مناسب برای نشان دادن مقدار انتظاری یک متغیر با توجه به حالتی است.

* مثال: یک ذره در حالت است . ارزش انتظاری چیست ؟ $\psi(x)=\left({1\over 2\pi\alpha}\right)^{1/4} e^{ik_0x} e^{-{x^2\over 4\alpha}}$$p$*

برای هر کمیت فیزیکی \bgroup\color{black}$v$\egroup، مقدار انتظاری \bgroup\color{black}$v$\egroupدر حالت دلخواه\bgroup\color{black}$\psi$\egroup برابر است

\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\langle\psi\vert v\vert\psi\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\psi^*(x)v^{(op )}\psi(x) dx\egroup\end{displaymath}

مقادیر انتظاری مقادیر فیزیکی باید واقعی باشد .

Gasiorowicz فصل 3

گریفیث فصل 1

کوهن تنودجی و همکاران. فصل

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node107.html