ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با معادله موج اشتباه شود .

مقایسه مفاهیم نوسانگر هارمونیک کلاسیک و کوانتومی برای یک ذره بدون اسپین این دو فرآیند بسیار متفاوت هستند. فرآیند کلاسیک (A-B) به عنوان حرکت یک ذره در طول یک مسیر نشان داده می شود. فرآیند کوانتومی (C-H) چنین خط سیری ندارد. بلکه به صورت موج نشان داده می شود. در اینجا، محور عمودی قسمت واقعی (آبی) و قسمت خیالی (قرمز) تابع موج را نشان می دهد. پانل ها (C-F) چهار راه حل موج ایستاده مختلف معادله شرودینگر را نشان می دهند . پانل‌ها (G–H) دو تابع موج متفاوت را نشان می‌دهند که راه‌حل‌های معادله شرودینگر هستند اما امواج ایستاده نیستند.

در فیزیک کوانتومی ، تابع موج توصیفی ریاضی از وضعیت کوانتومی یک سیستم کوانتومی ایزوله است . تابع موج یک دامنه احتمال با مقدار مختلط است و احتمالات نتایج احتمالی اندازه‌گیری‌های انجام شده روی سیستم را می‌توان از آن استخراج کرد. رایج ترین نمادها برای یک تابع موج، حروف یونانی ψ و Ψ (به ترتیب با حروف کوچک و بزرگ psi ) هستند.

تابع موج تابعی از درجات آزادی متناظر با حداکثر مجموعه ای از مشاهدات در حال رفت و آمد است . هنگامی که چنین نمایشی انتخاب شد، تابع موج را می توان از حالت کوانتومی مشتق کرد.

برای یک سیستم معین، انتخاب درجات آزادی رفت و آمد برای استفاده منحصر به فرد نیست، و به همین ترتیب دامنه تابع موج نیز منحصر به فرد نیست. به عنوان مثال، ممکن است تابعی از تمام مختصات موقعیت ذرات در فضای موقعیت، یا لحظه لحظه تمام ذرات بر فضای تکانه در نظر گرفته شود . این دو با تبدیل فوریه به هم مرتبط هستند . برخی از ذرات، مانند الکترون‌ها و فوتون‌ها ، دارای اسپین غیرصفر هستند و تابع موج برای چنین ذرات شامل اسپین به عنوان درجه آزادی ذاتی و گسسته است. سایر متغیرهای گسسته را نیز می توان گنجاند، مانند isospin. هنگامی که یک سیستم دارای درجات آزادی داخلی است، تابع موج در هر نقطه در درجات آزادی پیوسته (به عنوان مثال، یک نقطه در فضا) یک عدد مختلط برای هر مقدار ممکن از درجات آزادی گسسته (مثلا، مولفه z از اسپین) - این مقادیر اغلب در یک ماتریس ستونی نمایش داده می شوند ( مثلاً یک بردار ستونی 2×1 برای یک الکترون غیر نسبیتی با اسپین 1⁄2 ).

بر اساس اصل برهم نهی مکانیک کوانتومی، توابع موج را می توان با هم جمع کرد و در اعداد مختلط ضرب کرد تا توابع موج جدیدی را تشکیل دهند و فضای هیلبرت را تشکیل دهند . حاصل ضرب درونی بین دو تابع موج، معیاری برای همپوشانی بین حالت‌های فیزیکی متناظر است و در تفسیر احتمالی مکانیک کوانتومی، قانون Born ، که احتمالات انتقال را به ضرب داخلی مرتبط می‌کند، استفاده می‌شود. معادله شرودینگر تعیین می کند که چگونه توابع موج در طول زمان تکامل می یابند، و یک تابع موج مانند امواج دیگر مانند امواج آب یا امواج روی یک رشته رفتار کیفی دارد، زیرا معادله شرودینگر از نظر ریاضی نوعی ازمعادله موج . این نام "تابع موج" را توضیح می دهد و باعث ایجاد دوگانگی موج - ذره می شود . با این حال، تابع موج در مکانیک کوانتومی، نوعی پدیده فیزیکی را توصیف می‌کند که هنوز برای تفاسیر مختلف باز است ، که اساساً با امواج مکانیکی کلاسیک متفاوت است . [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

در تفسیر آماری بورن در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، [8] [9] [10] مدول مجذور تابع موج،

| ψ | ^2 ،

یک عدد حقیقی است که به عنوان چگالی احتمال اندازه‌گیری یک ذره به عنوان قرار گرفتن در یک مکان معین – یا داشتن یک تکانه معین – در یک زمان معین، و احتمالاً داشتن مقادیر مشخصی برای درجات آزادی گسسته تفسیر می‌شود . انتگرال این کمیت، در تمام درجات آزادی سیستم، باید مطابق با تفسیر احتمال 1 باشد. این نیاز کلی که یک تابع موج باید برآورده کند، نامیده می شودشرایط نرمالسازی . از آنجایی که تابع موج دارای مقادیر مختلط است، فقط فاز نسبی و مقدار نسبی آن را می توان اندازه گیری کرد - مقدار آن به طور مجزا چیزی در مورد بزرگی ها یا جهت های قابل مشاهده های قابل اندازه گیری نمی گوید. باید عملگرهای کوانتومی را که مقادیر ویژه آنها با مجموعه‌ای از نتایج ممکن اندازه‌گیری مطابقت دارد، در تابع موج ψ اعمال کرد و توزیع‌های آماری را برای کمیت‌های قابل اندازه‌گیری محاسبه کرد.

​