از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس های دارای تقارن روی فیلد اعداد حقیقی ، به ماتریس متقارن مراجعه کنید .

در ریاضیات ، یک ماتریس هرمیتی (یا ماتریس خود الحاقی ) یک ماتریس مربع مختلط است که برابر است با جابه‌جایی مزدوج خود - یعنی عنصر موجود در ردیف i و ستون j برابر با مزدوج مختلط است. عنصر موجود در ردیف j و ستون i برای همه شاخص‌های i و j :

{\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {{a}_{ji}}}}

یا به صورت ماتریسی:

{\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}

ماتریس های هرمیتی را می توان به عنوان بسط مختلط ماتریس های متقارن حقیقی درک کرد .

اگر انتقال مزدوج یک ماتریس آبا نشان داده می شود{\displaystyle A^{\mathsf {H}},}ر این صورت می توان خاصیت هرمیتی را به طور خلاصه نوشت

{\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}}

ماتریس های هرمیتی به نام چارلز هرمیت نامگذاری شده اند که در سال 1855 نشان داد که ماتریس های این شکل دارای ویژگی مشترکی با ماتریس های متقارن حقیقی هستند که همیشه دارای مقادیر ویژه حقیقی هستند . سایر نمادهای معادل در استفاده رایج هستند،{\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },}اگرچه در مکانیک کوانتومی A^{\ast }معمولاً فقط به معنای مزدوج مختلطاست و نه انتقال مزدوج .

خصوصیات جایگزین [ ویرایش ]

ماتریس‌های هرمیتی را می‌توان به چند روش معادل مشخص کرد که برخی از آنها در زیر ذکر شده‌اند:

تساوی با الحاق [ ویرایش ]

یک ماتریس مربع آهرمسی است اگر و فقط در صورتی که مساوی با الحاق آن باشد ، یعنی راضی کند

{\displaystyle \langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,}برای هر جفت بردار{\displaystyle \mathbf {v}،\mathbf {w}،}جایی که{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }عملکرد ضرب داخلی را نشان می دهد .

مفهوم کلی تر عملگر خود الحاقی نیز به این صورت تعریف می شود.

حقیقیت اشکال درجه دوم [ ویرایش ]

یکn\times {}nماتریس آهرمیتی است اگر و فقط اگر

{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}

خواص طیفی [ ویرایش ]

یک ماتریس مربعآهرمیتی است اگر و تنها در صورتی که به صورت واحد با مقادیر ویژه حقیقی قابل قطریابی باشد .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

ماتریس های هرمیتی برای مکانیک کوانتومی بنیادی هستند زیرا عملگرهایی را با مقادیر ویژه لزوما حقیقی توصیف می کنند. یک مقدار ویژه آیک اپراتور {\ کلاه {A}}در یک حالت کوانتومی |\psi \rangleیکی از نتایج اندازه گیری احتمالی عملگر است که نیاز به عملگرهایی با مقادیر ویژه حقیقی را ضروری می کند.

مثال ها و راه حل ها [ ویرایش ]

در این بخش، انتقال مزدوج ماتریسآبه عنوان مشخص می شود،{\displaystyle A^{\mathsf {H}},}جابجایی ماتریسآبه عنوان مشخص می شود{\displaystyle A^{\mathsf {T}}}و مزدوج ماتریسآبه عنوان مشخص می شود{\displaystyle {\overline {A}}.}

مثال زیر را ببینید:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}

عناصر قطر باید حقیقی باشند ، زیرا باید مزدوج مختلط خودشان باشند.

خانواده‌های معروف ماتریس‌های هرمیتی شامل ماتریس‌های پاولی ، ماتریس‌های ژل-مان و تعمیم‌های آن‌ها هستند. در فیزیک نظری، چنین ماتریس‌های هرمیتی اغلب در ضرایب خیالی ضرب می‌شوند ، [1] [2] که منجر به ماتریس‌های هرمیتی کج می‌شود .

در اینجا، ماتریس هرمیتی مفید دیگری را با استفاده از یک مثال انتزاعی ارائه می کنیم. اگر ماتریس مربعآبرابر حاصل ضرب یک ماتریس با جابجایی مزدوج آن است، یعنی،{\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}},}سپسآیک ماتریس نیمه معین مثبت هرمیتی است . علاوه بر این، اگربردیف کامل است، پسآمثبت قطعی است

خواص [ ویرایش ]

[آیکون]

این بخش نیاز به گسترش با موارد زیر دارد: اثبات خواص درخواستی. می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( فوریه 2018 )

مقادیر مورب اصلی حقیقی هستند [ ویرایش ]

ورودی های مورب اصلی (بالا چپ به پایین سمت راست) هر ماتریس هرمیتی حقیقی هستند .

اثبات

با تعریف ماتریس هرمیتی

{\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}} بنابراین برای i = j موارد فوق به شرح زیر است.

فقط ورودی های قطر اصلی لزوما حقیقی هستند. ماتریس‌های هرمیتین می‌توانند ورودی‌های با ارزش مختلط دلخواه در عناصر خارج از قطر خود داشته باشند ، تا زمانی که ورودی‌های قطر مخالف مزدوج‌های مختلط باشند.

متقارن [ ویرایش ]

ماتریسی که فقط ورودی های حقیقی دارد متقارن است اگر و فقط اگر ماتریس هرمیتی باشد. یک ماتریس حقیقی و متقارن به سادگی یک مورد خاص از یک ماتریس هرمیتی است.

اثبات

{\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}طبق تعریف بدین ترتیب {\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}(تقارن ماتریس) اگر و فقط اگر{\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}}(H_{{ij}}حقیقی است).

بنابراین، اگر یک ماتریس ضد متقارن حقیقی در مضرب حقیقی واحد فرضی ضرب شود.من،سپس هرمیتی می شود.

عادی [ ویرایش ]

هر ماتریس هرمیتی یک ماتریس معمولی است . که این است که بگوییم،{\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.}

اثبات

{\displaystyle A=A^{\mathsf {H}},}بنابراین .{\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.}

قابل قطری شدن[ ویرایش ]

قضیه طیفی بُعد محدود می گوید که هر ماتریس هرمیتی را می توان با یک ماتریس واحد مورب قرار داد و ماتریس مورب حاصل فقط دارای ورودی های حقیقی است. این نشان می‌دهد که همه مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی A با بعد n حقیقی هستند و A دارای n بردار ویژه مستقل خطی است . علاوه بر این، یک ماتریس هرمیتی دارای بردارهای ویژه متعامد برای مقادیر ویژه متمایز است. حتی اگر مقادیر ویژه منحط وجود داشته باشد، همیشه می توان یک مبنای متعامد برای C n متشکل از n پیدا کرد.بردارهای ویژه A.

مجموع ماتریس های هرمیتی [ ویرایش ]

مجموع هر دو ماتریس هرمیتی هرمیتی است.

اثبات

{\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji}،}

همانطور که ادعا شد

معکوس هرمیتی است [ ویرایش ]

معکوس یک ماتریس هرمیتی معکوس نیز هرمیتی است.

اثبات

اگر،{\displaystyle A^{-1}A=I,}سپس ،{\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A ^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}،}بنابراین {\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}همانطور که ادعا شد

حاصلضرب انجمنی ماتریس های هرمیتی [ ویرایش ]

حاصل ضرب دو ماتریس هرمیتی A و B هرمیتی است اگر و فقط اگر AB = BA .

اثبات

{\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\ mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A ^{\mathsf {H}}=BA.} بدین ترتیب{\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB} اگر و تنها اگر.{\displaystyle AB=BA.}

بنابراین A n هرمیتی است اگر A هرمیتی باشد و n یک عدد صحیح باشد.

ABA هرمیتی [ ویرایش ]

اگر A و B هرمیتین باشند، ABA نیز هرمیتین است.

اثبات

{\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}} =A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}

v H A v برای v مختلط حقیقی است [ ویرایش ]

برای یک بردار با ارزش مختلط دلخواه v ضرب{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }حقیقی است به دلیل.{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \راست)^{ \mathsf {H}}.}این به ویژه در فیزیک کوانتومی که ماتریس‌های هرمیتی عملگرهایی هستند که ویژگی‌های یک سیستم را اندازه‌گیری می‌کنند، به عنوان مثال اسپین کل ، که باید حقیقی باشد، مهم است.

هرمیتین مختلطفضای برداری را روی R تشکیل می دهد [ ویرایش ]

ماتریس‌های مختلط هرمیتین n -by- n فضای برداری را روی اعداد مختلط ، C تشکیل نمی‌دهند ، زیرا ماتریس هویت I n هرمیتی است، اما i  I n نیست. با این حال، ماتریس‌های هرمیتی مختلطفضای برداری را روی اعداد حقیقی R تشکیل می‌دهند . در فضای برداری 2 n 2 بعدی ماتریس های مختلط n  ×  n روی R ، ماتریس های هرمیتی مختلط زیرفضای بعدی n 2 را تشکیل می دهند. . اگر Ejk ماتریس n -by- n را با 1 در موقعیت j ، k و صفر در جاهای دیگر نشان دهد ، یک مبنای (متعارف با توجه به حاصلضرب داخلی فروبنیوس) را می توان به صورت زیر توصیف کرد :

{\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ ماتریس}})}

همراه با مجموعه ای از ماتریس های فرم

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ ماتریس‌ها}}\right)}

و ماتریس ها

{\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ ماتریس‌ها}}\right)}

جایی که منواحد خیالی را نشان می دهد ، .{\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}

یک مثال این است که چهار ماتریس پائولی مبنای کاملی برای فضای برداری همه ماتریس‌های هرمیتی مختلط2 در 2 بر روی R را تشکیل می‌دهند .

تجزیه ویژه [ ویرایش ]

اگر n بردار ویژه متعارف باشد {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}از یک ماتریس هرمیتی به عنوان ستون های ماتریس U انتخاب شده و نوشته می شود ، سپس یک تجزیه ویژه A برابر است با {\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}جایی که{\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}و بنابراین

{\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}}،} جایی که\lambda _{j}مقادیر ویژه روی قطر ماتریس قطری هستند.\لامبدا .

مقادیر مفرد [3] [ ویرایش ]

مقادیر مفرد ازآآمقادیر مطلق مقادیر ویژه آن هستند:

از آنجا کهآآدارای یک تجزیه ویژه استآ=�Λ�اچ{\displaystyle A=U\Lambda U^{H}}، جایی کهUیک ماتریس واحد است (ستون های آن بردارهای متعامد هستند؛ به بالا مراجعه کنید )، یک تجزیه مقدار منفرد ازآآاست{\displaystyle A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}}، جایی که{\displaystyle |\Lambda |}و{\displaystyle {\text{sgn}}(\Lambda )}ماتریس های مورب حاوی مقادیر مطلق هستند|\لامبدا |و نشانه ها{\displaystyle {\text{sgn}}(\lambda )}ازآآ's به ترتیب مقادیر ویژه.{\displaystyle \operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}}واحد است، زیرا ستون هایU^{H}فقط ضرب می شوند\ بعد از ظهر 1.{\displaystyle |\Lambda |}حاوی مقادیر مفرد ازآ، یعنی مقادیر مطلق مقادیر ویژه آن.

تعیین کننده حقیقی [ ویرایش ]

تعیین کننده یک ماتریس هرمیتی حقیقی است:

اثبات

{\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)= {\overline {\det(A)}}} بنابراین اگرآ=آاچ⇒det(آ)=det(آ)¯.{\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.}

(در عوض، تعیین کننده حاصل ضرب مقادیر ویژه ماتریس است، و همانطور که قبلا ذکر شد، مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی حقیقی هستند.)

تجزیه به ماتریس های هرمیتی و کج-هرمیتی [ ویرایش ]

حقایق اضافی مربوط به ماتریس های هرمیتی عبارتند از:

  • مجموع یک ماتریس مربع و انتقال مزدوج آن{\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}هرمیتیست است
  • تفاوت یک ماتریس مربع و انتقال مزدوج آن{\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}کج-هرمیتین است (همچنین ضد هرمیت نیز نامیده می شود). این نشان می دهد که کموتاتور دو ماتریس هرمیتی چوله-هرمیتی است.
  • یک ماتریس مربع دلخواه C را می توان به صورت مجموع یک ماتریس هرمیتی A و یک ماتریس هرمیتی-ارمیت B نوشت . این به عنوان تجزیه تاپلیتز C شناخته می شود . [4] : 227 

    {\displaystyle C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}

ضریب ریلی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضریب ریلی

در ریاضیات، برای یک ماتریس هرمیتی مختلط M و بردار غیرصفر x ، ضریب ریلی [5]،{\displaystyle R(M,\mathbf {x})،}به این صورت تعریف می شود: [4] : p. 234  [6]

{\displaystyle R(M,\mathbf {x}):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf { H}}\mathbf {x} }}.}

برای ماتریس ها و بردارهای حقیقی، شرط هرمیتی بودن به حالت متقارن بودن کاهش می یابد و حالت مزدوج جابجا می شود.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}به جابجایی معمولیایکستی.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}.} {\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}برای هر اسکالر حقیقی غیر صفرج.ج.همچنین، به یاد بیاورید که یک ماتریس هرمیتی (یا متقارن حقیقی) دارای مقادیر ویژه حقیقی است.

می توان نشان داد [4] که برای یک ماتریس معین، ضریب رایلی به حداقل مقدار خود می رسد.\lambda_\min(کوچکترین مقدار ویژه M) زمانی که \mathbf {x}است{\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}(بردار ویژه مربوطه). به همین ترتیب،{\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}و{\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.}

ضریب ریلی در قضیه min-max برای بدست آوردن مقادیر دقیق همه مقادیر ویژه استفاده می شود. همچنین در الگوریتم های مقدار ویژه برای به دست آوردن یک تقریب مقدار ویژه از یک تقریب بردار ویژه استفاده می شود. به طور خاص، این مبنای تکرار ضریب ریلی است.

محدوده ضریب ریلی (برای ماتریسی که لزوماً هرمیتی نیست) یک محدوده عددی (یا طیف در تحلیل تابعی) نامیده می شود. وقتی ماتریس هرمیتی باشد، محدوده عددی برابر با هنجار طیفی است. هنوز در تحلیل عملکردی،\lambda_\maxبه شعاع طیفی معروف است. در زمینه جبرهای C* یا مکانیک کوانتومی جبری، تابعی که به M ضریب رایلی R ( M , x ) را برای x ثابت و M که در جبر تغییر می کند مرتبط می کند، به عنوان "وضعیت برداری" جبر نامیده می شود. .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • ماتریس متقارن مختلط- ماتریس برابر با جابجایی آن
  • فرمول افزودنی اینرسی هاینزورث - مقادیر ویژه مثبت، منفی و صفر یک ماتریس هرمیتی تقسیم‌بندی شده را می‌شمارد.
  • شکل هرمیتی - تعمیم یک فرم دوخطی
  • ماتریس معمولی - ماتریسی که با جابجایی مزدوج خود جابجا می شود
  • قضیه شور-هورن - قطر یک ماتریس هرمیتی را با مقادیر ویژه مشخص می کند.
  • عملگر خود الحاقی - عملگر خطی برابر با اپراتور خود
  • ماتریس Skew-هرمیتی - ماتریسی که جابه‌جایی مزدوج آن منفی (معکوس افزودنی) آن است (ماتریس ضد هرمیت)
  • ماتریس واحد - ماتریس مختلطای که جابه جایی مزدوج آن برابر با معکوس آن است
  • فضای برداری – ساختار جبری در جبر خطی

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix

​