گشتاورهای یک تابع

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای مفهوم فیزیکی، گشتاور (فیزیک) را ببینید .

در ریاضیات ، گشتاورهای یک تابع ، معیارهای کمی خاص مربوط به شکل نمودار تابع هستند . اگر تابع نشان‌دهنده چگالی جرم باشد، ممان صفر جرم کل، گشتاور اول (نرمال شده با جرم کل) مرکز جرم و ممان دوم ممان اینرسی است . اگر تابع یک توزیع احتمال باشد ، گشتاور اول مقدار مورد انتظار ، گشتاور مرکزی دوم واریانس ، سومین گشتاور استاندارد شده چولگی است .و چهارمین گشتاور استاندارد شده کشش است . مفهوم ریاضی ارتباط نزدیکی با مفهوم گشتاور در فیزیک دارد.

برای توزیع جرم یا احتمال در یک بازه محدود ، مجموعه تمام گشتاورها (از همه مرتبه ها، از 0 تا ∞ ) به طور منحصر به فردی توزیع را تعیین می کند ( مسئله گشتاور هاسدورف ). همین امر در فواصل نامحدود صادق نیست ( مسئله گشتاور همبرگر ).

در اواسط قرن نوزدهم، پافنوتی چبیشف اولین کسی بود که به طور سیستماتیک بر حسب گشتاور های متغیرهای تصادفی فکر کرد . [1]

اهمیت گشتاور ها [ ویرایش ]

گشتاور خام n- امین (یعنی گشتاور حدود صفر) یک توزیع با [2] تعریف می شود.

$\mu '_{n}=\langle x^{n}\rangle$ جایی که

$\langle f(x)\rangle ={\begin{cases}\sum f(x)P(x),&{\text{توزیع گسسته}}\\\int f(x)P(x) dx،&{\text{توزیع پیوسته}}\end{موارد}}$ گشتاور n یک تابع پیوسته با ارزش واقعی f ( x ) یک متغیر واقعی در مورد مقدار c انتگرال است

$\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(xc)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$ می‌توان گشتاور‌ها را برای متغیرهای تصادفی به‌صورت کلی‌تر از گشتاور‌ها برای توابع با ارزش واقعی تعریف کرد - گشتاور‌ها را در فضاهای متریک ببینید . ممان یک تابع، بدون توضیح بیشتر، معمولاً به عبارت بالا با c = 0 اشاره دارد. برای ممان های دوم و بالاتر، معمولاً به جای ممان ها از ممان مرکزی (گشتاور هایی در مورد میانگین، با c میانگین استفاده می شود) استفاده می شود. حدود صفر، زیرا اطلاعات واضح تری در مورد شکل توزیع ارائه می دهند.

ممکن است لحظات دیگری نیز تعریف شوند. به عنوان مثال، گشتاور معکوس n ام در مورد صفر استE⁡ $\operatorname {E} \left[X^{-n}\right]$ و گشتاور لگاریتمی n در حدود صفر است. $\operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].$

گشتاور n در حدود صفر تابع چگالی احتمال f ( x ) مقدار مورد انتظار X n است و گشتاور خام یا گشتاور خام نامیده می شود . [3] گشتاورهای مربوط به میانگین μ آن را ممان مرکزی می نامند . اینها شکل تابع را مستقل از ترجمه توصیف می کنند .

اگر f یک تابع چگالی احتمال باشد ، آنگاه مقدار انتگرال بالا را گشتاور n ام توزیع احتمال می نامند . به طور کلی، اگر F یک تابع توزیع احتمال تجمعی از هر توزیع احتمال باشد، که ممکن است تابع چگالی نداشته باشد، گشتاور n- امین توزیع احتمال توسط انتگرال ریمان-استیلتس به دست می‌آید.

$\mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)$ که در آن X یک متغیر تصادفی است که دارای این توزیع تجمعی F است و E عملگر یا میانگین انتظار است . چه زمانی

$\operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right| \,\mathrm {d} F(x)=\infty$

گفته می شود گشتاور وجود ندارد. اگر گشتاور n -ام در مورد هر نقطه وجود داشته باشد، گشتاور ( n - 1) -ام (و بنابراین، تمام گشتاورهای مرتبه پایین) در مورد هر نقطه نیز وجود دارد . گشتاور صفر هر تابع چگالی احتمال 1 است، زیرا مساحت زیر هر تابع چگالی احتمال باید برابر با یک باشد.

اهمیت ممان ها (خام، مرکزی، نرمال) و تجمع کننده ها (خام، نرمال شده)، در ارتباط با ویژگی های نامگذاری شده توزیع ها
گشتاور ترتیبی	گشتاور			تجمع کننده
گشتاور ترتیبی	خام	مرکزی	استاندارد شده	خام	عادی شده است
1	منظور داشتن	0	0	منظور داشتن	-
2	–	واریانس	1	واریانس	1
3	–	–	چولگی	–	چولگی
4	–	–	کشیدگی (غیر افراطی یا تاریخی).	–	کشیدگی بیش از حد
5	–	–	بیش از حد چولگی	–	–
6	–	–	بیش از حد	–	–
7	–	–	–	–	–

لحظات استاندارد شده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گشتاور استاندارد شده

ممان مرکزی n- امین نرمال شده یا ممان استاندارد شده، n- امین گشتاور مرکزی تقسیم بر σ n است . نرمال شده n -مین گشتاور مرکزی متغیر تصادفی X است

${\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]} {\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.$

این گشتاورهای مرکزی نرمال شده کمیت های بدون بعد هستند که توزیع را مستقل از هر تغییر خطی مقیاس نشان می دهند.

برای یک سیگنال الکتریکی، گشتاور اول سطح DC آن است و گشتاور دوم متناسب با توان متوسط آن است. [4] [5]

لحظات قابل توجه [ ویرایش ]

میانگین [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: میانگین

اولین گشتاور خام میانگین است که معمولاً نشان داده می شود $\mu \equiv \operatorname {E} [X].$

واریانس [ ویرایش ]

مقاله اصلی: واریانس

دومین گشتاور مرکزی واریانس است . جذر مثبت واریانس انحراف معیار است $\sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.$

چولگی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چولگی

سومین گشتاور مرکزی، اندازه گیری کج بودن توزیع است. هر توزیع متقارن، در صورت تعریف، یک گشتاور مرکزی سوم برابر با صفر خواهد داشت. سومین ممان مرکزی نرمال شده چولگی نامیده می شود ، اغلب γ . توزیعی که به سمت چپ متمایل است (دم توزیع در سمت چپ بلندتر است) دارای چولگی منفی خواهد بود. توزیعی که به سمت راست متمایل است (دم توزیع در سمت راست بلندتر است)، چولگی مثبت خواهد داشت.

برای توزیع هایی که خیلی متفاوت از توزیع نرمال نیستند ، میانه نزدیک به μ - γσ /6 خواهد بود . حالت در مورد μ - γσ / 2 .

کورتوز [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کورتوزیس

چهارمین گشتاور مرکزی معیاری از سنگینی دم توزیع است. از آنجایی که انتظار قدرت چهارم است، چهارمین گشتاور مرکزی، در جایی که تعریف شده است، همیشه غیرمنفی است. و به جز توزیع نقطه ای ، همیشه کاملاً مثبت است. چهارمین گشتاور مرکزی یک توزیع نرمال 3 σ 4 است .

کشش κ به عنوان چهارمین ممان مرکزی استاندارد شده تعریف شده است . (به طور معادل، همانطور که در بخش بعدی، کشیدگی اضافی چهارمین تجمعی است که بر مربع جمع کننده دوم تقسیم می شود .) [6] [7] اگر توزیعی دارای دم های سنگین باشد، کشیدگی زیاد خواهد بود (گاهی اوقات لپتوکورتیک نامیده می شود). برعکس، توزیع های دم نور (به عنوان مثال، توزیع های محدود مانند یکنواخت) دارای کشیدگی کم هستند (گاهی اوقات پلاتیکورتیک نامیده می شود).

کشیدگی می تواند بدون محدودیت مثبت باشد، اما κ باید بزرگتر یا مساوی γ2 1 باشد . برابری فقط برای توزیع های باینری برقرار است . برای توزیع‌های اریب نامحدود که خیلی از نرمال فاصله ندارند، κ تمایل دارد جایی در ناحیه γ2 و 2 γ2 باشد .

نابرابری را می توان با در نظر گرفتن اثبات کرد

$\operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]$

که در آن T = ( X - μ )/ σ . این انتظار مربع است، بنابراین برای همه a غیر منفی است . با این حال آن را نیز یک چند جمله ای درجه دوم در یک است . تمایز آن باید غیر مثبت باشد که رابطه مورد نیاز را می دهد.

لحظات بالاتر [ ویرایش ]

لحظات درجه بالا ، لحظاتی فراتر از لحظات درجه 4 هستند.

مانند واریانس، چولگی و کشیدگی، اینها آمارهای مرتبه بالاتری هستند که شامل ترکیبات غیر خطی داده‌ها می‌شوند و می‌توانند برای توصیف یا تخمین پارامترهای شکل بیشتر استفاده شوند . هر چه گشتاور بالاتر باشد، تخمین سخت‌تر است، به این معنا که نمونه‌های بزرگ‌تری برای به دست آوردن تخمین‌هایی با کیفیت مشابه مورد نیاز است. این به دلیل درجات آزادی بیش از حد مصرف شده توسط سفارشات بالاتر است. علاوه بر این، تفسیر آن‌ها می‌تواند ظریف باشد، و اغلب به آسانی بر حسب ممان‌های مرتبه پایین‌تر قابل درک هستند - مشتقات مرتبه بالاتر حرکت ناگهانی و پرش را در فیزیک مقایسه کنید.. به عنوان مثال، دقیقاً همانطور که گشتاور مرتبه 4 (کورتوزیس) را می توان به عنوان "اهمیت نسبی دم در مقایسه با شانه ها در مشارکت در پراکندگی" تفسیر کرد (برای مقدار معینی از پراکندگی، کشش بالاتر مربوط به دم های ضخیم تر است، در حالی که کشش کمتر مربوط به پراکندگی است. تا شانه های پهن تر)، گشتاور مرتبه 5 را می توان به عنوان اندازه گیری "اهمیت نسبی دم ها در مقایسه با مرکز ( حالت و شانه ها) در کمک به چولگی" تفسیر کرد (برای مقدار معینی از چولگی، گشتاور 5 بالاتر مربوط به چولگی بالاتر در قسمت های دم و چولگی اندک حالت، در حالی که گشتاور 5 پایین تر مربوط به چولگی بیشتر در شانه ها است).

لحظات مختلط [ ویرایش ]

گشتاور های مختلط لحظاتی هستند که چندین متغیر را در بر می گیرند.

ارزش $E[X^{k}]$ گشتاور نظم نامیده می شودک $ک$ (گشتاور ها نیز برای غیر انتگرال تعریف شده اندک $ک$ ). گشتاور های توزیع مشترک متغیرهای تصادفی $X_{1}...X_{n}$ به طور مشابه تعریف می شوند. برای هر عدد صحیحکمن≥0 $k_{i}\geq 0$ ، انتظار ریاضی $E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]$ گشتاور نظم ترکیبی نامیده می شودک $ک$ (جایی که $k=k_{1}+...+k_{n}$ ) و $E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]$ یک گشتاور مرکب مرکزی از نظم نامیده می شودک $ک$ . گشتاور مختلط $E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]$ کوواریانس نامیده می شود و یکی از ویژگی های اساسی وابستگی بین متغیرهای تصادفی است.

برخی از نمونه‌ها عبارتند از کوواریانس ، کوکورتوز و کوکورتوز . در حالی که یک کوواریانس منحصر به فرد وجود دارد، چند هم چولگی و هم کورتوز وجود دارد.

خواص گشتاور ها [ ویرایش ]

دگرگونی مرکز [ ویرایش ]

از آنجا که

$(xb)^{n}=(x-a+ab)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(xa)^{i}(ab )^{ni}$ جایی که ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ ضریب دوجمله ای است ، از این رو می توان گشتاورهای مربوط به b را از گشتاورهای مربوط به a توسط:

$E\left[(xb)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(xa)^{i}\right] (ab)^{ni}.$

گشتاور پیچیدگی تابع [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: پیچیدگی

گشتاور پیچیدگی ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$

می خواند

$\mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{ni}[g]$ جایی که $\mu _{n}[\,\cdot \,]$ نشان می دهد $n$ -مین گشتاور از تابع داده شده در پرانتز. این هویت توسط قضیه کانولوشن برای تابع تولید گشتاور و اعمال قانون زنجیره برای متمایز کردن یک محصول دنبال می شود.

تجمع کننده ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تجمعی

اولین گشتاور خام و دومین و سومین ممان مرکزی غیر نرمال شده ، افزایشی هستند به این معنا که اگر X و Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند ، آنگاه

${\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\ نام اپراتور {Var} (X)+\نام اپراتور {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y) \end{تراز شده}}$

(اینها همچنین می توانند برای متغیرهایی که شرایط ضعیف تری نسبت به استقلال برآورده می کنند نیز صادق باشند. اولی همیشه برقرار است، اگر دومی برقرار باشد، متغیرها نامرتبط نامیده می شوند. نامیده می شوند ).

در واقع، اینها سه انباشته اول هستند و همه انباشته‌ها این خاصیت افزودنی را به اشتراک می‌گذارند.

نمونه لحظات [ ویرایش ]

برای همه k ، k- امین گشتاور خام یک جمعیت را می توان با استفاده از k- امین گشتاور نمونه خام تخمین زد.

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$

برای نمونه X 1 ، ...، X n که از جامعه گرفته شده است اعمال شد.

می توان نشان داد که مقدار مورد انتظار گشتاور نمونه خام برابر با k- امین گشتاور خام جامعه است، در صورت وجود آن گشتاور، برای هر اندازه نمونه n . بنابراین یک برآوردگر بی طرف است. این در تضاد با موقعیت گشتاور های مرکزی است، که محاسبه آنها با استفاده از میانگین نمونه، درجه ای از آزادی را مصرف می کند. بنابراین برای مثال یک تخمین بی طرفانه از واریانس جمعیت (لمان مرکزی دوم) توسط داده می شود

${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$ که در آن مخرج قبلی n با درجات آزادی n - 1 جایگزین شده است و در آن ${\bar {X}}$ به میانگین نمونه اشاره دارد. این تخمین گشتاور جمعیتی با یک ضریب بیشتر از گشتاور نمونه مشاهده شده تعدیل نشده است، ${\tfrac {n}{n-1}}،$ و از آن به عنوان "واریانس نمونه تعدیل شده" یا گاهی اوقات به سادگی "واریانس نمونه" یاد می شود.

مشکل گشتاور ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مشکل گشتاور

مسائل تعیین توزیع احتمال از توالی گشتاور های آن را مسئله گشتاور می گویند . چنین مسائلی برای اولین بار توسط PL Chebyshev (1874) [8] در ارتباط با تحقیق در مورد قضایای حد مورد بحث قرار گرفت. به منظور توزیع احتمال یک متغیر تصادفیایکس $ایکس$ منحصر به فرد با لحظاتش تعریف شود $\alpha _{k}=EX^{k}$ برای مثال، کافی است که شرایط کارلمن برآورده شود:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty$ یک نتیجه مشابه حتی برای لحظات بردارهای تصادفی نیز صادق است. مسئله گشتاور ها به دنبال شخصیت پردازی سکانس ها است ${{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }$ که دنباله‌ای از گشتاورهای تابع f، همه ممان‌ها هستند $\alpha _{k}(n)$ که متناهی هستند و برای هر عدد صحیحک≥1 $k\geq 1$ اجازه دهید

$\alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,$ جایی که $\alpha _{k}$ محدود است سپس یک دنباله وجود دارد ${\mu _{n}}'$ که ضعیف به یک تابع توزیع همگرا می شود $\mu$ داشتن $\alpha _{k}$ به عنوان لحظاتش اگر گشتاور ها تعیین کنند $\mu$ منحصر به فرد، سپس دنباله ${\mu _{n}}'$ ضعیف به همگرا می شود $\mu$ .

لحظات جزئی [ ویرایش ]

گاهی اوقات از لحظات جزئی به عنوان "گشتاور های یک طرفه" یاد می شود. گشتاورهای جزئی پایین و بالایی مرتبه n با توجه به نقطه مرجع r ممکن است به صورت بیان شود

$\mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(rx)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x ،$

$\mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(xr)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$

اگر تابع انتگرال همگرا نباشد، گشتاور جزئی وجود ندارد.

گشتاورهای جزئی با بالا بردن توان 1/ n نرمال می شوند . نسبت پتانسیل صعودی ممکن است به عنوان نسبت یک گشتاور جزئی مرتبه اول بالا به یک گشتاور جزئی پایین مرتبه دوم نرمال شده بیان شود. آنها در تعریف برخی از معیارهای مالی، مانند نسبت Sortino ، استفاده شده اند ، زیرا آنها صرفاً بر روی جنبه های صعودی یا نزولی تمرکز دارند.

لحظات مرکزی در فضاهای متریک [ ویرایش ]

فرض کنید ( M , d ) یک فضای متریک باشد ، و اجازه دهید B( M ) جبر Borel σ روی M باشد ، جبر σ که توسط زیرمجموعه‌های باز d M ایجاد می‌شود . (به دلایل فنی، همچنین راحت است که فرض کنیم M یک فضای جداشدنی با توجه به متریک d است .) اجازه دهید 1 ≤ p ≤ ∞ .

p- امین گشتاور مرکزی یک اندازه گیری μ در فضای قابل اندازه گیری ( M , B( M )) در مورد یک نقطه معین x 0 ∈ M تعریف شده است

$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).$

اگر گشتاور مرکزی p در حدود x 0 برای برخی از x 0 ∈ M محدود باشد، می گویند μ دارای گشتاور مرکزی p محدود است .

این اصطلاح برای اندازه‌گیری‌ها به روش معمول به متغیرهای تصادفی منتقل می‌شود: اگر (Ω, Σ, P ) یک فضای احتمال و X : Ω → M یک متغیر تصادفی است، آنگاه p -امین گشتاور مرکزی X حدود x 0 ∈ M به صورت تعریف شده است

$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right )\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\ omega )=\operatorname {\mathbf {E}} [d(X,x_{0})^{p}],$ و X دارای گشتاور مرکزی p- امین محدود است اگر گشتاور مرکزی p- امین X حدود x 0 برای برخی x 0 ∈ M محدود باشد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)#Central_moments_in_metric_spaces

+ نوشته شده در پنجشنبه چهارم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 0:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی