تعریف در مکانیک کلاسیک

مقالات اصلی: اسکالر (فیزیک) و بردار اقلیدسی

درست مانند سرعت زاویه ای ، دو نوع خاص از تکانه زاویه ای یک جسم وجود دارد : تکانه زاویه ای چرخشی ، تکانه زاویه ای در مورد مرکز جرم جسم است ، در حالی که تکانه زاویه ای مداری، تکانه زاویه ای در مورد یک مرکز چرخش انتخاب شده است. زمین از نظر ماهیت حرکت زاویه ای مداری دارد که به دور خورشید می چرخدو یک تکانه زاویه ای اسپین بر اساس طبیعت چرخش روزانه آن حول محور قطبی. تکانه زاویه ای کل حاصل جمع اسپین و گشتاور زاویه ای مداری است. در مورد زمین، مقدار اولیه حفظ شده، تکانه زاویه ای کل منظومه شمسی است، زیرا تکانه زاویه ای به میزان کم اما مهمی بین سیارات و خورشید مبادله می شود. بردار تکانه زاویه ای مداری یک ذره نقطه ای همیشه موازی و با بردار سرعت زاویه ای مداری آن ω متناسب است ، که در آن ثابت تناسب هم به جرم ذره و هم به فاصله آن از مبدا بستگی دارد. بردار تکانه زاویه‌ای چرخشی یک جسم صلب متناسب است اما همیشه موازی با بردار سرعت زاویه‌ای چرخشی Ω نیست.، ثابت تناسب را به جای یک اسکالر، یک تانسور درجه دوم می کند.

سرعت ذره m نسبت به مبدا O را می توان به اجزای موازی با ( ∥v ) و عمود بر (⊥ v ) شعاع r تقسیم کرد . تکانه زاویه ای m با مولفه عمودی⊥ v سرعت یا معادل آن با فاصله عمودی ⊥r از مبدا متناسب است.

تکانه زاویه ای یک کمیت برداری است (به طور دقیق تر، یک شبه بردار ) که حاصل ضرب اینرسی و سرعت دورانی جسم (بر حسب رادیان در ثانیه) حول یک محور خاص را نشان می دهد. با این حال، اگر مسیر ذره در یک صفحه قرار گیرد ، کافی است ماهیت برداری حرکت زاویه ای را کنار بگذاریم و آن را به عنوان یک اسکالر (به طور دقیق تر، شبه مقیاس ) در نظر بگیریم. تکانه زاویه ای را می توان آنالوگ چرخشی تکانه خطی در نظر گرفت. بنابراین، جایی که تکانه خطی p متناسب با جرم m و سرعت خطی v است ،

{\displaystyle p=mv,}

تکانه زاویه ای L متناسب با گشتاور اینرسی I و سرعت زاویه ای ω است که بر حسب رادیان در ثانیه اندازه گیری می شود. [6]

{\displaystyle L=I\omega .}

بر خلاف جرم که فقط به مقدار ماده بستگی دارد، ممان اینرسی به موقعیت محور چرخش و شکل ماده نیز بستگی دارد. برخلاف سرعت خطی که به انتخاب مبدا بستگی ندارد، سرعت زاویه ای مداری همیشه با توجه به یک مبدا ثابت اندازه گیری می شود. بنابراین، به طور دقیق، L را باید به عنوان تکانه زاویه ای نسبت به آن مرکز نام برد .

زیرا

{\displaystyle I=r^{2}m}

برای یک ذره و

{\displaystyle \omega ={v}/{r}}

برای حرکت دایره ای، تکانه زاویه ای را می توان گسترش داد،

{\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}

و به

{\displaystyle L=rmv,}

حاصل ضرب شعاع چرخش r و تکانه خطی

p = mv

، جایی کهvدر این حالت معادل سرعت خطی (مماسی) در شعاع ({\displaystyle =r\omega }).

این تحلیل ساده می‌تواند برای حرکت غیر دایره‌ای نیز اعمال شود، اگر فقط مؤلفه حرکت عمود بر بردار شعاع در نظر گرفته شود. در این مورد،

{\displaystyle L=rmv_{\perp }،}

جایی که{\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}جزء عمودی حرکت است. در حال گسترش،،

{\displaystyle L=rmv\sin(\theta)،}

تنظیم مجدد،،

{\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}

و کاهش، تکانه زاویه ای را نیز می توان بیان کرد،

{\displaystyle L=r_{\perp }mv,}

جایی که

{\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}

طول بازوی لحظه ای است ، خطی که به طور عمود از مبدأ بر روی مسیر ذره سقوط می کند. این تعریف،

(طول بازوی گشتاور)×(تکانه خطی) است که اصطلاح گشتاور تکانه به آن اشاره دارد.