کمیت های فیزیکی در مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

انرژی جنبشی [ ویرایش ]

انرژی جنبشی کل سیستم، انرژی حرکت سیستم است که به صورت [9] تعریف می شود.

T = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k\,,

که در آن · ضرب نقطه ای است . انرژی جنبشی فقط تابعی از سرعت v k است، نه خود مختصات r k . در مقابل، یک مشاهده مهم این است [10]

{\displaystyle {\dot {\mathbf {r}}}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n} \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_ {j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}،}

که انرژی جنبشی را نشان می دهد به طور کلی تابعی از سرعت ها، مختصات و زمان تعمیم یافته است اگر محدودیت ها نیز با زمان تغییر کنند، بنابراین

T = T ( q , d q / dt , t ) .

در صورتی که محدودیت‌های ذرات مستقل از زمان باشند، پس تمام مشتقات جزئی نسبت به زمان صفر هستند و انرژی جنبشی تابعی همگن درجه 2 در سرعت‌های تعمیم‌یافته است.

هنوز برای حالت مستقل از زمان، این عبارت معادل گرفتن عنصر خط به مجذور مسیر برای ذره k است .

ds_k^2 = d\mathbf{r}_k\cdot d\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) dq_i dq_j \,,

و تقسیم بر دیفرانسیل مربع در زمان، dt 2 ، برای به دست آوردن سرعت مجذور ذره k . بنابراین برای محدودیت های مستقل از زمان، دانستن عنصر خط برای به دست آوردن سریع انرژی جنبشی ذرات و در نتیجه لاگرانژ کافی است . [11]

دیدن موارد مختلف مختصات قطبی در دو بعدی و سه بعدی، به دلیل ظاهر مکرر آنها، آموزنده است. در مختصات قطبی دوبعدی ( r , θ ) ,

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 \,,

در مختصات استوانه ای سه بعدی ( r , θ , z ) ,

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2 \,,

در مختصات کروی سه بعدی ( r , θ , φ ) ,

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta \, \dot {\varphi}^2 \,.

حرکت تعمیم یافته [ ویرایش ]

تکانه تعمیم یافته " به طور متعارف مزدوج به" مختصات q i با تعریف می شود

p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.

اگر L لاگرانژی به مختصاتی q i وابسته نباشد ، از معادلات اویلر-لاگرانژ نتیجه می‌شود که تکانه تعمیم یافته متناظر یک کمیت حفظ شده خواهد بود ، زیرا مشتق زمانی صفر است که به معنای تکانه ثابت حرکت است.

{\dot {p}}_{i}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\جزئی L}{\جزئی q_{i}}}=0\,.