مثال [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: آونگ کروی

آونگ کروی از جرم m تشکیل شده است که بدون اصطکاک روی سطح یک کره حرکت می کند . تنها نیروهای وارد بر جرم، واکنش کره و گرانش است . مختصات کروی برای توصیف موقعیت جرم بر حسب ( r ، θ ، φ ) استفاده می شود، جایی که r ثابت است، r = l .

آونگ کروی : زوایا و سرعت ها.

لاگرانژی برای این سیستم [2] است.

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\ phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}

بنابراین همیلتونی است

{\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}

جایی که

{\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}{\dot {\theta }}}

و

{\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\ نقطه {\phi }}.}

از نظر مختصات و لحظه، همیلتونی می خواند

{\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \ تتا {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2ml^{2}}}+{\frac {P_{\phi }^{2}}{ 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }

معادلات همیلتون تکامل زمانی مختصات و گشتاور مزدوج را در چهار معادله دیفرانسیل مرتبه اول نشان می دهد.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over ml^{2}}\\{\dot {\phi }}&={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }\\{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\ sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta \\{\dot {P_{\phi }}}&=0.\end{تراز شده}}}

تکانه {\displaystyle P_{\phi }}، که مربوط به مولفه عمودی تکانه زاویه ای است ˙{\displaystyle L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}، ثابت حرکت است. این نتیجه تقارن چرخشی سیستم حول محور عمودی است. غیبت از همیلتونی، آزیموت \phiیک مختصات حلقوی است که حاکی از حفظ تکانه مزدوج آن است.

استخراج معادلات همیلتون [ ویرایش ]

معادلات همیلتون را می توان با محاسبه با لاگرانژ به دست آورد {\mathcal L}، موقعیت های تعمیم یافته q i ، و سرعت های تعمیم یافته q̇ i ، که در{\displaystyle i=1,\ldots ,n}. [3] در اینجا ما خارج از پوسته کار می کنیم ، به این معنی{\displaystyle q^{i},{\dot {q}}^{i},t}مختصات مستقلی در فضای فاز هستند و برای پیروی از هیچ معادله حرکتی محدود نیستند (به ویژه،{\dot {q}}^{i}مشتق نیستq^{i}). دیفرانسیل کل لاگرانژ عبارت است از:

{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\ mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q }}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .}

مختصات تکانه تعمیم یافته به این صورت تعریف شد{\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}، بنابراین می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} {\mathcal {L}}&=&\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L} }}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&=&\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L }}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,. \end{آرایه}}}

پس از تنظیم مجدد، فرد به دست می آورد:

{\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{ i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{ i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .}

اصطلاح داخل پرانتز در سمت چپ فقط همیلتونی است {\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}قبلا تعریف شده است، بنابراین:

{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}} \mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \t جزئی}}\mathrm {d} t\ .}

همچنین می توان دیفرانسیل کل هامیلتونی را محاسبه کرد{\mathcal {H}}با توجه به مختصات{\displaystyle q^{i},p_{i},t}بجای{\displaystyle q^{i},{\dot {q}}^{i},t}، بازده:

{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\ mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac { \partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .}

اکنون می توان این دو عبارت را برابر دانست {\displaystyle d{\mathcal {H}}}، یکی از نظر{\mathcal L}، دیگری از نظر{\mathcal {H}}:

{\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\ نقطه {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ = \ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\ جزئی {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t} }\mathrm {d} t\ .}

از آنجایی که این محاسبات خارج از پوسته هستند، می توان ضرایب مربوطه را برابر کردد{\displaystyle \mathrm {d} q^{i}،\mathrm {d} p_{i}،\mathrm {d} t}در دو طرف:

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i }}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\ frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}

روی پوسته، یکی جایگزین توابع پارامتریک می شود{\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}که یک مسیر را در فضای فاز با سرعت تعریف می کنند{\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}با رعایت معادلات لاگرانژ :

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i} }}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}

تنظیم مجدد و نوشتن از نظر روی پوسته {\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}می دهد:

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}

بنابراین معادلات لاگرانژ معادل معادلات همیلتون است:

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\ جزئی {\mathcal {H}}}{\ جزئی p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{ \partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}

در مورد مستقل از زمان {\mathcal {H}}و{\mathcal L}، یعنی{\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}معادلات همیلتون از 2 n معادله دیفرانسیل مرتبه اول تشکیل شده است ، در حالی که معادلات لاگرانژ از n تشکیل شده است. معادله درجه دوم تشکیل شده است. معادلات همیلتون معمولاً دشواری یافتن راه حل های صریح را کاهش نمی دهد، اما می توان از آنها نتایج نظری مهمی استخراج کرد، زیرا مختصات و لحظه ای متغیرهای مستقل با نقش های تقریباً متقارن هستند.

معادلات همیلتون یک مزیت دیگر نسبت به معادلات لاگرانژ دارد: اگر یک سیستم دارای تقارن باشد، به طوری که برخی از آن ها با هم هماهنگ شوند.q_{i}در هامیلتونی (یعنی یک مختصات چرخه ای )، مختصات تکانه مربوطه رخ نمی دهدپمن{\displaystyle p_{i}}در طول هر خط سیر حفظ می شود و آن مختصات را می توان در سایر معادلات مجموعه به یک ثابت کاهش داد. این به طور موثر مشکل را از n مختصات به مختصات ( n - 1) کاهش می دهد : این اساس کاهش ساده در هندسه است. در چارچوب لاگرانژی، بقای تکانه نیز بلافاصله دنبال می‌شود، اما تمام سرعت‌های تعمیم‌یافته{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}هنوز در لاگرانژ رخ می دهد، و یک سیستم معادلات در n مختصات هنوز باید حل شود. [4]

رویکردهای لاگرانژی و همیلتونی زمینه را برای نتایج عمیق‌تر در مکانیک کلاسیک فراهم می‌کنند و فرمول‌های مشابهی را در مکانیک کوانتومی پیشنهاد می‌کنند : فرمول انتگرال مسیر و معادله شرودینگر .