از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

سر ویلیام روآن همیلتون

بخشی از یک سریال در
مکانیک کلاسیک
{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}

قانون دوم حرکت

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

مبانی

پنهان شدن

فرمولاسیون

نشان می دهد

موضوعات اصلی

نشان می دهد

چرخش

نشان می دهد

دانشمندان

مکانیک هامیلتونی در سال 1833 به عنوان فرمول بندی مجدد مکانیک لاگرانژی ظهور کرد . معرفی شده توسط سر ویلیام روآن همیلتون ، [1] مکانیک همیلتونی جایگزین سرعت ها (تعمیم شده) می شود.{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}در مکانیک لاگرانژی با لحظه (تعمیم) استفاده می شود . هر دو نظریه تفسیرهایی از مکانیک کلاسیک ارائه می‌کنند و پدیده‌های فیزیکی یکسانی را توصیف می‌کنند.

مکانیک هامیلتونی رابطه نزدیکی با هندسه دارد (به ویژه هندسه سمپلتیک و ساختارهای پواسون ) و به عنوان پیوندی بین مکانیک کلاسیک و کوانتومی عمل می کند .

نمای کلی [ ویرایش ]

مختصات فضای فاز (p,q) و همیلتونین H [ ویرایش ]

اجازه دهید{\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}یک سیستم مکانیکی با فضای پیکربندی باشدمو لاگرانژی صاف.{\displaystyle {\mathcal {L}}.}یک سیستم مختصات استاندارد را انتخاب کنید{\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}بر{\displaystyle M.}مقادی{\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\ جزئی {\mathcal {L}}}/{\جزئی {\dot {q}}^{i}}}لحظه ای نامیده می شوند . (همچنین لحظه ای تعمیم یافته ، لحظه ای مزدوج و لحظه ای متعارف ). برای یک لحظه ،تی،تبدیل لژاندر از{\mathcal {L}}به عنوان نقشه تعریف می شود{\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}که فرض می شود معکوس صاف دارد.{\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}برای سیستمی باnدرجات آزادی، مکانیک لاگرانژی تابع انرژی را تعریف می کند

{\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}} \,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^ {i}}}-{\mathcal {L}}.}

تبدیل لژاندر از{\mathcal {L}}چرخش{\displaystyle E_{\mathcal {L}}}به یک تابع {\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}معروف به همیلتونی همیلتونی رضایت می دهد

{\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q} },t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}که دلالت بر آن دارد

{\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot { q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}جایی که سرعت ها{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}از (n-بعدی) معادله ˙{\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}که بر اساس فرض، منحصراً قابل حل است{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}.}(2n-بعدی) جفت{\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}مختصات فضای فاز نامیده می شود . (همچنین مختصات متعارف ).

از معادله اویلر-لاگرانژ تا معادلات همیلتون [ ویرایش ]

در مختصات فضای فاز،{\displaystyle ({\boldsymbol {p}}،{\boldsymbol {q}})،}(n-بعدی) معادله اویلر-لاگرانژ

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal { L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0}معادلات همیلتون در می شود2nابعاد [ چگونه؟ ]

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}،\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}} }{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}

از اصل کنش ثابت تا معادلات همیلتون [ ویرایش ]

اجازه دهید {\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}مجموعه مسیرهای هموار باشد{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}برای کدام{\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}و{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}عمل کاربردی {\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\به \ mathbb {R} }از طریق تعریف شده است

{\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t) ,{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{ \dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}جایی که{\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)،}و{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}(بالا را ببین). یک مسیر{\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}یک نقطه ثابت ازاس{\displaystyle {\mathcal {S}}}(و از این رو معادله حرکت است) اگر و فقط اگر مسیر{\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t)،{\boldsymbol {q}}(t))}در مختصات فضای فازی از معادلات همیلتون تبعیت می کند.

تفسیر فیزیکی پایه [ ویرایش ]

یک تفسیر ساده از مکانیک همیلتونی از کاربرد آن بر روی یک سیستم تک بعدی متشکل از یک ذره غیر نسبیتی به جرم m بدست می آید . ارزش H(p,q)همیلتون انرژی کل سیستم است، در این مورد مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل است که به طور سنتی به ترتیب T و V نشان داده می شود . در اینجا p تکانه mv و q مختصات فضا است. سپس

{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\quad ,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad ,\quad V=V(q)}T تابعی از p به تنهایی است، در حالی که V تابعی از q به تنهایی است (یعنی T و V اسکلرونومیک هستند ).

در این مثال، مشتق زمانی q سرعت است و بنابراین اولین معادله همیلتون به این معنی است که سرعت ذره با مشتق انرژی جنبشی آن نسبت به تکانه آن برابر است. مشتق زمانی تکانه p برابر با نیروی نیوتنی است و بنابراین معادله دوم همیلتون به این معنی است که نیرو برابر با گرادیان منفی انرژی پتانسیل است.