​

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک عملگر خود الحاقی بر روی فضای برداری مختلط بی‌بعدی V با حاصلضرب داخلی \langle \cdot ،\cdot \rangle(به طور معادل، یک عملگر هرمیتی در حالت بعد محدود) یک نقشه خطی A (از V به خودش) است که الحاق خودش است . اگر V بعد محدود با یک مبنای متعارف معین باشد ، این معادل با شرطی است که ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد ، یعنی برابر با جابه‌جایی مزدوج آن A ∗ . بر اساس قضیه طیفی بُعد محدود ، V یک مبنای متعامد دارد به طوری که ماتریس A نسبت به این مبنا یک ماتریس قطری با ورودی های اعداد حقیقی . این مقاله به اعمال تعمیم این مفهوم برای عملگرهای فضاهای هیلبرت با ابعاد دلخواه می پردازد.

عملگرهای خود الحاقی در تحلیل تابعی و مکانیک کوانتومی استفاده می شوند . در مکانیک کوانتومی اهمیت آنها در فرمول دیراک-فون نویمان مکانیک کوانتومی نهفته است، که در آن مشاهده پذیرهای فیزیکی مانند موقعیت ، تکانه ، تکانه زاویه ای و اسپین توسط عملگرهای خود به هم پیوسته در فضای هیلبرت نشان داده می شوند. اپراتور هامیلتونی از اهمیت ویژه ای برخوردار است{\ کلاه {H}}تعریف شده بوسیله ی

{\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}

که به عنوان یک قابل مشاهده مطابق با انرژی کل ذره ای به جرم m در میدان پتانسیل حقیقیV است . عملگرهای دیفرانسیل دسته مهمی از عملگرهای نامحدود هستند .

ساختار عملگرهای خود الحاقی در فضاهای هیلبرت بی‌بعدی اساساً شبیه حالت بعد محدود است. به این معنا که عملگرها اگر و تنها در صورتی که به طور واحد معادل عملگرهای ضرب با ارزش واقعی باشند، به خود متصل هستند . با اصلاحات مناسب، این نتیجه را می توان به عملگرهای احتمالاً نامحدود در فضاهای بی‌بعد تعمیم داد. از آنجایی که یک عملگر خود الحاقی که در همه جا تعریف شده است لزوماً محدود است، باید در مورد نامحدود به موضوع دامنه توجه بیشتری داشت. در زیر با جزئیات بیشتر توضیح داده شده است.

تعاریف [ ویرایش ]

فرض کنید آیک عملگر نامحدود (یعنی نه لزوماً محدود) با دامنه متراکم باشد.{\displaystyle \operatorname {Dom} A\subsetq H.} این شرط به طور خودکار زمانی کهاچاز آنجایی که بعد محدود است{\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}برای هر عملگر خطی در یک فضای محدود.

اجازه دهید ضرب درونی{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }در آرگومان دوم مزدوج-خطی باشد . این فقط در مورد فضاهای مختلط هیلبرت صدق می کند. طبق تعریف، عملگر الحاقی A^{*}روی زیرفضا عمل می کند{\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H}متشکل از عناصرyکه برای آن وجود دارد{\displaystyle z\in H}به طوری که،{\displaystyle \langle Axe,y\rangle =\langle x,z\rangle ,}برای هر{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A.}تنظیمات {\displaystyle A^{*}y=z}عملگر خطی را تعریف می کند.{\displaystyle A^{*}.}

نمودار یک اپراتور (خودسرانه) .آمجموعه است{\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}یک اپراتوربگفته می شود تمدید می کند آاگر.{\displaystyle G(A)\subsetq G(B).}این به صورت نوشته شده .{\displaystyle A\subsetq B.}

عملگر متراکم تعریف شدهآ متقارن نامیده می شود هرگاه

{\displaystyle \langle Axe,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}

برای همه{\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A.}همانطور که در زیر نشان داده شده است،آاگر و فقط اگر متقارن است{\displaystyle G(A)\subsetq G(A^{*}).}

عملگر نامحدود با تعریف متراکم آاگر خود الحاقی نامیده می شود{\displaystyle G(A)=G(A^{*}).}به صراحت،{\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}و{\displaystyle A=A^{*}.}هر عملگر خود الحاقی متقارن است. برعکس، یک عملگر متقارن آبرای ⁡{\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}خود الحاقی است. در فیزیک، اصطلاح Hermitian به عملگرهای متقارن و خود الحاقی به طور یکسان اشاره دارد. تفاوت ظریف بین این دو به طور کلی نادیده گرفته می شود.

یک زیر مجموعه{\displaystyle \rho (A)\subsetq \mathbb {C} } (یا مجموعه منظم ) برای هر نامیده می شود،{\displaystyle \lambda \in \rho (A)،}اپراتور (الزاماً محدود نشده).{\displaystyle A-\lambda I}دارای یک معکوس محدود در همه جا تعریف شده است . مکمل{\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)}طیف نامیده می شود . در ابعاد محدود،\sigma (A)منحصراً از مقادیر ویژه تشکیل شده است .

عملگرهای خود الحاقی محدود [ ویرایش ]

یک عملگر محدود A به صورت خود الحاقی است هرگاه

{\displaystyle \langle Axe,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }

برای همهایکسوyدر H. _ اگر A متقارن باشد و{\displaystyle \mathrm {Dom} (A)=H}بنابراین، توسط قضیه هلینگر-توپلیتز ، A الزاماً محدود است. [1]

هر عملگر خطی محدود T : H → H در فضای هیلبرت H را می توان به شکل {\displaystyle T=A+iB}که در آن

A : H → H و B : H → H عملگرهای خود الحاقی محدود هستند.