5-معادله شرودینگر

احتمال فعلی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جریان احتمال و معادله پیوستگی

معادله شرودینگر با بقای احتمال محلی سازگار است . [10] : 238 ضرب معادله شرودینگر در سمت راست در تابع موج مزدوج مختلط و ضرب تابع موج در سمت چپ مزدوج مختلط معادله شرودینگر و تفریق، معادله پیوستگی برای احتمال بدست می‌آید :

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$

جایی که

$\rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)$

چگالی احتمال است (احتمال در واحد حجم، * نشان دهنده مزدوج پیچیده است ) و

$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p}}}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)$

جریان احتمال (جریان در واحد سطح) است .

جداسازی متغیرها [ ویرایش ]

اگر همیلتون تابعی صریح از زمان نباشد، معادله قابل تفکیک به حاصلضرب قطعات مکانی و زمانی است. [15] حل معادله با جداسازی متغیرها به معنای جستجوی راه حل شکل است

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),$

جایی که $\psi(\mathbf{r})$ تابعی از تمام مختصات (های) فضایی ذره (های) تشکیل دهنده سیستم است، و $\ tau (t)$ فقط تابع زمان است جایگزینی این عبارت برای $\psi$ به معادله شرودینگر بازده

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.$

راه حلی از این نوع ثابت نامیده می شود، زیرا تنها وابستگی زمانی یک عامل فاز است که با محاسبه چگالی احتمال از طریق قانون Born لغو می شود. [11] : 143

این به هر تعداد ذره در هر تعداد ابعاد تعمیم می‌یابد (در یک پتانسیل مستقل از زمان): راه‌حل‌های موج ایستاده معادله وابسته به زمان، به جای توزیع احتمال انرژی‌های مختلف، حالت‌هایی با انرژی معین هستند. در فیزیک، این امواج ایستاده " حالت های ساکن " یا " حالت های ویژه انرژی " نامیده می شوند. در شیمی به آنها " اوربیتال های اتمی " یا " اوربیتال های مولکولی" می گویندبرهم‌نهی‌های حالت‌های ویژه انرژی، خواص خود را با توجه به فازهای نسبی بین سطوح انرژی تغییر می‌دهند. حالت‌های ویژه انرژی مبنایی را تشکیل می‌دهند: هر تابع موجی ممکن است به صورت مجموع روی حالت‌های انرژی گسسته یا انتگرال روی حالت‌های انرژی پیوسته یا بیشتر نوشته شود. به طور کلی به عنوان یک انتگرال بر روی یک اندازه گیری .

جداسازی متغیرها همچنین می تواند یک روش مفید برای معادله شرودینگر مستقل از زمان باشد. برای مثال، بسته به تقارن مسئله، محورهای دکارتی ممکن است از هم جدا شوند.

$\psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z)،$

یا مختصات شعاعی و زاویه ای ممکن است از هم جدا شوند:

$\psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta)\psi _{\phi }(\phi).$

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فهرست سیستم های مکانیکی کوانتومی با راه حل های تحلیلی

ذره در یک جعبه [ ویرایش ]

جعبه انرژی پتانسیل یک بعدی (یا چاه پتانسیل نامحدود)

مقاله اصلی: ذره در یک جعبه

ذره در یک جعبه انرژی پتانسیل یک بعدی از نظر ریاضی ساده ترین مثال است که در آن محدودیت ها منجر به کمی سازی سطوح انرژی می شوند. جعبه به صورت داشتن انرژی پتانسیل صفر در داخل یک منطقه خاص و انرژی پتانسیل بی نهایت در خارج تعریف می شود . [10] : 77-78 برای حالت تک بعدی در $ایکس$ جهت، معادله شرودینگر مستقل از زمان ممکن است نوشته شود

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .$

با عملگر دیفرانسیل تعریف شده توسط

${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$

معادله قبلی یادآور آنالوگ انرژی جنبشی کلاسیک است ،

${\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,$ با $\psi$

در این صورت داشتن انرژی $E$ همزمان با انرژی جنبشی ذره.

جواب های کلی معادله شرودینگر برای ذره در یک جعبه هستند

$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

یا از فرمول اویلر ،

$\psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).$

دیواره های پتانسیل نامتناهی جعبه مقادیر را تعیین می کند، $C,D,$ و $ک$ در $x=0$ و $x=L$ جایی که $\psi$ باید صفر باشد بنابراین، در $x=0$ ،

$\psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D$ و $D=0$ .

در $x=L$ ،

$\psi (L)=0=C\sin(kL)،$

که در آن $سی$ نمی تواند صفر باشد زیرا این با فرضیه تضاد دارد $\psi$ دارای هنجار 1. بنابراین، از آنجا که $\sin(kL)=0$ ، $kL$ باید مضرب صحیح باشد $\pi$ ،

$k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .$

این محدودیت در $ک$ دلالت بر محدودیت در سطوح انرژی، بازده دارد

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^ {2}}{8mL^{2}}}.$

چاه پتانسیل محدود تعمیم مسئله چاه پتانسیل نامتناهی به چاه های بالقوه با عمق محدود است. مسئله چاه پتانسیل محدود از نظر ریاضی پیچیده‌تر از مسئله ذرات نامتناهی در جعبه است زیرا تابع موج در دیواره‌های چاه به صفر پین نمی‌شود. در عوض، تابع موج باید شرایط مرزی ریاضی پیچیده‌تری را برآورده کند زیرا در مناطق خارج از چاه غیرصفر است. مشکل دیگر مربوط به سد پتانسیل مستطیلی است که مدلی برای اثر تونل زنی کوانتومی ارائه می دهد که نقش مهمی در عملکرد فناوری های مدرن مانند حافظه فلش و میکروسکوپ تونل زنی اسکن ایفا می کند .

نوسان ساز هارمونیک [ ویرایش ]

یک نوسان ساز هارمونیک در مکانیک کلاسیک (A-B) و مکانیک کوانتومی (C-H). در (A-B)، یک توپ، متصل به فنر ، به سمت جلو و عقب نوسان می کند. (C–H) شش راه حل برای معادله شرودینگر برای این وضعیت است. محور افقی موقعیت است، محور عمودی قسمت حقیقی(آبی) یا قسمت مختلط (قرمز) تابع موج است . حالت‌های ساکن یا حالت‌های ویژه انرژی، که راه‌حل‌هایی برای معادله شرودینگر مستقل از زمان هستند، در C، D، E، F نشان داده می‌شوند، اما نه G یا H.

مقاله اصلی: نوسانگر هارمونیک کوانتومی

معادله شرودینگر برای این وضعیت است

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1} {2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,$

جایی که $ایکس$ جابجایی است و $\ امگا$ فرکانس زاویه ای علاوه بر این، می‌توان از آن برای توصیف تقریباً طیف گسترده‌ای از سیستم‌های دیگر، از جمله اتم‌های ارتعاشی، مولکول‌ها ، [16] و اتم‌ها یا یون‌ها در شبکه‌ها، [17] و تقریب پتانسیل‌های دیگر نزدیک به نقاط تعادل استفاده کرد. همچنین اساس روش های اغتشاش در مکانیک کوانتومی است .

راه حل ها در فضای موقعیت هستند

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n} \left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),$

جایی که $n\in \{0،1،2،\ldots \}$ و توابع ${\mathcal {H}}_{n}$ چندجمله ای های مرتبه $n$ هرمیت هستند. مجموعه راه حل ممکن است توسط

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ راست)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\ omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.$

مقادیر ویژه هستند

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .$

مورد $n=0$ حالت پایه نامیده می شود ، انرژی آن انرژی نقطه صفر نامیده می شود و تابع موج گاوسی است . [18]

نوسان ساز هارمونیک، مانند ذره در یک جعبه، ویژگی کلی معادله شرودینگر را نشان می دهد که انرژی های حالت های ویژه محدود شده گسسته هستند. [10] : 352

اتم هیدروژن [ ویرایش ]

معادله شرودینگر برای الکترون در اتم هیدروژن (یا اتم هیدروژن مانند)

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi$

جایی که $q$ بار الکترون است، $\mathbf {r}$ موقعیت الکترون نسبت به هسته است، $r=|\mathbf {r} |$ مقدار موقعیت نسبی است، عبارت بالقوه به دلیل برهمکنش کولن است ، که در آن $\varepsilon _{0}$ گذراندن فضای آزاد است و

$\mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}$

جرم کاهش یافته 2 جسم هسته هیدروژن (فقط یک پروتون ) استمترپ $m_{p}$ و الکترون جرممتر $m_{q}$ . علامت منفی در عبارت پتانسیل به وجود می آید زیرا پروتون و الکترون دارای بار مخالف هستند. جرم کاهش یافته به جای جرم الکترون استفاده می شود زیرا الکترون و پروتون با هم به دور یک مرکز جرم مشترک می چرخند و یک مسئله دو جسمی را تشکیل می دهند. حرکت الکترون در اینجا مورد توجه اصلی است، بنابراین مشکل یک جسم معادل حرکت الکترون با استفاده از جرم کاهش یافته است.

معادله شرودینگر برای یک اتم هیدروژن را می توان با جداسازی متغیرها حل کرد. [19] در این مورد، مختصات قطبی کروی راحت ترین هستند. بدین ترتیب،

${\displaystyle \psi (r,\theta,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\ ورفی )$

که در آن R توابع شعاعی ولمتر(،) $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ هارمونیک های کروی درجه $\ خوب$ هستندو مرتبه $متر$ دهید. این تنها اتمی است که معادله شرودینگر دقیقاً برای آن حل شده است. اتم های چند الکترونی به روش های تقریبی نیاز دارند. خانواده راه حل ها عبارتند از: [20]

$\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{ \frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{ 0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta،\varphi)$

جایی که

$a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}$

شعاع بور است ،

$L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots)$

چند جمله ای های تعمیم یافته لاگر درجه $n-\ell -1$ هستند،

$n,\ell ,m$ به ترتیب اعداد کوانتومی اصلی ، ازیموتالی و مغناطیسی هستند که مقادیر را می گیرند $n=1،2،3،\dots،$ ، $\ell =0,1,2,\dots ,n-1,$ . $m=-\ell ,\dots ,\ell .$

راه حل های تقریبی [ ویرایش ]

معمولاً حل معادله شرودینگر دقیقاً برای موقعیت های مورد علاقه فیزیکی امکان پذیر نیست. بر این اساس، راه حل های تقریبی با استفاده از تکنیک هایی مانند روش های متغیر و تقریب WKB به دست می آیند . همچنین معمول است که یک مسئله مورد علاقه را به عنوان یک اصلاح کوچک در یک مسئله که می توان دقیقاً حل کرد، در نظر گرفت، روشی که به عنوان نظریه اغتشاش شناخته می شود .

حد نیمه کلاسیک [ ویرایش ]

یک راه ساده برای مقایسه مکانیک کلاسیک با مکانیک کوانتومی، در نظر گرفتن تکامل زمانی موقعیت مورد انتظار و تکانه مورد انتظار است، که سپس می‌توان آن را با تکامل زمانی موقعیت و تکانه معمولی در مکانیک کلاسیک مقایسه کرد. [21] : 302 مقادیر انتظار کوانتومی قضیه Ehrenfest را برآورده می کند . برای یک ذره کوانتومی تک بعدی که در یک پتانسیل حرکت می کند $V$ ، قضیه ارنفست می گوید

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V '(X)\right\rangle .$ ا

گرچه اولین مورد از این معادلات با رفتار کلاسیک سازگار است، دومی اینطور نیست: اگر $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ اگر قانون دوم نیوتن برآورده شود، سمت راست معادله دوم باید باشد.

$-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ که معمولاً مشابه نیست $-\left\langle V'(X)\right\rangle$ . برای یک ژنرال $V'$ بنابراین، مکانیک کوانتومی می‌تواند منجر به پیش‌بینی‌هایی شود که در آن مقادیر انتظاری رفتار کلاسیک را تقلید نمی‌کنند. اما در مورد نوسانگر هارمونیک کوانتومی، $V'$ خطی است و این تمایز ناپدید می شود، به طوری که در این مورد بسیار خاص، موقعیت مورد انتظار و حرکت مورد انتظار دقیقاً از مسیرهای کلاسیک پیروی می کند.

برای سیستم های عمومی، بهترین چیزی که می توانیم به آن امیدوار باشیم این است که موقعیت و حرکت مورد انتظار تقریباً از مسیرهای کلاسیک پیروی کند. اگر تابع موج در اطراف یک نقطه بسیار متمرکز باشد $x_{0}$ ، سپس $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ و〈 $\left\langle V'(X)\right\rangle$ تقریباً یکسان خواهد بود ، زیرا هر دو تقریباً برابر خواهند بود $V'(x_{0})$ . در آن صورت، موقعیت مورد انتظار و حرکت مورد انتظار بسیار نزدیک به مسیرهای کلاسیک باقی خواهند ماند، حداقل تا زمانی که تابع موج در موقعیت بسیار موضعی باقی بماند.

معادله شرودینگر در شکل کلی آن

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf { r}، t\راست)$

رابطه نزدیکی با معادله همیلتون-جاکوبی (HJE) دارد.

$-{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i }}}، t\راست)$

جایی که $اس$ عمل کلاسیک است و $اچ$ تابع همیلتونی است (عملگر نیست). [21] : 308 در اینجا مختصات تعمیم یافته است $q_{i}$ برای $i=1،2،3$ (که در زمینه HJE استفاده می شود) را می توان به موقعیت در مختصات دکارتی به عنوان تنظیم کرد $\mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)$ .