از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تئوری میدان کوانتومی ، برهمکنش کوارتیک نوعی برهمکنش خود در یک میدان اسکالر است . انواع دیگری از برهمکنش های کوارتیک را می توان تحت عنوان برهمکنش های چهار فرمیونی یافت . یک میدان اسکالر آزاد کلاسیک\varphiمعادله کلاین-گوردون را برآورده می کند . اگر یک میدان اسکالر مشخص شود\varphi، یک برهمکنش کوارتیک با افزودن یک عبارت انرژی پتانسیل نشان داده می شود{\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}به چگالی لاگرانژی . ثابت جفت شدن \لامبدادر فضازمان 4 بعدی بی بعد است .

این مقاله از(+،-،-،-) امضای متریک برای فضای مینکوفسکی

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر حقیقی [ ویرایش ]

چگالی لاگرانژی برای یک میدان اسکالر حقیقی با اندرکنش کوارتیک است

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2} \varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}

این لاگرانژ دارای یک نقشه تقارن جهانی Z 2 است{\displaystyle \varphi \to -\varphi }.

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر مختلط[ ویرایش ]

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر مختلط می تواند به صورت زیر ایجاد شود. برای دو میدان اسکالر\varphi _{1}و\varphi _{2}لاگرانژی فرم دارد

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^ {\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{ 2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{ 1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2}،

که می توان به طور خلاصه تر نوشت و یک میدان اسکالر مختلط را معرفی کرد\phiکه تعریف میشود

\phi \equiv {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2})،

\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).

بیان شده بر حسب این میدان اسکالر مختلط، لاگرانژی فوق می شود

{\mathcal {L}}(\phi )=\جزئی ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\ لامبدا (\phi ^{*}\phi )^{2}،

که در نتیجه معادل مدل SO(2) میدان های اسکالر حقیقی است\varphi _{1}،\varphi _{2}، همانطور که با گسترش میدان مختلط قابل مشاهده است\phiدر قسمت های حقیقی و مختلط

بانمیدان های اسکالر حقیقی ، می توانیم یک داشته باشیم\varphi ^{4}مدلی با تقارن جهانی SO(N) که توسط لاگرانژی ارائه شده است

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a }\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _ {a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.

بسط میدان مختلط در بخشهای حقیقی و مختلط نشان می دهد که معادل مدل SO(2) میدانهای اسکالر حقیقی است.

در تمام مدل های بالا، ثابت جفت \لامبداباید مثبت باشد، زیرا در غیر این صورت پتانسیل پایین تر خواهد بود و خلاء پایداری وجود نخواهد داشت. همچنین، انتگرال مسیر فاینمن که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرد، نامشخص خواهد بود. در 4 بعد\phi ^{4}نظریه ها دارای یک قطب لاندو هستند . این بدان معناست که بدون یک برش در مقیاس انرژی بالا، عادی سازی مجدد این نظریه را بی اهمیت جلوه می دهد .

را\phi ^{4}مدل متعلق به کلاس گریفیتز-سیمون( Griffiths-Simon) است، [1] به این معنی که می‌توان آن را به عنوان حد ضعیف مدل Ising در نوع خاصی از گراف نیز نمایش داد. بی اهمیت بودن هر دو\phi ^{4}مدل و مدل Ising در{\displaystyle d\geq 4}را می توان از طریق یک نمایش گرافیکی به نام بسط جریان تصادفی نشان داد. [2]

کوانتیزاسیون انتگرال فاینمن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول انتگرال مسیر

بسط نمودار فاینمن را می توان از فرمول انتگرال مسیر فاینمن نیز بدست آورد . [3] مقادیر انتظار خلاء مرتب‌شده زمانی چندجمله‌ای‌ها در φ، که به توابع گرین n-ذره‌ای معروف هستند، با ادغام در تمام زمینه‌های ممکن ساخته می‌شوند، که با مقدار انتظار خلاء بدون میدانهای خارجی نرمال می‌شوند.

\langle\Omega|\mathcal{T}\{{\phi}(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle=\frac{\int \mathcal{D}\phi \phi (x_1)\cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2} \phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}{\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}.

همه این توابع گرین را می توان با بسط نمایی در J ( x )φ( x ) در تابع مولد به دست آورد.

Z[J] =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 }{n!} \langle\Omega|\mathcal{T}\{{\phi}(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle.

یک چرخش Wick ممکن است برای مختلط کردن زمان اعمال شود. با تغییر امضا به (++++) سپس یک انتگرال مکانیک آماری φ4 در فضای اقلیدسی 4 بعدی به دست می‌آید .

Z[J]=\int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left({1\over 2}(\nabla\phi)^2+{m^2 \بیش از 2}\ phi^2+{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)}.

به طور معمول، این برای پراکندگی ذرات با گشتاور ثابت اعمال می شود، در این صورت، تبدیل فوریه مفید است و به جای آن

{\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\ چپ ({1 \ بیش از 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+ {\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi ) ^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3}) }\درست)}.}

جایی که\delta (x)تابع دلتای دیراک است .

ترفند استاندارد برای ارزیابی این انتگرال عملکردی این است که آن را به عنوان حاصل ضرب عوامل نمایی، به صورت شماتیک، بنویسیم.

{\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{- (p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \ بیش از (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi ) ^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}) {\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right ].}

دو عامل نمایی دوم را می توان به صورت سری توانی بسط داد و ترکیبات این بسط را می توان به صورت گرافیکی نشان داد. انتگرال با λ = 0 را می توان به عنوان حاصلضرب بی نهایت انتگرال ابتدایی گاوسی در نظر گرفت و نتیجه را می توان به صورت مجموع نمودارهای فاینمن بیان کرد که با استفاده از قوانین فاینمن زیر محاسبه می شود:

  • هر میدان\tilde{\phi}(p)در نقطه n تابع اقلیدسی گرین با یک خط خارجی (نیم لبه) در نمودار نشان داده می شود و با تکانه p همراه است .
  • هر رأس با یک عامل -λ نشان داده می شود .
  • در یک مرتبه معین λk ، تمام نمودارهای دارای n خط خارجی و k راس به گونه ای ساخته می شوند که گشتاور جریان در هر راس صفر باشد. هر خط داخلی با ضریب 1/( q 2 + m 2 ) نشان داده می شود، که در آن q تکانه ای است که از آن خط عبور می کند.
  • هر لحظه بدون محدودیت روی همه مقادیر ادغام می شود.
  • نتیجه با یک ضریب تقارن تقسیم می‌شود، که تعداد راه‌هایی است که خطوط و رئوس نمودار را می‌توان بدون تغییر اتصال آن دوباره مرتب کرد.
  • نمودارهای حاوی "حباب های خلاء"، زیرگراف های متصل بدون خطوط خارجی را درج نکنید.

آخرین قانون تأثیر تقسیم بر را در نظر می گیرد\tilde{Z}[0]. قوانین فاینمن فضای مینکوفسکی مشابه هستند، با این تفاوت که هر رأس با نشان داده می شود-i\lambdaدر حالی که هر خط داخلی با ضریب i /( q 2 - m 2 + i ε ) نشان داده می شود، که در آن عبارت ε نشان دهنده چرخش کوچک Wick است که برای همگرایی انتگرال گاوسی فضای مینکوفسکی لازم است.

ScalarFR.jpg

عادی سازی مجدد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عادی سازی مجدد

انتگرال‌های روی لحظه‌ای نامحدود، که «انتگرال‌های حلقه» نامیده می‌شوند، در نمودارهای فاینمن معمولاً واگرا می‌شوند. این معمولاً با نرمال‌سازی مجدد انجام می‌شود، که رویه‌ای برای افزودن عبارات متضاد به لاگرانژی است، به‌گونه‌ای که نمودارهای ساخته‌شده از لاگرانژی و متقابل‌های اصلی متناهی باشند. [4] یک مقیاس عادی سازی مجدد باید در این فرآیند معرفی شود و ثابت جفت و جرم به آن وابسته می شوند. این وابستگی است که به قطب لاندو که قبلاً ذکر شد منتهی می شود و مستلزم آن است که برش محدود نگه داشته شود. متناوباً، اگر اجازه داده شود که برش تا بی نهایت برود، قطب لاندو را می توان تنها در صورتی اجتناب کرد که جفت مجدد نرمال شده به صفر برسد و این نظریه را ارائه می کند.پیش پا افتاده . [5]

شکست خود به خودی تقارن [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شکستن تقارن خود به خود

یک ویژگی جالب می تواند رخ دهد اگر m 2 منفی شود، اما λ همچنان مثبت باشد. در این حالت، خلاء از دو حالت کم انرژی تشکیل شده است که هر یک به طور خود به خود تقارن جهانی Z 2 نظریه اصلی را می شکند. این منجر به ظهور حالت های جمعی جالبی مانند دیوارهای دامنه می شود . در نظریه O (2)، خلاء روی یک دایره قرار می گیرد و انتخاب یکی به طور خود به خود تقارن O (2) را می شکند. تقارن شکسته پیوسته منجر به بوزون گلدستون می شود . این نوع شکستن تقارن خود به خودی جزء اساسی مکانیسم هیگز است . [6]

شکست خود به خودی تقارن های گسسته [ ویرایش ]

ساده‌ترین سیستم نسبیتی که در آن می‌توانیم شکست تقارن خود به خود را ببینیم، سیستمی با یک میدان اسکالر واحد است.\varphiبا لاگرانژی

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\ varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\ وارفی)،

جایی که\mu ^{2}>0و

V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.

به حداقل رساندن پتانسیل با توجه به\varphiمنجر به

V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

اکنون میدان را پیرامون این حداقل نوشته گسترش می دهیم

\varphi (x)=v+\sigma (x)،

و در لاگرانژی جایگزین می کنیم

{\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}}_{{{\text{ثابت غیر مهم}}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]}_{{{ \text{میدان اسکالر عظیم}}}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})}_{{{\ متن{تعاملات با خود}}}}.

جایی که ما متوجه می شویم که اسکالر\سیگمااکنون یک اصطلاح جمعی مثبت دارد.

تفکر بر حسب مقادیر انتظار خلاء به ما امکان می‌دهد بفهمیم که وقتی تقارن خود به خود شکسته می‌شود چه اتفاقی می‌افتد. لاگرانژی اصلی تحت عنوان ثابت بودZ_{2}تقارن\varphi \rightarrow -\varphi. از آنجا که

\langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {{\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}

هر دو حداقل هستند، باید دو خلاء متفاوت وجود داشته باشد:|\Omega _{\pm }\rangleبا

\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {{\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}.

از آنجا کهZ_{2}تقارن می گیرد\varphi \rightarrow -\varphi، باید طول بکش|\Omega _{+}\rangle \فلش راست چپ |\Omega _{-}\rangleهمچنین. دو خلاء ممکن برای این نظریه معادل هستند، اما باید یکی را انتخاب کرد. اگرچه به نظر می رسد که در لاگرانژی جدیدZ_{2}تقارن ناپدید شده است، هنوز وجود دارد، اما اکنون مانند آن عمل می کند .\sigma \rightarrow -\sigma -2v. این یک ویژگی کلی تقارن های خود به خود شکسته است: خلاء آنها را می شکند، اما آنها در واقع در لاگرانژ شکسته نمی شوند، فقط پنهان هستند و اغلب فقط به صورت غیر خطی درک می شوند. [7]

راه حل های دقیق [ ویرایش ]

مجموعه ای از راه حل های کلاسیک دقیق برای معادله حرکت نظریه وجود دارد که به شکل نوشته شده است.

{\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}

که می توان برای بی توده ها نوشت،{\displaystyle \mu _{0}=0}مورد به عنوان [8]

{\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\ تتا، من)}

باسn\,{\rm {sn\!}}یک تابع بیضوی ژاکوبی و{\displaystyle \,\mu ,\theta }دو ثابت ادغام، به شرطی که رابطه پراکندگی زیر برقرار باشد

p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{{1 \over 2}}.

نکته جالب این است که ما با یک معادله بدون جرم شروع کردیم، اما راه حل دقیق موجی را با رابطه پراکندگی مناسب برای حل عظیم توصیف می کند. وقتی جرم جرم صفر نباشد یک می شود

\varphi (x)=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4} +2\lambda \mu ^{4}}}}}}}{{\rm {sn}}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {{\frac {-\mu _{0} ^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\ mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}}\راست)

اکنون رابطه پراکندگی است

p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{ 0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.

در نهایت، برای مورد شکست تقارن، یکی دارد

\varphi (x)=\pm v\cdot {{\rm {dn}}}(p\cdot x+\theta,i)،

بودنv={\sqrt {{\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}و رابطه پراکندگی زیر برقرار است

p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.

این راه حل های موجی جالب هستند، با وجود اینکه با معادله ای با علامت جرم اشتباه شروع کردیم، رابطه پراکندگی رابطه درستی دارد. علاوه بر این، عملکرد ژاکوبیدn\,{{\rm {dn}}}\!هیچ صفر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تئوری میدان کوانتومی ، برهمکنش کوارتیک نوعی برهمکنش خود در یک میدان اسکالر است . انواع دیگری از برهمکنش های کوارتیک را می توان تحت عنوان برهمکنش های چهار فرمیونی یافت . یک میدان اسکالر آزاد کلاسیک\varphiمعادله کلاین-گوردون را برآورده می کند . اگر یک میدان اسکالر مشخص شود\varphi، یک برهمکنش کوارتیک با افزودن یک عبارت انرژی پتانسیل نشان داده می شود{\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}به چگالی لاگرانژی . ثابت جفت شدن \لامبدادر فضازمان 4 بعدی بی بعد است .

این مقاله از(+،-،-،-) امضای متریک برای فضای مینکوفسکی

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر حقیقی [ ویرایش ]

چگالی لاگرانژی برای یک میدان اسکالر حقیقی با اندرکنش کوارتیک است

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2} \varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}

این لاگرانژ دارای یک نقشه تقارن جهانی Z 2 است{\displaystyle \varphi \to -\varphi }.

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر مختلط[ ویرایش ]

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر مختلط می تواند به صورت زیر ایجاد شود. برای دو میدان اسکالر\varphi _{1}و\varphi _{2}لاگرانژی فرم دارد

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^ {\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{ 2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{ 1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2}،

که می توان به طور خلاصه تر نوشت و یک میدان اسکالر مختلط را معرفی کرد\phiکه تعریف میشود

\phi \equiv {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2})،

\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).

بیان شده بر حسب این میدان اسکالر مختلط، لاگرانژی فوق می شود

{\mathcal {L}}(\phi )=\جزئی ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\ لامبدا (\phi ^{*}\phi )^{2}،

که در نتیجه معادل مدل SO(2) میدان های اسکالر حقیقی است\varphi _{1}،\varphi _{2}، همانطور که با گسترش میدان مختلط قابل مشاهده است\phiدر قسمت های حقیقی و مختلط

بانمیدان های اسکالر حقیقی ، می توانیم یک داشته باشیم\varphi ^{4}مدلی با تقارن جهانی SO(N) که توسط لاگرانژی ارائه شده است

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a }\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _ {a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.

بسط میدان مختلط در بخشهای حقیقی و مختلط نشان می دهد که معادل مدل SO(2) میدانهای اسکالر حقیقی است.

در تمام مدل های بالا، ثابت جفت \لامبداباید مثبت باشد، زیرا در غیر این صورت پتانسیل پایین تر خواهد بود و خلاء پایداری وجود نخواهد داشت. همچنین، انتگرال مسیر فاینمن که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرد، نامشخص خواهد بود. در 4 بعد\phi ^{4}نظریه ها دارای یک قطب لاندو هستند . این بدان معناست که بدون یک برش در مقیاس انرژی بالا، عادی سازی مجدد این نظریه را بی اهمیت جلوه می دهد .

را\phi ^{4}مدل متعلق به کلاس گریفیتز-سیمون( Griffiths-Simon) است، [1] به این معنی که می‌توان آن را به عنوان حد ضعیف مدل Ising در نوع خاصی از گراف نیز نمایش داد. بی اهمیت بودن هر دو\phi ^{4}مدل و مدل Ising در{\displaystyle d\geq 4}را می توان از طریق یک نمایش گرافیکی به نام بسط جریان تصادفی نشان داد. [2]

کوانتیزاسیون انتگرال فاینمن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول انتگرال مسیر

بسط نمودار فاینمن را می توان از فرمول انتگرال مسیر فاینمن نیز بدست آورد . [3] مقادیر انتظار خلاء مرتب‌شده زمانی چندجمله‌ای‌ها در φ، که به توابع گرین n-ذره‌ای معروف هستند، با ادغام در تمام زمینه‌های ممکن ساخته می‌شوند، که با مقدار انتظار خلاء بدون میدانهای خارجی نرمال می‌شوند.

\langle\Omega|\mathcal{T}\{{\phi}(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle=\frac{\int \mathcal{D}\phi \phi (x_1)\cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2} \phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}{\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}.

همه این توابع گرین را می توان با بسط نمایی در J ( x )φ( x ) در تابع مولد به دست آورد.

Z[J] =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 }{n!} \langle\Omega|\mathcal{T}\{{\phi}(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle.

یک چرخش Wick ممکن است برای مختلط کردن زمان اعمال شود. با تغییر امضا به (++++) سپس یک انتگرال مکانیک آماری φ4 در فضای اقلیدسی 4 بعدی به دست می‌آید .

Z[J]=\int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left({1\over 2}(\nabla\phi)^2+{m^2 \بیش از 2}\ phi^2+{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)}.

به طور معمول، این برای پراکندگی ذرات با گشتاور ثابت اعمال می شود، در این صورت، تبدیل فوریه مفید است و به جای آن

{\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\ چپ ({1 \ بیش از 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+ {\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi ) ^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3}) }\درست)}.}

جایی که\delta (x)تابع دلتای دیراک است .

ترفند استاندارد برای ارزیابی این انتگرال عملکردی این است که آن را به عنوان حاصل ضرب عوامل نمایی، به صورت شماتیک، بنویسیم.

{\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{- (p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \ بیش از (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi ) ^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}) {\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right ].}

دو عامل نمایی دوم را می توان به صورت سری توانی بسط داد و ترکیبات این بسط را می توان به صورت گرافیکی نشان داد. انتگرال با λ = 0 را می توان به عنوان حاصلضرب بی نهایت انتگرال ابتدایی گاوسی در نظر گرفت و نتیجه را می توان به صورت مجموع نمودارهای فاینمن بیان کرد که با استفاده از قوانین فاینمن زیر محاسبه می شود:

  • هر فیلد\tilde{\phi}(p)در نقطه n تابع اقلیدسی گرین با یک خط خارجی (نیم لبه) در نمودار نشان داده می شود و با تکانه p همراه است .
  • هر رأس با یک عامل -λ نشان داده می شود .
  • در یک مرتبه معین λk ، تمام نمودارهای دارای n خط خارجی و k راس به گونه ای ساخته می شوند که گشتاور جریان در هر راس صفر باشد. هر خط داخلی با ضریب 1/( q 2 + m 2 ) نشان داده می شود، که در آن q تکانه ای است که از آن خط عبور می کند.
  • هر لحظه بدون محدودیت روی همه مقادیر ادغام می شود.
  • نتیجه با یک ضریب تقارن تقسیم می‌شود، که تعداد راه‌هایی است که خطوط و رئوس نمودار را می‌توان بدون تغییر اتصال آن دوباره مرتب کرد.
  • نمودارهای حاوی "حباب های خلاء"، زیرگراف های متصل بدون خطوط خارجی را درج نکنید.

آخرین قانون تأثیر تقسیم بر را در نظر می گیرد\tilde{Z}[0]. قوانین فاینمن فضای مینکوفسکی مشابه هستند، با این تفاوت که هر رأس با نشان داده می شود-i\lambdaدر حالی که هر خط داخلی با ضریب i /( q 2 - m 2 + i ε ) نشان داده می شود، که در آن عبارت ε نشان دهنده چرخش کوچک Wick است که برای همگرایی انتگرال گاوسی فضای مینکوفسکی لازم است.

ScalarFR.jpg

عادی سازی مجدد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عادی سازی مجدد

انتگرال‌های روی لحظه‌ای نامحدود، که «انتگرال‌های حلقه» نامیده می‌شوند، در نمودارهای فاینمن معمولاً واگرا می‌شوند. این معمولاً با نرمال‌سازی مجدد انجام می‌شود، که رویه‌ای برای افزودن عبارات متضاد به لاگرانژی است، به‌گونه‌ای که نمودارهای ساخته‌شده از لاگرانژی و متقابل‌های اصلی متناهی باشند. [4] یک مقیاس عادی سازی مجدد باید در این فرآیند معرفی شود و ثابت جفت و جرم به آن وابسته می شوند. این وابستگی است که به قطب لاندو که قبلاً ذکر شد منتهی می شود و مستلزم آن است که برش محدود نگه داشته شود. متناوباً، اگر اجازه داده شود که برش تا بی نهایت برود، قطب لاندو را می توان تنها در صورتی اجتناب کرد که جفت مجدد نرمال شده به صفر برسد و این نظریه را ارائه می کند.پیش پا افتاده . [5]

شکست خود به خودی تقارن [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شکستن تقارن خود به خود

یک ویژگی جالب می تواند رخ دهد اگر m 2 منفی شود، اما λ همچنان مثبت باشد. در این حالت، خلاء از دو حالت کم انرژی تشکیل شده است که هر یک به طور خود به خود تقارن جهانی Z 2 نظریه اصلی را می شکند. این منجر به ظهور حالت های جمعی جالبی مانند دیوارهای دامنه می شود . در نظریه O (2)، خلاء روی یک دایره قرار می گیرد و انتخاب یکی به طور خود به خود تقارن O (2) را می شکند. تقارن شکسته پیوسته منجر به بوزون گلدستون می شود . این نوع شکستن تقارن خود به خودی جزء اساسی مکانیسم هیگز است . [6]

شکست خود به خودی تقارن های گسسته [ ویرایش ]

ساده‌ترین سیستم نسبیتی که در آن می‌توانیم شکست تقارن خود به خود را ببینیم، سیستمی با یک میدان اسکالر واحد است.\varphiبا لاگرانژی

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\ varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\ وارفی)،

جایی که\mu ^{2}>0و

V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.

به حداقل رساندن پتانسیل با توجه به\varphiمنجر به

V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

اکنون میدان را پیرامون این حداقل نوشته گسترش می دهیم

\varphi (x)=v+\sigma (x)،

و در لاگرانژی جایگزین می کنیم

{\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}}_{{{\text{ثابت غیر مهم}}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]}_{{{ \text{میدان اسکالر عظیم}}}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})}_{{{\ متن{تعاملات با خود}}}}.

جایی که ما متوجه می شویم که اسکالر\سیگمااکنون یک اصطلاح جمعی مثبت دارد.

تفکر بر حسب مقادیر انتظار خلاء به ما امکان می‌دهد بفهمیم که وقتی تقارن خود به خود شکسته می‌شود چه اتفاقی می‌افتد. لاگرانژی اصلی تحت عنوان ثابت بودZ_{2}تقارن\varphi \rightarrow -\varphi. از آنجا که

\langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {{\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}

هر دو حداقل هستند، باید دو خلاء متفاوت وجود داشته باشد:|\Omega _{\pm }\rangleبا

\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {{\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}.

از آنجا کهZ_{2}تقارن می گیرد\varphi \rightarrow -\varphi، باید طول بکش|\Omega _{+}\rangle \فلش راست چپ |\Omega _{-}\rangleهمچنین. دو خلاء ممکن برای این نظریه معادل هستند، اما باید یکی را انتخاب کرد. اگرچه به نظر می رسد که در لاگرانژی جدیدZ_{2}تقارن ناپدید شده است، هنوز وجود دارد، اما اکنون مانند آن عمل می کند .\sigma \rightarrow -\sigma -2v. این یک ویژگی کلی تقارن های خود به خود شکسته است: خلاء آنها را می شکند، اما آنها در واقع در لاگرانژ شکسته نمی شوند، فقط پنهان هستند و اغلب فقط به صورت غیر خطی درک می شوند. [7]

راه حل های دقیق [ ویرایش ]

مجموعه ای از راه حل های کلاسیک دقیق برای معادله حرکت نظریه وجود دارد که به شکل نوشته شده است.

{\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}

که می توان برای بی توده ها نوشت،{\displaystyle \mu _{0}=0}مورد به عنوان [8]

{\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\ تتا، من)}

باسn\,{\rm {sn\!}}یک تابع بیضوی ژاکوبی و{\displaystyle \,\mu ,\theta }دو ثابت ادغام، به شرطی که رابطه پراکندگی زیر برقرار باشد

p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{{1 \over 2}}.

نکته جالب این است که ما با یک معادله بدون جرم شروع کردیم، اما راه حل دقیق موجی را با رابطه پراکندگی مناسب برای حل عظیم توصیف می کند. وقتی جرم جرم صفر نباشد یک می شود

\varphi (x)=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4} +2\lambda \mu ^{4}}}}}}}{{\rm {sn}}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {{\frac {-\mu _{0} ^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\ mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}}\راست)

اکنون رابطه پراکندگی است

p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{ 0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.

در نهایت، برای مورد شکست تقارن، یکی دارد

\varphi (x)=\pm v\cdot {{\rm {dn}}}(p\cdot x+\theta,i)،

بودنv={\sqrt {{\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}و رابطه پراکندگی زیر برقرار است

p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.

این راه حل های موجی جالب هستند، با وجود اینکه با معادله ای با علامت جرم اشتباه شروع کردیم، رابطه پراکندگی رابطه درستی دارد. علاوه بر این، عملکرد ژاکوبی\,{{\rm {dn}}}\!هیچ صفر واقعی ندارد و بنابراین میدان هرگز صفر نیست، بلکه حول یک مقدار ثابت مشخص حرکت می کند که در ابتدا برای توصیف شکست خود به خودی تقارن انتخاب شده است.

اگر توجه داشته باشیم که راه حل را می توان در فرم جستجو کرد، اثبات منحصر به فرد بودن می تواند ارائه شود\varphi =\varphi (\xi)بودن\xi =p\cdot x. سپس، معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل به یک معادله دیفرانسیل معمولی می شود که تابع بیضوی ژاکوبی را باپارضای رابطه پراکندگی مناسب

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ندارد و بنابراین میدان هرگز صفر نیست، بلکه حول یک مقدار ثابت مشخص حرکت می کند که در ابتدا برای توصیف شکست خود به خودی تقارن انتخاب شده است.

اگر توجه داشته باشیم که راه حل را می توان در فرم جستجو کرد، اثبات منحصر به فرد بودن می تواند ارائه شود\varphi =\varphi (\xi)بودن\xi =p\cdot x. سپس، معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل به یک معادله دیفرانسیل معمولی می شود که تابع بیضوی ژاکوبی را باپارضای رابطه پراکندگی مناسب

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_interaction