قضیه تابع ضمنی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، به طور خاص در حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره ، قضیه تابع ضمنی [a] ابزاری است که به روابط اجازه می دهد تا به توابع چندین متغیر حقیقی تبدیل شوند . این کار را با نمایش رابطه به عنوان نمودار یک تابع انجام می دهد . ممکن است یک تابع واحد وجود نداشته باشد که نمودار آن بتواند کل رابطه را نشان دهد، اما ممکن است چنین تابعی در محدودیت دامنه رابطه وجود داشته باشد. قضیه تابع ضمنی شرط کافی برای اطمینان از وجود چنین تابعی را می دهد.

به طور دقیق تر، با توجه به سیستمی از m معادلات f i ( x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y m ) = 0, i = 1, ..., m (اغلب به اختصار F ( x , y ) = 0 )، این قضیه بیان می کند که، تحت شرایط ملایم در مشتقات جزئی (با توجه به هر y i ) در یک نقطه، m متغیرهای y i توابع مشتق پذیر x j در برخی موارد هستند.همسایگی نقطه از آنجایی که این توابع به طور کلی نمی توانند به صورت بسته بیان شوند ، آنها به طور ضمنی توسط معادلات تعریف می شوند و این انگیزه نام قضیه است. [1]

به عبارت دیگر، در شرایط ملایم در مشتقات جزئی، مجموعه صفرهای یک سیستم معادلات به صورت محلی نمودار یک تابع است.

تاریخچه [ ویرایش ]

آگوستین-لوئیس کوشی (1789-1857) اولین شکل دقیق قضیه تابع ضمنی است. اولیس دینی (1845-1918) نسخه متغیر حقیقی قضیه تابع ضمنی را به بافت توابع هر تعداد متغیر حقیقی تعمیم داد. [2]

مثال اول [ ویرایش ]

دایره واحد را می توان به عنوان منحنی سطح f ( x , y ) = 1 تابع f ( x , y ) = x 2 + y 2 تعیین کرد. در اطراف نقطه A، y را می توان به عنوان یک تابع y ( x ) بیان کرد. در این مثال می توان این تابع را به صورت واضح نوشت; $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};$ در بسیاری از موارد چنین عبارت صریحی وجود ندارد، اما همچنان می توان به تابع ضمنی y ( x ) اشاره کرد. چنین تابعی در اطراف نقطه B وجود ندارد.

اگر تابع f ( x , y ) = x 2 + y 2 را تعریف کنیم ، آنگاه معادله f ( x , y ) = 1 دایره واحد را به عنوان مجموعه سطح {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . هیچ راهی برای نمایش دایره واحد به عنوان نمودار تابعی از یک متغیر y = g ( x ) وجود ندارد زیرا برای هر انتخاب x ∈ (-1, 1)، دو گزینه از y وجود دارد ، یعنی $\pm\sqrt{1-x^2}$ .

با این حال، می توان بخشی از دایره را به عنوان نمودار یک تابع از یک متغیر نشان داد. اگر اجازه دهیم $g_1(x) = \sqrt{1-x^2}$ برای −1 ≤ x ≤ 1 ، سپس نمودار y = g 1 ( x ) نیمه بالایی دایره را نشان می دهد. به طور مشابه، اگر $g_2(x) = -\sqrt{1-x^2}$ ، سپس نمودار y = g 2 ( x ) نیمه پایینی دایره را نشان می دهد.

هدف از قضیه تابع ضمنی این است که به ما بگوید که توابعی مانند g 1 ( x ) و g 2 ( x ) تقریبا همیشه وجود دارند، حتی در شرایطی که نمی توانیم فرمول های صریح را بنویسیم. این تضمین می کند که g 1 ( x ) و g 2 ( x ) مشتق پذیر هستند و حتی در شرایطی که فرمولی برای f ( x , y ) نداریم کار می کند .

تعاریف [ ویرایش ]

اجازه دهید $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ تابعی پیوسته مشتق پذیر باشد . فکر می کنیم $\mathbb {R} ^{n+m}$ به عنوان ضرب دکارتی آر $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ و یک نقطه از این ضرب را به صورت می نویسیم $(\mathbf {x},\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ از تابع داده شده شروع می شود $f$ ، هدف ما ساخت یک تابع استر $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ که نمودار $({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))$ دقیقا مجموعه ای از همه است $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ به طوری که $f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}$ .

همانطور که در بالا ذکر شد، این ممکن است همیشه امکان پذیر نباشد. بنابراین ما یک نکته را رفع می کنیم $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ که راضی می کند $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}$ ، و ما یک درخواست خواهیم کرد $g$ که نزدیک نقطه کار می کند $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ . به عبارت دیگر، ما یک مجموعه باز می خواهیم $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ حاوی $\textbf{a}$ ، یک مجموعه باز $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ حاوی ${\textbf {b}}$ و یک تابع $g:U\to V$ به طوری که نمودار از $g$ رابطه را ارضا می کند $f={\textbf {0}}$ بر $U\times V$ ، و هیچ نقطه دیگری در داخل $U\times V$ انجام دهید. در نمادها،

$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y})\ در U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.$

برای بیان قضیه تابع ضمنی، به ماتریس ژاکوبین نیاز داریم $f$ ، که ماتریس مشتقات جزئی از است $f$ . مخفف کردن $(a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m})$ به $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ ، ماتریس ژاکوبین است

$(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}( \mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\ frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix} \frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\پایان{ماتریس}}\راست]=[X|Y]$

جایی که $ایکس$ ماتریس مشتقات جزئی در متغیرها است $x_{i}$ و $Y$ ماتریس مشتقات جزئی در متغیرها است $y_{j}$ . قضیه تابع ضمنی می گوید که اگر $Y$ یک ماتریس معکوس است، پس وجود دارد $U$ ، $V$ ، و $g$ به دلخواه با نوشتن همه فرضیه ها با هم عبارت زیر به دست می آید.

بیان قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ یک تابع به طور پیوسته مشتق پذیر باشد و اجازه دهید $\mathbb {R} ^{n+m}$ مختصات دارند $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ . یک نقطه را برطرف کنید $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ با $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0}$ ، جایی که $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ بردار صفر است. اگر ماتریس ژاکوبین (این پانل سمت راست ماتریس ژاکوبین است که در بخش قبل نشان داده شده است):

$J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]$ معکوس است ، پس یک مجموعه باز وجود دارد $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ حاوی $\textbf{a}$ به طوری که یک تابع متمایز پیوسته منحصر به فرد وجود دارد $g:U\to \mathbb {R} ^{m}$ به طوری که $g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}$ ، و $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{برای همه}}~\mathbf {x} \in U$ . علاوه بر این، پانل سمت چپ ماتریس ژاکوبین نشان داده شده در بخش قبل را به صورت زیر نشان می دهد:

$J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}} (\mathbf {a}،\mathbf {b})\راست]،$ ماتریس ژاکوبین مشتقات جزئی از $g$ که در $U$ توسط حاصلضرب ماتریس داده می شود : [3]

$\left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x})\right]_{m\times n}=-\left[J_{ f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}$

مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

اگر علاوه بر این، $f$ تحلیلی یا پیوسته مشتق پذیر است $ک$ بار در یک محله از $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ ، سپس یکی می تواند انتخاب کند $U$ به منظور که همان صدق می کند $g$ داخل $U$ . [4] در حالت تحلیلی، به این قضیه تابع ضمنی تحلیلی می گویند .

اثبات مورد دو بعدی [ ویرایش ]

فرض کنید $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ یک تابع متمایز پیوسته است که یک منحنی را تعریف می کند $F(\mathbf {r} )=F(x,y)=0$ . اجازه دهید $(x_0، y_0)$ یک نقطه روی منحنی باشد بیان قضیه فوق را می توان برای این مورد ساده به صورت زیر بازنویسی کرد:

قضیه - اگر

$\left.{\frac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ سپس برای منحنی اطراف $(x_0، y_0)$ ما میتوانیم بنویسیم $y=f(x)$ ، جایی که $f$ یک تابع حقیقی است.

اثبات از آنجایی که F مشتق پذیر است، دیفرانسیل F را از طریق مشتقات جزئی می نویسیم:

$\mathrm {d} F=\operatorname {grad} F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{ \frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y.$

از آنجایی که ما محدود به حرکت در منحنی هستیمداف=0 $\mathrm {d} F=0$ و با فرض ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ اطراف نقطه $(x_0، y_0)$ (از آنجا که ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}$ پیوسته در است $(x_0، y_0)$ و $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ ). بنابراین ما یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول داریم :

$\partial _{x}F\mathrm {d} x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}$

اکنون ما به دنبال راه حلی برای این ODE در یک بازه باز در اطراف نقطه هستیم $(x_0، y_0)$ که در هر نقطه از آن $\partial _{y}F\neq 0$ . از آنجایی که F به طور پیوسته مشتق پذیر است و از فرضی که داریم

$|\partial _{x}F|<\infty ,|\partial _{y}F|<\infty,\partial _{y}F\neq 0.$

از این می دانیم که ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ پیوسته است و از دو انتها محدود است. از اینجا می دانیم که $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ لایب نیتز پیوسته در هر دو x و y است. بنابراین، با قضیه کوشی-لیپشیتز ، y ( x ) منحصر به فردی وجود دارد که راه حل ODE داده شده با شرایط اولیه است. QED

مثال دایره [ ویرایش ]

اجازه دهید به مثال دایره واحد برگردیم . در این مورد n = m = 1 و $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ . ماتریس مشتقات جزئی فقط یک ماتریس 1 × 2 است که توسط

$(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y }}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}$

بنابراین، در اینجا، Y در بیان قضیه فقط عدد 2 b است. نقشه خطی تعریف شده توسط آن معکوس است اگر و فقط اگر b ≠ 0 باشد. با قضیه تابع ضمنی می بینیم که می توانیم به صورت محلی دایره را به شکل y = g ( x ) برای تمام نقاطی که y ≠ 0 بنویسیم . همانطور که قبلا ذکر شد برای (±1، 0) با مشکل مواجه می شویم. قضیه تابع ضمنی را می‌توان با نوشتن x به‌عنوان تابعی از y ، به این دو نقطه نیز اعمال کرد، یعنی: $x = h(y)$ ; اکنون نمودار تابع خواهد بود $\ چپ (h(y)، y\راست)$ ، از آنجایی که در جایی b = 0 ، a = 1 داریم ، و شرایط برای بیان محلی تابع در این شکل برآورده می شود.

مشتق ضمنی y نسبت به x و مشتق x نسبت به y را می توان با تمایز کامل تابع ضمنی یافت. $x^2+y^2-1$ و معادل 0:

$2x\,dx+2y\,dy=0,$ دادن

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$ و

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.$

کاربرد: تغییر مختصات [ ویرایش ]

فرض کنید یک فضای m بعدی داریم که با مجموعه ای از مختصات پارامتر شده است $(x_1،\ldots،x_m)$ . ما می توانیم یک سیستم مختصات جدید معرفی کنیم $(x'_1،\ldots،x'_m)$ با ارائه توابع $h_1\lds h_m$ هر کدام به طور مداوم مشتق پذیر هستند. این توابع به ما امکان محاسبه مختصات جدید را می دهند(ایکس1"،…،ایکسمتر") $(x'_1،\ldots،x'_m)$ یک نقطه، با توجه به مختصات قدیمی نقطه $(x_1،\ldots،x_m)$ استفاده كردن $x'_{1}=h_{1}(x_{1}،\ldots،x_{m})،\ldots،x'_{m}=h_{m}(x_{1}،\ ldots، x_{m})$ . ممکن است کسی بخواهد بررسی کند که آیا برعکس ممکن است یا خیر: مختصات داده شده $(x'_1،\ldots،x'_m)$ ، آیا می توانیم به عقب برگردیم و مختصات اصلی همان نقطه را محاسبه کنیم $(x_1،\ldots،x_m)$ قضیه تابع ضمنی پاسخی به این سوال خواهد داد. مختصات (جدید و قدیم). $(x'_1،\ldots،x'_m، x_1،\ldots،x_m)$ با f = 0، با

$f(x'_{1},\ldots,x'_{m},x_{1},\ldots,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots , x_{m})-x'_{1}،\ldots،h_{m}(x_{1}،\ldots،x_{m})-x'_{m}).$ اکنون ماتریس ژاکوبین f در نقطه معینی ( a , b ) $a=(x'_1،\ldots،x'_m)، b=(x_1،\ldots،x_m)$ ] از رابطه زیر بدست می آید

$(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}} \left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\ frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].$ که در آن I m نشان دهنده ماتریس هویت m × m است و J ماتریس m × m مشتقات جزئی است که در ( a , b ) ارزیابی می شود. (در بالا، این بلوک ها با X و Y نشان داده می شدند. همانطور که اتفاق می افتد، در این کاربرد خاص قضیه، هیچ یک از ماتریس ها به a وابسته نیستند.) قضیه تابع ضمنی اکنون بیان می کند که ما می توانیم به صورت محلی بیان کنیم. $(x_1،\ldots،x_m)$ به عنوان تابعی از $(x'_1،\ldots،x'_m)$ اگر J معکوس باشد. درخواست J معکوس معادل det J ≠ 0 است، بنابراین می بینیم که اگر تعیین کننده J ژاکوبین غیر صفر باشد، می توانیم از مختصات اولیه به مختصات اول نشده برگردیم. این عبارت به عنوان قضیه تابع معکوس نیز شناخته می شود .

مثال: مختصات قطبی [ ویرایش ]

به عنوان یک کاربرد ساده از موارد فوق، صفحه را در نظر بگیرید که توسط مختصات قطبی ( R , θ ) پارامتر شده است. ما می توانیم با تعریف توابع x ( R , θ ) = R cos( θ ) و y ( R , θ ) = R sin( θ ) به یک سیستم مختصات جدید ( مختصات دکارتی ) برویم . این امر با توجه به هر نقطه ( R , θ ) امکان یافتن مختصات دکارتی متناظر ( x ,y ) . چه زمانی می توانیم به عقب برگردیم و دکارتی را به مختصات قطبی تبدیل کنیم؟ در مثال قبلی کافی است که det J ≠ 0 با

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \ تتا }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.$ از آنجایی که det J = R ، تبدیل مجدد به مختصات قطبی ممکن است اگر R ≠ 0 باشد. بنابراین باید مورد R = 0 را بررسی کنیم . به راحتی می توان فهمید که در حالت R = 0 ، تبدیل مختصات ما معکوس نیست: در مبدا، مقدار θ به خوبی تعریف نشده است.

کلیات [ ویرایش ]

نسخه باناخ space [ ویرایش ]

بر اساس قضیه تابع معکوس در فضاهای باناخ ، می توان قضیه تابع ضمنی را به نگاشتهای با ارزش فضایی باناخ گسترش داد. [5] [6]

اجازه دهید X ، Y ، Z فضاهای باناخ باشند . اجازه دهید نگاشت f : X × Y → Z به طور پیوسته Fréchet متمایزپذیر باشد. اگر $(x_0,y_0)\در X\ برابر Y$ ، $f(x_{0},y_{0})=0$ ، و $y\mapsto Df(x_0,y_0)(0,y)$ یک ایزومورفیسم فضای باناخ از Y به Z است، سپس همسایگی های U از x 0 و V از y 0 و یک تابع متمایز Fréchet g : U → V وجود دارد به طوری که f ( x , g ( x )) = 0 و f ( x ) , y ) = 0 اگر و فقط اگر y = g ( x )، برای همه $(x,y)\in U\times V$ .

توابع ضمنی از توابع غیر مشتق پذیر [ ویرایش ]

اشکال مختلفی از قضیه تابع ضمنی برای مواردی وجود دارد که تابع f مشتق پذیر نباشد. استاندارد است که یکنواختی شدید محلی در یک بعد کافی است. [7] شکل کلی تر زیر توسط کوماگای بر اساس مشاهدات جیتورنتروم اثبات شد. [8] [9]

یک تابع پیوسته را در نظر بگیرید $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ به طوری که $f(x_{0},y_{0})=0$ . اگر محله های باز وجود داشته باشدآ⊂آر� $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ وب⊂آرمتر $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ به ترتیب x 0 و y 0 ، به طوری که برای همه y در B ، $f(\cdot,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ به صورت محلی یک به یک است پس محله های باز وجود دارد $A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ و $B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}$ از x 0 و y 0 ، به طوری که، برای همه $y \ در B_0$ ، معادله f ( x , y ) = 0 یک راه حل منحصر به فرد دارد