کاربرد در انتشار غیرعادی [ ویرایش ]

به عنوان یک رویکرد مدل‌سازی جایگزین برای قانون دوم فیک کلاسیک، از مشتق فراکتال برای استخراج معادله انتقال- انتشار غیرعادی خطی در زمینه فرآیند انتشار غیرعادی استفاده می‌شود.

\frac{du (x,t)}{dt^\alpha}= D \frac{\partial }{\partial x^\beta} \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x^\beta}\right)، -\infty< x < +\infty\,, \quad (1)

u(x، 0)=\delta(x).

که در آن 0 < α <2، 0 < β <1، و δ ( x ) تابع دلتای دیراک است .

برای به دست آوردن جواب اساسی ، تبدیل متغیرها را اعمال می کنیم

t'=t^\alpha\,,\quad x'=x^\beta.

سپس معادله (1) تبدیل به معادله فرم انتشار عادی می شود، حل (1) شکل گاوسی کشیده دارد :

u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t^\alpha}} e^{-\frac{x^{2 \beta}}{4t^\alpha}}

میانگین جابجایی مجذور معادله انتشار مشتق فراکتال فوق مجانبی دارد :

\left\langle x^2 (t) \right\rangle\propto t^{(3 \alpha-\alpha \beta)/2 \beta}.

حساب فراکتال-کسری [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: مشتق کسری

اگر اولین مشتق تابع مورد بررسی وجود داشته باشد، مشتق فراکتال به مشتق کلاسیک متصل می شود. در این مورد،

{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})- f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^ {\alpha -1}}}،\quad \alpha >0}.

با این حال، به دلیل ویژگی تمایزپذیری یک انتگرال، مشتقات کسری قابل تمایز هستند، بنابراین مفهوم جدید زیر معرفی شد.

عملگرهای دیفرانسیل زیر اخیرا معرفی و اعمال شده اند. [2] با فرض اینکه y(t) پیوسته و قابل تمایز فراکتالی در (a, b) با مرتبه β باشد، چندین تعاریف از مشتق فراکتال-کسری از y(t) با مرتبه α در معنای ریمان-لیوویل صادق است: [2] ]

  • دارای هسته نوع قانون قدرت:

{\displaystyle ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(ts)^{m-\alpha -1}y(s)ds}

  • دارا بودن هسته از نوع در حال پوسیدگی نمایی:

{\displaystyle ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\ alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }} (ts){\Big )}y(s)ds}،

  • داشتن هسته نوع Mittag-Leffler تعمیم یافته:

{\displaystyle {}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d} {dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^ {\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}

عملگرهای دیفرانسیل فوق هر کدام یک عملگر انتگرال فراکتال-کسری مرتبط دارند، به شرح زیر: [2]

  • هسته نوع قانون قدرت:

{\displaystyle ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha) }}\int _{0}^{t}(ts)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}

  • هسته از نوع در حال فروپاشی نمایی:

{\displaystyle ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t) }{M(\alpha )}}}.

  • هسته نوع Mittag-Leffler تعمیم یافته:

{\displaystyle ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(ts)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^ {\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}}. FFM به فراکتال-کسری با هسته Mittag-Leffler تعمیم یافته ارجاع می شود.

حساب غیر محلی فراکتال [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: مشتقات فراکتال کسری

  • آنالوگ فراکتالی انتگرال کسری ریمان-لیویل راست{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }از f به صورت زیر تعریف می شود: [1]

{\displaystyle {x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{ b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{ F}^{\alpha }t}.

  • آنالوگ فراکتال انتگرال کسری راسته ریمان-لیویلر{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }f به صورت زیر تعریف می شود:

{\displaystyle {a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{ x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{ F}^{\alpha }t.}

  • آنالوگ فراکتالی مشتق کسری مرتبه ریمان-لیویل سمت راست{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }f به صورت زیر تعریف می شود:

{\displaystyle {x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F} ^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{ \alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}

  • آنالوگ فراکتال مشتق کسری مرتبه ریمان-لیویل سمت چپ{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }f به صورت زیر تعریف می شود:

{\displaystyle {a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^ {\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\ آلفا }(t))^{-n+\بتا +1}}}d_{F}^{\alpha }t}

  • آنالوگ فراکتال مشتق کسری کاپوتو در سمت راست{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }f به صورت زیر تعریف می شود:

{\displaystyle {x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha}(x))^{n-\beta -1}(-D_{F} ^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}

  • آنالوگ فراکتال مشتق کسری راسته Caputo سمت چپ{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }f به صورت زیر تعریف می شود:

{\displaystyle {a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{n-\بتا -1}(D_{F}^ {\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_derivative