چرخش بدنه صلب [ ویرایش ]

همچنین ببینید: پارادوکس Ehrenfest

برای ذره ای که در یک منحنی حرکت می کند، حاصل ضرب ضربدری سرعت زاویه ای آن ω (یک شبه بردار) و موقعیت x سرعت مماسی آن را نشان می دهد .

{\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }

که نمی تواند از قدر c تجاوز کند ، زیرا در SR سرعت انتقال هر جسم عظیمی نمی تواند از سرعت نور c تجاوز کند . از نظر ریاضی این محدودیت 0 ≤ | است u | < c ، میله های عمودی نشان دهنده بزرگی بردار است. اگر زاویه بین ω و x وθ باشد ( فرض می شود غیر صفر است، در غیر این صورت u صفر خواهد بود که هیچ حرکتی ندارد)، آنگاه

| u | = | ω | | x | sin θ

و سرعت زاویه ای محدود می شود

{\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}

بنابراین حداکثر سرعت زاویه ای هر جسم پرجرم به اندازه جسم بستگی دارد. برای یک معین | x |، حداقل حد بالایی زمانی رخ می دهد که ω و x عمود باشند، به طوری که θ = π /2 و sin θ = 1 .

برای یک جسم صلب دوار که با سرعت زاویه ای ω می چرخد ، u سرعت مماسی در نقطه x در داخل جسم است. برای هر نقطه از جسم، حداکثر سرعت زاویه ای وجود دارد.

سرعت زاویه ای (شبه بردار) با تکانه زاویه ای (شبه بردار) از طریق ممان تانسور اینرسی I مرتبط است.

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}(نقطه · نشان دهنده انقباض تانسور در یک شاخص است). تکانه زاویه ای نسبیتی نیز توسط اندازه جسم محدود می شود.

چرخش در نسبیت خاص [ ویرایش ]

چهار چرخش [ ویرایش ]

یک ذره ممکن است یک تکانه زاویه‌ای «ساخت‌شده» مستقل از حرکتش داشته باشد که اسپین نامیده می‌شود و s نشان داده می‌شود . این یک شبه بردار سه بعدی شبیه تکانه زاویه ای مداری L است.

اسپین دارای یک گشتاور مغناطیسی اسپین متناظر است ، بنابراین اگر ذره در معرض فعل و انفعالاتی باشد (مانند میدان های الکترومغناطیسی یا جفت شدن مدار اسپین )، جهت بردار اسپین ذره تغییر خواهد کرد، اما بزرگی آن ثابت خواهد بود.

بسط نسبیت خاص ساده است. [6] برای برخی از فریم آزمایشگاهی F، اجازه دهید F قاب باقیمانده ذره باشد و فرض کنید ذره با سرعت u 3 ثابت حرکت می کند . سپس F' با همان سرعت تقویت می‌شود و تبدیل‌های لورنتس طبق معمول اعمال می‌شوند. استفاده از β = u / c راحت تر است . به عنوان یک چهار بردار در نسبیت خاص، چهار اسپین S به طور کلی شکل معمول یک چهار بردار با مولفه زمانی s t و اجزای فضایی s را در کادر آزمایشگاهی به خود می‌گیرد.

{\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x} ,s_{y},s_{z})}

اگر چه در قاب استراحت ذره، تعریف شده است بنابراین مولفه زمان مانند صفر است و مولفه های فضایی بردار اسپین واقعی ذره هستند، در نماد اینجا s "، بنابراین در چارچوب ذره

{\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\ راست)=\چپ(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\راست)}

یکسان سازی هنجارها منجر به رابطه ثابت می شود

{\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}

بنابراین اگر بزرگی اسپین در قاب استراحت ذره و کادر آزمایشگاهی یک ناظر داده شود، بزرگی مولفه زمان مانند s t نیز در قاب آزمایشگاهی داده می شود.

تبدیل های برداری که از تبدیل های تانسور به دست می آیند

اجزای تقویت شده چهار چرخش نسبت به قاب آزمایشگاه هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0 }S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right) \\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}& ={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j }S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2 }}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1} }\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{تراز شده}}}

در اینجا γ = γ ( u ) . S ' در قاب باقیمانده ذره است، بنابراین مولفه زمانی آن صفر است، S 0 = 0 ، نه S 0 . همچنین، اولی معادل حاصل ضرب درونی چهار سرعت (تقسیم بر c ) و چهار چرخش است. ترکیب این حقایق منجر به

{\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}

که یک تغییر ناپذیر است. سپس این امر همراه با تبدیل در مؤلفه زمان مانند منجر به مؤلفه درک شده در چارچوب آزمایشگاهی می شود.

{\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}

روابط معکوس هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S ^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^ {j}+\گاما \بتا ^{i}{S'}^{0}\end{تراز شده}}}

محدودیت کوواریانس در اسپین متعامد بودن بردار سرعت است،

{\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}

در نمادگذاری 3 برداری برای صراحت، تبدیل ها هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac { \gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol { \بتا }}s_{t}\end{aligned}}}

روابط معکوس

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{ \frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{ هم راستا}}}

اجزای چرخش قاب آزمایشگاهی هستند که از اجزای موجود در قاب استراحت ذره محاسبه می شوند. اگرچه چرخش ذره برای یک ذره مشخص ثابت است، اما به نظر می رسد در چارچوب آزمایشگاهی متفاوت باشد.

شبه بردار پائولی-لوبانسکی [ ویرایش ]

شبه بردار پائولی-لوبانسکی

{\displaystyle S_{\rho }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu \rho }P^{\lambda }J^{\mu \nu },}

برای ذرات پرجرم و بدون جرم کاربرد دارد .

تجزیه اسپین-اوربیتال [ ویرایش ]

به طور کلی، تانسور تکانه زاویه ای کل به یک جزء مداری و یک جزء اسپین تقسیم می شود .

{\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}

این در مورد یک ذره، توزیع جرم-انرژی-تکانه، یا میدان صدق می کند.

تکانه زاویه ای توزیع جرم-انرژی-تکانه [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تانسور اسپین و شبه بردار پائولی-لوبانسکی

تکانه زاویه ای از تانسور جرم-انرژی-تکانه [ ویرایش ]

در زیر خلاصه ای از MTW آمده است. [7] برای سادگی، مختصات دکارتی در نظر گرفته شده است. در نسبیت خاص و عام، توزیع جرم-انرژی- تکانه، به عنوان مثال یک سیال یا یک ستاره، با تانسور تنش-انرژی T βγ (یک میدان تانسور مرتبه دوم بسته به مکان و زمان) توصیف می‌شود. از آنجایی که T 00 چگالی انرژی است، Tj 0 برای j = 1، 2، 3 j امین مولفه تکانه 3 بعدی جسم در واحد حجم است و T ij اجزای تانسور تنش را تشکیل می دهد.از جمله تنش های برشی و نرمال، چگالی تکانه زاویه ای مداری در مورد موقعیت 4-بردار X β توسط یک تانسور مرتبه 3 داده می شود.

{\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}

این در α و β ضد متقارن است . در نسبیت خاص و عام، T یک تانسور متقارن است، اما در زمینه های دیگر (مثلا، نظریه میدان کوانتومی)، ممکن است اینطور نباشد.

بگذارید Ω ناحیه ای از فضازمان 4 بعدی باشد. مرز یک ابرسطح فضا-زمان سه بعدی است ("حجم سطح فضا-زمان" در مقابل "مساحت سطح فضایی")، که در آن "∂" به معنای " مرز " ∂Ω است. ادغام چگالی تکانه زاویه ای بر روی یک ابرسطح فضای زمان سه بعدی، تانسور حرکت زاویه ای را در حدود X بدست می دهد .

{\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma } d\Sigma _{\گاما }}

که در آن dΣ γ فرم حجم 1 است که نقش یک بردار واحد نرمال به سطح 2 بعدی در فضای اقلیدسی 3 بعدی معمولی را بازی می کند. انتگرال بر روی مختصات X گرفته می شود نه X. انتگرال درون یک سطح فضا مانند زمان ثابت است

{\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\ چپ(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\چپ(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\, dy\,dz}

که در مجموع تانسور تکانه زاویه ای را تشکیل می دهند.

تکانه زاویه ای در مورد مرکز جرم [ ویرایش ]

یک تکانه زاویه ای ذاتی در قاب مرکز جرم وجود دارد، به عبارت دیگر، تکانه زاویه ای در مورد هر رویدادی وجود دارد.

{\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text {COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}روی خط کلمه مرکز جرم جسم. از آنجایی که T 00 چگالی انرژی جسم است، مختصات فضایی مرکز جرم توسط

{\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}

تنظیم Y = X COM چگالی تکانه زاویه ای مداری را در مورد مرکز جرم جسم به دست می آورد.

بقای تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

بقای انرژی – تکانه به صورت دیفرانسیل با معادله پیوستگی داده می شود

{\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}که در آن ∂ γ چهار گرادیان است . (در مختصات غیر دکارتی و نسبیت عام، این با مشتق کوواریانت جایگزین می شود ). بقای تکانه زاویه ای کل توسط یک معادله پیوستگی دیگر به دست می آید

{\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}

معادلات انتگرال از قضیه گاوس در فضازمان استفاده می کنند

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _ {\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\ گاما }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J }}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{تراز شده}}}

گشتاور در نسبیت خاص [ ویرایش ]

گشتاوری که بر روی یک ذره نقطه مانند به عنوان مشتق تانسور تکانه زاویه ای داده شده در بالا با توجه به زمان مناسب تعریف می شود: [8] [9]

{\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }

یا در اجزای تانسوری:

{\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}

که در آن F نیروی 4d است که در رویداد X بر ذره وارد می شود . مانند تکانه زاویه ای، گشتاور افزایشی است، بنابراین برای یک جسم گسترش یافته یک جمع یا ادغام بر روی توزیع جرم است.

تکانه زاویه ای به عنوان مولد افزایش و چرخش فضازمان [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تقارن در مکانیک کوانتومی

تانسور تکانه زاویه ای مولد بوست ها و چرخش ها برای گروه لورنتس است. [10] [11] بوست‌های لورنتس را می‌توان با سرعت ، و یک بردار واحد سه بعدی n که در جهت بوست اشاره می‌کند، که در "بردار سرعت" ترکیب می‌شوند، پارامتری کرد.

{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }که β = v / c سرعت حرکت نسبی تقسیم بر سرعت نور است. چرخش‌های فضایی را می‌توان با نمایش محور-زاویه ، زاویه θ و یک بردار واحد که در جهت محور اشاره می‌کند، پارامتری کرد، که در یک "بردار محور-زاویه" ترکیب می‌شوند.

{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }

هر بردار واحد فقط دو جزء مستقل دارد که سومی از روی واحد بزرگی تعیین می شود. در مجموع شش پارامتر از گروه لورنتس وجود دارد. سه برای چرخش و سه برای تقویت. گروه لورنتس (همگن) 6 بعدی است.

ژنراتورهای تقویت کننده K و ژنراتورهای چرخشی J را می توان در یک ژنراتور برای تبدیل لورنتس ترکیب کرد. M تانسور حرکت زاویه ای ضد متقارن، با مولفه ها

{\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}و به همین ترتیب، پارامترهای تقویت و چرخش در ماتریس چهار بعدی ضد متقارن دیگری با ورودی‌های زیر جمع‌آوری می‌شوند :

{\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\, ،}

که در آن قرارداد جمع بر روی شاخص های مکرر i، j، k برای جلوگیری از علائم جمع ناشیانه استفاده شده است. سپس تبدیل کلی لورنتز توسط ماتریس نمایی داده می شود

{\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M ^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right) }

و قرارداد جمع برای شاخص های ماتریس مکرر α و β اعمال شده است.

تبدیل کلی لورنتز Λ قانون تبدیل برای هر چهار بردار A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) است که اجزای همین 4 بردار را در چارچوب مرجع اینرسی دیگری نشان می دهد.

{\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }

تانسور تکانه زاویه ای 6 مولد از 10 مولد گروه پوانکاره را تشکیل می دهد، چهار مولفه دیگر اجزای چهار تکانه برای ترجمه فضازمان هستند.

تکانه زاویه ای در نسبیت عام [ ویرایش ]

تکانه زاویه ای ذرات آزمایشی در یک پس‌زمینه خمیده ملایم در GR پیچیده‌تر است، اما می‌توان آن را به روشی ساده تعمیم داد. اگر لاگرانژی با توجه به متغیرهای زاویه ای به عنوان مختصات تعمیم یافته بیان شود ، آنگاه لحظه لحظه ای زاویه ای مشتقات تابعی لاگرانژ نسبت به سرعت های زاویه ای هستند. این مختصات که به مختصات دکارتی ارجاع می‌شود، معمولاً با شرایط برشی خارج از قطر قسمت فضامانند تانسور تنش-انرژی داده می‌شوند . اگر فضازمان از یک میدان برداری کشنده مماس بر دایره پشتیبانی کند، آنگاه تکانه زاویه ای حول محور حفظ می شود.

همچنین می‌خواهیم اثر یک جرم فشرده و دوار را بر فضای زمان اطرافش مطالعه کنیم. راه حل نمونه اولیه از متریک کر است که فضازمان را در اطراف یک سیاهچاله متقارن محوری توصیف می کند . واضح است که ترسیم نقطه ای در افق رویداد سیاهچاله کر و تماشای چرخش آن در اطراف غیرممکن است. با این حال، راه حل ثابتی از سیستم را پشتیبانی می کند که از نظر ریاضی شبیه به یک تکانه زاویه ای عمل می کند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_angular_momentum