از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این اسباب بازی از اصول مرکز جرم برای حفظ تعادل هنگام نشستن روی انگشت استفاده می کند.

در فیزیک، مرکز جرم توزیع جرم در فضا (گاهی اوقات به عنوان نقطه تعادل نامیده می شود ) نقطه منحصر به فردی است که در آن موقعیت نسبی وزنی جرم توزیع شده به صفر می رسد. این نقطه ای است که ممکن است نیرویی برای ایجاد شتاب خطی بدون شتاب زاویه ای به آن اعمال شود . محاسبات در مکانیک اغلب زمانی که با توجه به مرکز جرم فرموله می شوند، ساده می شوند. این یک نقطه فرضی است که در آن کل جرم یک جسم ممکن است برای تجسم حرکت آن متمرکز شده باشد. به عبارت دیگر، مرکز جرم معادل ذره یک جسم معین برای کاربرد آن استقوانین حرکت نیوتن .

در مورد یک جسم صلب ، مرکز جرم نسبت به جسم ثابت است و اگر جسم دارای چگالی یکنواخت باشد، در مرکز قرار می گیرد . مرکز جرم ممکن است خارج از بدن فیزیکی قرار گیرد، همانطور که گاهی اوقات در مورد اجسام توخالی یا باز شکل مانند نعل اسب صدق می کند. در مورد توزیع اجرام جداگانه، مانند سیارات منظومه شمسی ، مرکز جرم ممکن است با موقعیت هیچ یک از اعضای منظومه مطابقت نداشته باشد.

مرکز جرم یک نقطه مرجع مفید برای محاسبات در مکانیک است که شامل جرم های توزیع شده در فضا می شود، مانند تکانه خطی و زاویه ای اجسام سیاره ای و دینامیک جسم صلب . در مکانیک مداری ، معادلات حرکت سیارات به صورت جرم های نقطه ای که در مراکز جرم قرار دارند، فرموله می شوند. قاب مرکز جرم یک قاب اینرسی است که در آن مرکز جرم یک سیستم نسبت به مبدأ سیستم مختصات در حالت سکون است.

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

مفهوم مرکز ثقل یا وزن به طور گسترده توسط ریاضیدان، فیزیکدان و مهندس یونان باستان ارشمیدس سیراکوز مورد مطالعه قرار گرفت . او با مفروضات ساده شده ای در مورد گرانش کار کرد که به یک میدان یکنواخت می رسید، بنابراین به ویژگی های ریاضی چیزی رسید که ما اکنون مرکز جرم می نامیم. ارشمیدس نشان داد که گشتاور اعمال شده بر روی یک اهرم توسط وزنه هایی که در نقاط مختلف در امتداد اهرم قرار می گیرند، همان گشتاوری است که اگر همه وزنه ها به یک نقطه - مرکز جرم آنها - منتقل شوند. در اثرش در مورد اجسام شناورارشمیدس نشان داد که جهت گیری یک جسم شناور است که مرکز جرم آن را تا حد امکان پایین می آورد. او تکنیک های ریاضی را برای یافتن مراکز جرم اجسام با چگالی یکنواخت با اشکال مختلف به خوبی تعریف کرد. [1]

دیگر ریاضیدانان باستانی که به نظریه مرکز جرم کمک کردند عبارتند از قهرمان اسکندریه و پاپوس اسکندریه . در دوره‌های رنسانس و اوایل مدرن ، اثری از گیدو اوبالدی ، فرانچسکو ماورولیکو ، [2] فدریکو کوماندینو ، [3] اوانجلیستا توریچلی ، سیمون استوین ، [4] لوکا والریو ، [5] ژان چارلز د لا فایل ، پل گولدین ، [6] جان والیس ، کریستیان هویگنس ، [7] لوئیس کارهپیر واریگنون و الکسیس کلراوت این مفهوم را بیشتر گسترش دادند. [8]

قانون دوم نیوتن با توجه به مرکز جرم در قانون اول اویلر دوباره فرموله شده است . [9]

تعریف [ ویرایش ]

مرکز جرم نقطه منحصر به فرد در مرکز توزیع جرم در فضا است که دارای این ویژگی است که بردارهای موقعیت وزنی نسبت به این نقطه مجموع صفر می کنند. در قیاس با آمار، مرکز جرم، مکان میانگین توزیع جرم در فضا است.

سیستمی از ذرات [ ویرایش ]

در مورد سیستمی از ذرات P i , i = 1, ...,  n  , هر کدام با جرم m i که در فضا با مختصات r i , i = 1, ...,  n  , مختصات R از قرار دارند. مرکز جرم شرایط را برآورده می کند

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}

با حل این معادله برای R فرمول بدست می آید

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}،}جایی که{\displaystyle M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}جرم کل همه ذرات است.

یک حجم پیوسته [ ویرایش ]

اگر توزیع جرم با چگالی ρ( r ) در یک جامد Q پیوسته باشد، آنگاه انتگرال مختصات موقعیت وزنی نقاط در این حجم نسبت به مرکز جرم R بر روی حجم V صفر است، یعنی

{\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}

برای بدست آوردن مختصات R این معادله را حل کنید

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r})\mathbf {r} \,dV,}که در آن M مجموع جرم در حجم است.

اگر توزیع جرم پیوسته چگالی یکنواخت داشته باشد ، به این معنی که ρ ثابت است، مرکز جرم همان مرکز حجم است. [10]

مختصات باریسنتریک [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: سیستم مختصات باریسنتریک

مختصات R مرکز جرم یک سیستم دو ذره ای، P 1 و P 2 ، با جرم های m 1 و m 2 به دست می آید.

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r } _{2}).}

اجازه دهید درصد کل جرم تقسیم شده بین این دو ذره از 100% P 1 و 0 % P 2 تا 50 % P 1 و 50 % P 2 تا 0 % P 1 و 100 % P 2 متغیر باشد ، سپس مرکز جرم R در طول خط از P 1 به P 2 حرکت می کند . درصد جرم در هر نقطه را می توان به عنوان مختصات تصویری نقطه R در نظر گرفتدر این خط، و مختصات باریسنتریک نامیده می شوند. راه دیگری برای تفسیر فرآیند در اینجا تعادل مکانیکی لحظات در مورد یک نقطه دلخواه است. شمارشگر گشتاور کل را نشان می دهد که سپس با نیروی کل معادل در مرکز جرم متعادل می شود. این را می توان به سه نقطه و چهار نقطه تعمیم داد تا مختصات تصویری را به ترتیب در صفحه و در فضا تعریف کند.

سیستم های دارای شرایط مرزی دوره ای [ ویرایش ]

برای ذرات در یک سیستم با شرایط مرزی تناوبی، دو ذره می توانند همسایه باشند، حتی اگر در طرف مقابل سیستم باشند. این اغلب در شبیه‌سازی‌های دینامیک مولکولی رخ می‌دهد ، برای مثال، که در آن خوشه‌ها در مکان‌های تصادفی تشکیل می‌شوند و گاهی اوقات اتم‌های همسایه از مرز تناوبی عبور می‌کنند. هنگامی که یک خوشه از مرز تناوبی عبور می کند، یک محاسبه ساده از مرکز جرم نادرست خواهد بود. یک روش تعمیم‌یافته برای محاسبه مرکز جرم برای سیستم‌های تناوبی این است که با هر مختصات، x و y و/یا z ، طوری رفتار کنیم که گویی به جای یک خط روی یک دایره است. [11] محاسبات x هر ذره را می گیردهماهنگ کنید و آن را در یک زاویه ترسیم کنید،

{\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }که در آن x max اندازه سیستم در جهت x و{\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}. از این زاویه دو نکته جدید{\displaystyle (\xi _{i}،\zeta _{i})}می تواند تولید شود که می تواند با جرم ذره وزن شودx_{i}برای مرکز جرم یا مقدار 1 برای مرکز هندسی داده می شود:

{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{ هم راستا}}}

در{\displaystyle (\xi،\zeta)}صفحه، این مختصات روی دایره ای به شعاع 1 قرار دارند. از مجموعه\xi _{i}و\zeta _{i}مقادیر از همه ذرات، میانگین ها{\overline {\xi }}و{\overline {\zeta }}محاسبه می شوند.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i },\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i}،\end{ هم راستا}}}

که در آن M مجموع جرم همه ذرات است.

این مقادیر دوباره در یک زاویه جدید ترسیم می شوند،{\overline {\theta }}، که از آن می توان مختصات x مرکز جرم را به دست آورد:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+ \pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{تراز شده}}}

این فرآیند را می توان برای تمام ابعاد سیستم تکرار کرد تا مرکز جرم کامل مشخص شود. کاربرد این الگوریتم این است که به ریاضیات اجازه می دهد تا به جای حدس زدن یا استفاده از تجزیه و تحلیل خوشه ای برای «گشودن» خوشه ای که مرزهای تناوبی را در بر می گیرد، تعیین کنند «بهترین» مرکز جرم کجاست. اگر هر دو مقدار متوسط ​​صفر باشند،{\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}، سپس{\overline {\theta }}تعریف نشده است این یک نتیجه صحیح است، زیرا فقط زمانی اتفاق می افتد که همه ذرات دقیقاً به طور مساوی فاصله داشته باشند. در آن شرایط، مختصات x آنها در یک سیستم تناوبی از نظر ریاضی یکسان است .