12-تبدیل فوریه

توزیع ها، تک بعدی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه در این جدول را می توان در Erdélyi (1954) یا Kammler (2000 ، ضمیمه) یافت.

	عملکرد	تبدیل فوریه فرکانس واحد، معمولی	تبدیل فوریه فرکانس واحد، زاویه ای	تبدیل فوریه فرکانس غیر واحدی و زاویه ای	ملاحظات
	$f(x)\,$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix \xi }\,dx\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^ {\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\nu )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x }\,dx\end{تراز شده}}$
301	$1$	$\delta (\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )$	$2\pi \delta (\nu )$	توزیع δ ( ξ ) نشان دهنده تابع دلتای دیراک است .
302	$\delta (x)\,$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1$	قانون دوگانه 301.
303	$e^{iax}$	$\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\nu -a)$	این از 103 و 301 به دست می آید.
304	$\cos(ax)$	${\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi } }\راست)}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)$	این از قوانین 101 و 303 با استفاده از فرمول اویلر نتیجه می گیرد : $\cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.$
305	$\sin(ax)$	${\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi } }\right)}{2i}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	$-i\pi {\bigl (}\delta (\nu -a)-\delta (\nu +a){\bigr )}$	این از 101 و 303 استفاده می شود $\sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.$
306	$\cos \left(ax^{2}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\ pi {4}}\راست)$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \راست)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}} \درست)$	این از 101 و 207 استفاده می شود $\cos(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}.$
307	$\sin \left(ax^{2}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac { \pi {4}}\راست)$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \راست)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4} }\درست)$	این از 101 و 207 استفاده می شود $\sin(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}.$
308	$x^{n}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )$	در اینجا n یک عدد طبیعی و δ ( n ) ( ξ ) n امین مشتق توزیع تابع دلتای دیراک است. این قانون از قوانین 107 و 301 ناشی می شود. با ترکیب این قانون با 101، می توانیم همه چند جمله ای ها را تبدیل کنیم .
	$\delta ^{(n)}(x)$	$(2\pi i\xi )^{n}$	${\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}$	$(i\nu )^{n}$	دوگانه قانون 308. δ ( n ) ( ξ ) N امین مشتق توزیع تابع دلتای دیراک است. این قانون از 106 و 302 پیروی می کند.
309	${\frac {1}{x}}$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\nu )$	در اینجا sgn( ξ ) تابع علامت است . توجه داشته باشید که1/ایکستوزیع نیست هنگام آزمایش در برابر توابع شوارتز ، استفاده از مقدار اصلی کوشی ضروری است . این قانون در مطالعه تبدیل هیلبرت مفید است .
310	${\begin{aligned}&{\frac {1}{x^{n}}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1) !}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log \|x\|\end{تراز شده}}$	$-i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )$	1/x nتوزیع همگنی است که توسط مشتق توزیعی تعریف می شود ${\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log \|x\|$
311	$\|x\|^{\alpha }$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{\|2\pi \xi \|^{\ آلفا +1}}}$	${\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma ( \alpha +1)}{\|\omega \|^{\alpha +1}}}$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{\|\nu \|^{\alpha +1 }}}$	این فرمول برای 0 > α > -1 معتبر است . برای α > 0 برخی از اصطلاحات مفرد در مبدأ به وجود می آیند که می توان آنها را با تمایز 318 پیدا کرد. اگر Re α > -1 ، آنگاه \| x \| α یک تابع قابل ادغام محلی است و بنابراین یک توزیع معتدل است. تابع α ↦ \| x \| α یک تابع هولومورفیک از نیم صفحه سمت راست تا فضای توزیع‌های معتدل است. این یک بسط مرومورفیک منحصربه‌فرد را به یک توزیع معتدل می‌پذیرد که با علامت \| نیز مشخص می‌شود x \| α برای α ≠ -1، -3، ... (نگاه کنید بهتوزیع همگن .)
	${\frac {1}{\sqrt {\|x\|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\|\xi \|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\|\omega \|}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\|\nu \|}}}$	مورد ویژه 311.
312	$\operatorname {sgn}(x)$	${\frac {1}{i\pi \xi }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\nu }}$	قانون دوگانه 309. این بار تبدیل فوریه باید به عنوان یک مقدار اصلی کوشی در نظر گرفته شود .
313	$u(x)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)$	تابع u ( x ) تابع مرحله واحد Heaviside است . این از قوانین 101، 301 و 312 ناشی می شود.
314	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k }{T}}\راست)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T} }\درست)$	این تابع به عنوان تابع شانه دیراک شناخته می شود. این نتیجه را می توان از 302 و 102 به دست آورد، همراه با این واقعیت که ${\begin{aligned}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}\\={}&2\pi \sum _{k=-\infty }^{ \infty }\delta (x+2\pi k)\end{تراز شده}}$ به عنوان توزیع
315	$J_{0}(x)$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	تابع J 0 ( x ) تابع بسل مرتبه صفر از نوع اول است.
316	$J_{n}(x)$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{ 2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac { \omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	این یک تعمیم 315 است. تابع J n ( x ) تابع بسل مرتبه n از نوع اول است. تابع T n ( x ) چند جمله ای چبیشف از نوع اول است .
317	$\log \چپ\|x\راست\|$	$-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left\|\xi \right\|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)$	$-{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left\|\omega \right\|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left( \omega \راست)$	$-{\frac {\pi }{\left\|\nu \right\|}}-2\pi \gamma \delta \left(\nu \right)$	γ ثابت اویلر- ماسکرونی است . استفاده از انتگرال قسمت محدود هنگام آزمایش ضروری است1/\| ξ \|،1/\| ω \|،1/\| ν \|در برابر توابع شوارتز جزئیات این ممکن است ضریب تابع دلتا را تغییر دهد.
318	$\left(\mp ix\right)^{-\alpha }$	${\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\ pm \xi \right)^{\alpha -1}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^ {\alpha -1}$	${\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \nu \right)\left(\pm \nu \right)^{\alpha - 1}$	این فرمول برای 1 > α > 0 معتبر است . از تمایز برای استخراج فرمول برای توان های بالاتر استفاده کنید. u تابع Heaviside است.