جداول تبدیل فوریه مهم [ ویرایش ]

جداول زیر برخی از تبدیل های فوریه به شکل بسته را ثبت می کنند. برای توابع f ( x ) ، g ( x ) و h ( x ) تبدیل فوریه خود را به ترتیب با f̂ ، ĝ و ĥ نشان می دهند. فقط سه قرارداد متداول گنجانده شده است. توجه به این نکته ممکن است مفید باشد که مدخل 105 رابطه ای بین تبدیل فوریه یک تابع و تابع اصلی به دست می دهد که می تواند به عنوان ارتباط بین تبدیل فوریه و معکوس آن دیده شود.

روابط عملکردی، تک بعدی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه در این جدول را می توان در Erdélyi (1954) یا Kammler (2000 ، ضمیمه) یافت.

عملکردتبدیل فوریه فرکانس
واحد، معمولی		تبدیل فوریه فرکانس
واحد، زاویه ای		تبدیل فوریه فرکانس
غیر واحدی و زاویه ای		ملاحظات
{\displaystyle f(x)\,}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix \xi }\,dx\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^ {\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\nu )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x }\,dx\end{تراز شده}}}تعریف
101{\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\,}{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\,}{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\,}{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\,}خطی بودن
102{\displaystyle f(xa)\,}{\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,}{\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,}{\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,}تغییر در حوزه زمانی
103{\displaystyle f(x)e^{iax}\,}{\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\,}{\displaystyle {\hat {f}}(\omega -a)\,}{\displaystyle {\hat {f}}(\nu -a)\,}تغییر در حوزه فرکانس، دوتایی 102
104{\displaystyle f(ax)\,}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,}مقیاس بندی در حوزه زمان اگر | یک | بزرگ است، سپس f ( ax ) در اطراف 0 متمرکز شده است و
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}
پخش می شود و صاف می شود.
105{\displaystyle {\hat {f}}(x)\,}{\displaystyle f(-\xi )\,}{\displaystyle f(-\omega )\,}{\displaystyle 2\pi f(-\nu )\,}ثنویت. در اینجا f̂ باید با استفاده از همان روش ستون تبدیل فوریه محاسبه شود. نتایج حاصل از تعویض متغیرهای "ساختگی" x و ξ یا ω یا ν .
106{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,}{\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,}{\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,}{\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,}زیرا f تابع شوارتز است
107{\displaystyle x^{n}f(x)\,}{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,}{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}}این دوگانه 106 است
108{\splaystyle (f*g)(x)\,}{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,}{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,}{\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,}نماد f ∗ g نشان دهنده انحراف f و g است - این قاعده قضیه کانولوشن است
109{\displaystyle f(x)g(x)\,}{\displaystyle \left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\xi )\,}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\omega )\,}{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\nu )\,}این دوگانه 108 است
110برای f ( x ) کاملا واقعی{\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,}{\displaystyle {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\,}{\displaystyle {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\,}تقارن هرمیتی z مزدوج مختلط را نشان می دهد .
111برای f ( x ) کاملا واقعی و زوجf̂ ( ξ ) , f̂ ( ω ) و f̂ ( ν ) توابع زوج کاملا واقعی.
112برای f ( x ) کاملا واقعی و فردf̂ ( ξ ) , f̂ ( ω ) و f̂ ( ν ) توابع فرد کاملاً خیالی هستند .
113برای f ( x ) کاملاً خیالی{\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,}{\displaystyle {\hat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\,}{\displaystyle {\hat {f}}(-\nu )=-{\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\,}z مزدوج مختلطرا نشان می دهد.
114{\displaystyle {\overline {f(x)}}}{\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}}{\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}}}{\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}}}صرف مختلط ، تعمیم 110 و 113
115{\displaystyle f(x)\cos(ax)}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\hat {f}}\left(\xi +{ \frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}(\omega -a)+{\hat {f}}(\omega +a)}{2}}\,}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}(\nu -a)+{\hat {f}}(\nu +a)}{2}}}این از قوانین 101 و 103 با استفاده از فرمول اویلر نتیجه می گیرد :
{\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}
116{\displaystyle f(x)\sin(ax)}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\hat {f}}\left(\xi +{ \frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}(\omega -a)-{\hat {f}}(\omega +a)}{2i}}}{\displaystyle {\frac {{\hat {f}}(\nu -a)-{\hat {f}}(\nu +a)}{2i}}}این از 101 و 103 با استفاده از فرمول اویلر به دست می آید :
{\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}

توابع ادغام‌پذیر مربع، تک بعدی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه در این جدول را می توان در Campbell & Foster (1948) ، Erdélyi (1954) یا Kammler (2000 ، ضمیمه) یافت.

عملکردتبدیل فوریه فرکانس
واحد، معمولی		تبدیل فوریه فرکانس
واحد، زاویه ای		تبدیل فوریه فرکانس
غیر واحدی و زاویه ای		ملاحظات
{\displaystyle f(x)\,}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix \xi }\,dx\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^ {\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\nu )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x }\,dx\end{تراز شده}}}
201{\displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right )}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)}پالس مستطیلی و تابع sinc نرمال شده که در اینجا به صورت sinc( x ) = تعریف می شودگناه (π x )/π x
202{\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right )}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)}

قانون دوگانه 201. تابع مستطیل شکل یک فیلتر پایین گذر ایده آل است و تابع sinc پاسخ ضربه غیر علّی چنین فیلتری است. تابع sinc در اینجا به صورت sinc( x ) = تعریف می شود

sin (π x )/π x

203{\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right )}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)}تابع tri( x ) تابع مثلثی است
204{\displaystyle \operatorname {tri} (ax)}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a }}\درست)}{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)}قانون دوگانه 203.
205{\displaystyle e^{-ax}u(x)\,}{\displaystyle {\frac {1}{a+2\pi i\xi }}}{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}}{\displaystyle {\frac {1}{a+i\nu }}}تابع u ( x ) تابع مرحله واحد Heaviside و a > 0 است.
206{\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,}{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}}}این نشان می‌دهد که برای تبدیل‌های فوریه واحد، تابع گاوسی e - αx 2 تبدیل فوریه خودش برای انتخابی از α است. برای انتگرال پذیری آن باید Re( α ) > 0 داشته باشیم .
207{\displaystyle e^{-i\alpha x^{2}}\,}{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{i({\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}-{\frac {\pi }{4}})}}{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{i({\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}-{\frac {\pi {4}})}}{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{i({\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}-{\frac {\pi {4}})}}این به عنوان سینوسی فاز دوم پیچیده یا تابع "چیپ" شناخته می شود. [53]
208{\displaystyle e^{-a|x|}\,}{\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}{\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}}}برای Re( a ) > 0 . یعنی تبدیل فوریه یک تابع نمایی در حال فروپاشی دو طرفه یک تابع لورنتسی است .
209{\displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,}{\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)}{\displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \ درست)}{\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \راست)}سکانت هایپربولیک تبدیل فوریه خودش است
210{\displaystyle e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)\,}{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2} {a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}{\displaystyle {\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left ({\frac {\omega }{a}}\right)}{\displaystyle {\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\nu ^{2}}{2a^{2} }}}H_{n}\left({\frac {\nu }{a}}\right)}H n چند جمله ای مرتبهn هرمیت است . اگر a = 1 باشد، توابع گاوس-هرمیت، توابع ویژه عملگر تبدیل فوریه هستند. برای اشتقاق، به چند جمله ای هرمیت مراجعه کنید . فرمول برای n = 0 به 206 کاهش می یابد .