مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه به دو روش مختلف در مکانیک کوانتومی مفید است. برای شروع، ساختار مفهومی اساسی مکانیک کوانتومی وجود جفت متغیرهای مکمل را فرض می‌کند که توسط اصل عدم قطعیت هایزنبرگ به هم مرتبط هستند. به عنوان مثال، در یک بعد، متغیر فضایی q مثلاً یک ذره، تنها می‌تواند توسط « اپراتور موقعیت » مکانیک کوانتومی به قیمت از دست دادن اطلاعات مربوط به تکانه p ذره اندازه‌گیری شود. بنابراین، وضعیت فیزیکی ذره را می توان با تابعی به نام "تابع موج" از q یا با تابعی از p توصیف کرد.اما نه با تابعی از هر دو متغیر. متغیر p را متغیر مزدوج به q می نامند . در مکانیک کلاسیک، وضعیت فیزیکی یک ذره (که در یک بعد وجود دارد، برای سادگی نمایش) با تخصیص مقادیر مشخص به هر دو p و q به طور همزمان داده می شود. بنابراین، مجموعه تمام حالات فیزیکی ممکن، فضای برداری واقعی دو بعدی با محور p و یک محور q به نام فضای فاز است .

در مقابل، مکانیک کوانتومی یک قطبش این فضا را انتخاب می‌کند به این معنا که زیرفضایی به اندازه نصف بعد را انتخاب می‌کند، برای مثال، محور q به تنهایی، اما به جای در نظر گرفتن تنها نقاط، مجموعه‌ای از تمام مقادیر پیچیده را می‌گیرد. "توابع موج" در این محور. با این وجود، انتخاب محور p یک قطبش به همان اندازه معتبر است، که نمایش متفاوتی از مجموعه حالت‌های فیزیکی ممکن ذره به دست می‌دهد که با اولین نمایش توسط تبدیل فوریه مرتبط است.

{\displaystyle \phi (p)=\int \psi (q)e^{2\pi i{\frac {pq}{h}}}\,dq.}

حالات قابل تحقق فیزیکی L 2 هستند و بنابراین طبق قضیه پلانچرل تبدیل فوریه آنها نیز L 2 است. (توجه داشته باشید که از آنجایی که q بر حسب واحد فاصله و p بر حسب واحد تکانه است، وجود ثابت پلانک در توان، نما را همانطور که باید بی‌بعد می‌کند. )

بنابراین، تبدیل فوریه را می توان برای عبور از یک روش نشان دادن حالت ذره، توسط تابع موج موقعیت، به روش دیگری برای نمایش وضعیت ذره استفاده کرد: توسط تابع موج تکانه. قطبی‌سازی‌های مختلف بی‌نهایت ممکن است، و همه به یک اندازه معتبر هستند. امکان تبدیل حالت ها از یک نمایش به نمایش دیگر گاهی راحت است.

کاربرد دیگر تبدیل فوریه هم در مکانیک کوانتومی و هم در نظریه میدان کوانتومی حل معادله موج قابل اجرا است. در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، معادله شرودینگر برای یک تابع موج متغیر با زمان در یک بعدی، بدون نیروهای خارجی، است.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\ جزئی }{\partial t}}\psi (x,t).}

این همان معادله گرما است به جز وجود واحد خیالی i . برای حل این معادله می توان از روش های فوریه استفاده کرد.

در حضور یک پتانسیل که توسط تابع انرژی پتانسیل V ( x ) داده می شود، معادله تبدیل می شود

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h }{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}

همانطور که در بالا به آنها اشاره کردیم، "راه حل های ابتدایی" به اصطلاح "حالت های ساکن" ذره هستند، و الگوریتم فوریه، همانطور که در بالا توضیح داده شد، هنوز می تواند برای حل مسئله ارزش مرزی تکامل آتی ψ استفاده شود. با توجه به مقادیر آن برای t = 0 . هیچ یک از این رویکردها کاربرد عملی زیادی در مکانیک کوانتومی ندارند. مسائل ارزش مرزی و تکامل زمانی تابع موج چندان مورد توجه عملی نیست: این حالت های ساکن هستند که از همه مهمتر هستند.

در مکانیک کوانتومی نسبیتی، معادله شرودینگر مانند معمول در فیزیک کلاسیک به یک معادله موج تبدیل می‌شود، با این تفاوت که امواج با ارزش پیچیده در نظر گرفته می‌شوند. یک مثال ساده، در غیاب برهمکنش با ذرات یا میدان‌های دیگر، معادله آزاد یک بعدی کلاین-گوردون- شرودینگر-فوک است، این بار در واحدهای بدون بعد،

{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2} }{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}

از نقطه نظر ریاضی، این معادله معادله موج فیزیک کلاسیک است که در بالا حل شد (اما با یک موج با ارزش پیچیده، که تفاوتی در روش ها ایجاد نمی کند). این در تئوری میدان کوانتومی کاربرد زیادی دارد: هر جزء فوریه جداگانه یک موج را می توان به عنوان یک نوسان ساز هارمونیک مجزا در نظر گرفت و سپس کوانتیزه کرد، روشی که به عنوان "کوانتیزه دوم" شناخته می شود. روش های فوریه برای مقابله با فعل و انفعالات غیر پیش پا افتاده نیز اقتباس شده اند.

پردازش سیگنال [ ویرایش ]

تبدیل فوریه برای تحلیل طیفی سری های زمانی استفاده می شود. موضوع پردازش سیگنال آماری معمولاً تبدیل فوریه را به خود سیگنال اعمال نمی کند. حتی اگر یک سیگنال واقعی واقعاً گذرا باشد، در عمل توصیه شده است که یک سیگنال را با یک تابع (یا، در عوض، یک فرآیند تصادفی) مدل‌سازی کنیم که ثابت است به این معنا که ویژگی‌های مشخصه آن در تمام زمان‌ها ثابت است. تبدیل فوریه چنین تابعی به معنای معمول وجود ندارد، و برای تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها استفاده از تبدیل فوریه تابع همبستگی خود مفیدتر است.

تابع خودهمبستگی R تابع f با تعریف می شود

{\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+ \tau )\,dt.}

این تابع تابعی از وقفه زمانی ت سپری شده بین مقادیر f برای همبستگی است.

برای اکثر توابع f که در عمل اتفاق می‌افتند، R یک تابع زوج محدود از وقفه زمانی τ است و برای سیگنال‌های نویز معمولی مشخص می‌شود که به طور یکنواخت پیوسته با حداکثر در τ = 0 است.

تابع خودهمبستگی، که به طور مناسب‌تری تابع خودکوواریانس نامیده می‌شود، مگر اینکه به روشی مناسب نرمال شود، قدرت همبستگی بین مقادیر f را که با یک تاخیر زمانی از هم جدا شده‌اند، اندازه‌گیری می‌کند. این راهی برای جستجوی همبستگی f با گذشته خودش است. حتی برای سایر کارهای آماری علاوه بر تجزیه و تحلیل سیگنال ها نیز مفید است. به عنوان مثال، اگر f ( t ) نشان دهنده دما در زمان t باشد ، انتظار می رود که همبستگی قوی با دما در یک تاخیر زمانی 24 ساعته وجود داشته باشد.

دارای تبدیل فوریه است،

{\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-2\pi i\xi \tau }\,d\ تاو.}

این تبدیل فوریه تابع چگالی طیفی توان f نامیده می شود . (مگر اینکه ابتدا همه اجزای تناوبی از f فیلتر شوند ، این انتگرال واگرا می شود، اما فیلتر کردن چنین تناوب هایی آسان است.)

طیف توان، همانطور که توسط این تابع چگالی P نشان داده می شود ، مقدار واریانس کمک به داده ها را با فرکانس ξ اندازه می گیرد. در سیگنال های الکتریکی، واریانس متناسب با توان متوسط ​​(انرژی در واحد زمان) است، و بنابراین طیف توان توضیح می دهد که فرکانس های مختلف چقدر در توان متوسط ​​سیگنال نقش دارند. این فرآیند تحلیل طیفی سری های زمانی نامیده می شود و مشابه آنالیز معمول واریانس داده هایی است که سری زمانی نیستند ( ANOVA ).

دانستن اینکه کدام فرکانس از این نظر "مهم" هستند برای طراحی مناسب فیلترها و برای ارزیابی مناسب دستگاه های اندازه گیری بسیار مهم است. همچنین می تواند برای تجزیه و تحلیل علمی پدیده های مسئول تولید داده ها مفید باشد.

طیف توان یک سیگنال را نیز می‌توان به طور تقریباً مستقیم با اندازه‌گیری توان متوسطی که پس از فیلتر کردن تمام فرکانس‌های خارج از باند باریک در سیگنال باقی می‌ماند، اندازه‌گیری کرد.

تجزیه و تحلیل طیفی برای سیگنال های بصری نیز انجام می شود. طیف توان همه روابط فاز را نادیده می گیرد، که برای بسیاری از اهداف به اندازه کافی خوب است، اما برای سیگنال های ویدئویی باید از انواع دیگری از آنالیز طیفی نیز استفاده شود، همچنان که از تبدیل فوریه به عنوان ابزار استفاده می شود.

نمادهای دیگر [ ویرایش ]

سایر نمادهای رایج برای f̂ ( ξ ) عبارتند از:

{\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ {\tilde {f}}(\omega),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right) (\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}(\omega) \ F(\omega),\ {\mathcal {F}}(j\omega),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f( t){\bigr )}،\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}

نشان دادن تبدیل فوریه با حرف بزرگ مربوط به حرف تابع در حال تبدیل (مانند f ( x ) و F ( ξ ) ) به ویژه در علوم و مهندسی رایج است. در الکترونیک، امگا ( ω ) به دلیل تفسیر آن به عنوان فرکانس زاویه ای اغلب به جای ξ استفاده می شود، گاهی اوقات آن را به صورت F ( jω ) می نویسند ، جایی که j واحد خیالی است ، برای نشان دادن رابطه آن با تبدیل لاپلاس ، و گاهی اوقات آن را نشان می دهد. به صورت غیررسمی به صورت F (2π f ) نوشته می شودبه منظور استفاده از فرکانس معمولی در برخی زمینه ها مانند فیزیک ذرات، همان نمادfممکن است هم برای یک تابع و هم برای تبدیل فوریه استفاده شود که این دو تنها با آرگومانشان متمایز می شوند :{\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}به دلیل استدلال تکانه به تبدیل فوریه اشاره دارد، در حالی که{\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}به دلیل آرگومان موقعیتی به تابع اصلی اشاره می کند. اگرچه تایلدها ممکن است مانند در استفاده شوند{\tilde {f}}برای نشان دادن تبدیل فوریه، تیلدها همچنین ممکن است برای نشان دادن تغییر یک کمیت با شکل ثابت لورنتس استفاده شوند، مانند{\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}، پس باید مراقب بود.

تفسیر تابع مختلط f̂ ( ξ ) را می توان با بیان آن به شکل مختصات قطبی کمک کرد.

{\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}

برحسب دو تابع واقعی A ( ξ ) و φ ( ξ ) که در آن:

{\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}

دامنه و _

{\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}

فاز است ( به تابع arg مراجعه کنید ).

سپس تبدیل معکوس را می توان نوشت:

{\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\ بزرگ )}}\,d\xi ,}

که بازترکیبی از تمام مولفه های فرکانس f ( x ) است . هر جزء یک سینوسی پیچیده به شکل e 2π ixξ است که دامنه آن A ( ξ ) و زاویه فاز اولیه آن (در x = 0 ) φ ( ξ ) است.

تبدیل فوریه ممکن است به عنوان یک نقشه برداری در فضاهای تابع در نظر گرفته شود. این نگاشت در اینجا F نشان داده می شود و F ( f ) برای نشان دادن تبدیل فوریه تابع f استفاده می شود. این نگاشت خطی است، به این معنی که F همچنین می تواند به عنوان یک تبدیل خطی در فضای تابع دیده شود و نشان می دهد که نماد استاندارد در جبر خطی اعمال تبدیل خطی به بردار (در اینجا تابع f ) می تواند برای نوشتن F استفاده شود. f به جای F ( f ). از آنجایی که نتیجه اعمال تبدیل فوریه مجدداً یک تابع است، می‌توانیم به مقدار این تابع که در مقدار ξ برای متغیر آن ارزیابی می‌شود علاقه‌مند باشیم، و این به صورت F f ( ξ ) یا ( F f )( ξ ) . توجه داشته باشید که در مورد اول، به طور ضمنی درک می شود که F ابتدا به f اعمال می شود و سپس تابع حاصل در ξ ارزیابی می شود ، نه برعکس.

در ریاضیات و علوم کاربردی مختلف، اغلب لازم است بین تابع f و مقدار f تمایز قائل شویم، زمانی که متغیر آن برابر با x است که با f ( x ) نشان داده می شود . این بدان معنی است که نمادی مانند F ( f ( x )) به طور رسمی می تواند به عنوان تبدیل فوریه مقادیر f در x تفسیر شود . با وجود این نقص، نماد قبلی اغلب زمانی ظاهر می شود که یک تابع خاص یا تابعی از یک متغیر خاص قرار است تبدیل شود. مثلا،

{\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}

گاهی اوقات برای بیان اینکه تبدیل فوریه یک تابع مستطیلی یک تابع sinc یا است استفاده می شود

{\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr ) }\cdot e^{2\pi i\xi x_{0}}}

برای بیان ویژگی shift تبدیل فوریه استفاده می شود.

توجه داشته باشید که مثال آخر فقط با این فرض صحیح است که تابع تبدیل شده تابعی از x است، نه از x 0 .

سایر کنوانسیون ها [ ویرایش ]

تبدیل فوریه را می توان بر حسب فرکانس زاویه ای نیز نوشت :

\omega =2\pi \xi،

که واحدهای آن رادیان در ثانیه است.

جانشین ξ =ω/2πدر فرمول های بالا این قرارداد را ایجاد می کند:

{\displaystyle {\hat {f_{3}}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx .}

بر اساس این قرارداد، تبدیل معکوس به صورت زیر می شود:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f_{3}}} (\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .}

برخلاف قراردادی که در این مقاله دنبال می‌شود، وقتی تبدیل فوریه به این شکل تعریف می‌شود، دیگر تبدیل واحدی در L 2 ( Rn ) نیست . همچنین تقارن کمتری بین فرمول های تبدیل فوریه و معکوس آن وجود دارد.

قرارداد دیگر تقسیم ضریب (2π) n به طور مساوی بین تبدیل فوریه و معکوس آن است که به تعاریف منجر می شود:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f_{2}}}(\omega )&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}} \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx,\\f(x)&={\frac {1}{(2 \pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f_{2}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .\end{تراز شده}}}

تحت این قرارداد، تبدیل فوریه دوباره یک تبدیل واحد در L 2 ( Rn ) است . همچنین تقارن بین تبدیل فوریه و معکوس آن را بازیابی می کند.

تغییرات هر سه قرارداد را می توان با مزدوج کردن هسته پیچیده-نمایی هر دو تبدیل رو به جلو و معکوس ایجاد کرد. نشانه ها باید متضاد باشند. به غیر از آن، انتخاب (دوباره) یک موضوع قراردادی است.