تبدیل گلفاند [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: نمایندگی گلفاند

تبدیل فوریه نیز مورد خاصی از تبدیل گلفاند است . در این زمینه خاص، ارتباط نزدیکی با نقشه دوگانگی Pontryagin تعریف شده در بالا دارد.

با توجه به یک گروه توپولوژیکی Hausdorff محلی فشرده آبلی G ، همانطور که قبلاً فضای L 1 ( G ) را در نظر گرفتیم که با استفاده از اندازه گیری هار تعریف شده است. با انحراف به عنوان ضرب، L 1 ( G ) یک جبر آبلی Banach است . همچنین دارای یک involution * داده شده توسط

{\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}

در نظر گرفتن تکمیل با توجه به بزرگ‌ترین هنجار C * -جبر احاطه‌ای آن را به دست می‌دهد که گروه C * -جبر C * ( G ) از G نامیده می‌شود . (هر C * -norm در L 1 ( G ) با هنجار L 1 محدود می شود، بنابراین برتری آنها وجود دارد.)

با توجه به هر آبلی C * -جبر A ، تبدیل Gelfand یک هم شکلی بین A و C 0 ( A ^) می دهد ، که در آن A ^ تابع های خطی ضربی است، یعنی نمایش های یک بعدی، روی A با توپولوژی ضعیف-*. نقشه به سادگی توسط

{\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}

معلوم می شود که تابع های خطی ضربی C *( G ) ، پس از شناسایی مناسب، دقیقاً کاراکترهای G هستند و تبدیل Gelfand، زمانی که به زیر مجموعه متراکم L 1 ( G ) محدود شود، تبدیل فوریه-پونتریاگین است.

گروه های فشرده غیر آبلی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه را می توان برای توابع روی یک گروه غیرآبلی نیز تعریف کرد، مشروط بر اینکه گروه فشرده باشد. با حذف این فرض که گروه زیربنایی آبلی است، بازنمایی های واحد غیرقابل تقلیل همیشه نباید تک بعدی باشند. این بدان معناست که تبدیل فوریه در یک گروه غیرآبلین مقادیری را به عنوان عملگرهای فضایی هیلبرت می گیرد. [46] تبدیل فوریه بر روی گروه‌های فشرده ابزار اصلی در تئوری بازنمایی [47] و تحلیل هارمونیک غیر تعویضی است .

اجازه دهید G یک گروه توپولوژیکی فشرده Hausdorff باشد . اجازه دهید Σ مجموعه ای از تمام طبقات هم ریختی از نمایش های واحد کاهش ناپذیر محدودبعدی را به همراه یک انتخاب معین از نمایش U ( σ ) در فضای هیلبرت H σ با بعد محدود d σ برای هر σ∈ Σ نشان دهد. اگر μ یک اندازه بورل محدود بر روی G باشد، آنگاه تبدیل فوریه-استیلتس از μ عملگر روی H σ است که توسط

{\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}} _{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}

که در آن U ( σ ) نمایش مختلط - مزدوج U ( σ ) است که روی H σ عمل می کند. اگر μ با توجه به اندازه گیری احتمال نامتغیر چپ λ روی G کاملاً پیوسته باشد ، به صورت

d\mu =f\,d\lambda

برای برخی از f ∈ L 1 ( λ ) ، تبدیل فوریه f را با تبدیل فوریه-Stieltjes از μ مشخص می کنیم.

نقشه برداری

\mu \mapsto {\hat {\mu }}

یک هم ریختی بین فضای باناخ M ( G ) از معیارهای بورل محدود (به فضای rca مراجعه کنید ) و یک زیرفضای بسته از فضای باناخ C ∞ (Σ) متشکل از تمام دنباله‌های E = ( E σ ) که با Σ از (محدود شده) نمایه شده‌اند را تعریف می‌کند. عملگرهای خطی E σ : H σ → H σ که برای آنها هنجار است

{\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}

محدود است " قضیه کانولوشن " بیان می کند که، علاوه بر این، این هم شکلی فضاهای Banach در واقع یک هم شکلی ایزومتریک از C*-جبرها در زیر فضای C∞ ( Σ ) است. ضرب بر روی M ( G ) با پیچیدگی معیارها و انطباق * تعریف می شود

{\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}

و C ∞ (Σ) دارای ساختار C * -جبر طبیعی به عنوان عملگرهای فضای هیلبرت است.

قضیه پیتر-ویل برقرار است و نسخه ای از فرمول وارونگی فوریه ( قضیه پلانچرل ) به شرح زیر است: اگر f ∈ L 2 ( G )

{\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{( \sigma )}\راست)}

که در آن جمع به عنوان همگرا در معنای L 2 درک می شود.

تعمیم تبدیل فوریه به وضعیت غیر جابجایی نیز تا حدی به توسعه هندسه غیرتبدیلی کمک کرده است . [ نیاز به منبع ] در این زمینه، یک تعمیم مقوله‌ای از تبدیل فوریه به گروه‌های غیرجابه‌جایی، دوگانگی Tannaka-Krein است که گروه شخصیت‌ها را با دسته بازنمایی‌ها جایگزین می‌کند. با این حال، این ارتباط با توابع هارمونیک را از دست می دهد.

گزینه های جایگزین [ ویرایش ]

در اصطلاح پردازش سیگنال ، تابع (زمان) نمایشی از یک سیگنال با وضوح زمانی کامل ، اما بدون اطلاعات فرکانس است، در حالی که تبدیل فوریه دارای وضوح فرکانس کامل است ، اما اطلاعات زمانی ندارد: بزرگی تبدیل فوریه در یک نقطه. مقدار فرکانس محتوای موجود است، اما مکان فقط با فاز داده می شود (برهان تبدیل فوریه در یک نقطه)، و امواج ایستاده در زمان محلی سازی نمی شوند - یک موج سینوسی تا بی نهایت ادامه می یابد، بدون فروپاشی. این امر سودمندی تبدیل فوریه را برای تجزیه و تحلیل سیگنال هایی که در زمان محلی شده اند، به ویژه گذرا ، یا هر سیگنالی با وسعت محدود، محدود می کند.

به عنوان جایگزینی برای تبدیل فوریه، در تحلیل زمان – فرکانس ، از تبدیل‌های زمان – فرکانس یا توزیع‌های زمان – فرکانس برای نمایش سیگنال‌ها به شکلی استفاده می‌شود که دارای مقداری اطلاعات زمانی و مقداری اطلاعات فرکانس باشد – بر اساس اصل عدم قطعیت، یک تجارت وجود دارد. خاموش بین اینها اینها می توانند تعمیم تبدیل فوریه باشند، مانند تبدیل فوریه کوتاه مدت یا تبدیل فوریه کسری ، یا سایر توابع برای نشان دادن سیگنال ها، مانند تبدیل موجک ها و تبدیل های موجک ، با آنالوگ موجک تبدیل فوریه (پیوسته) تبدیل موجک پیوسته . [20]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: چگالی طیفی § کاربردها

حل برخی از مسائل، مانند معادلات دیفرانسیل خاص، با اعمال تبدیل فوریه آسان تر می شود. در آن صورت راه حل مسئله اصلی با استفاده از تبدیل فوریه معکوس بازیابی می شود.

عملیات خطی انجام شده در یک دامنه (زمان یا فرکانس) دارای عملیات متناظر در حوزه دیگر است که گاهی اوقات انجام آنها آسانتر است. عملیات تمایز در حوزه زمان مربوط به ضرب در فرکانس است، [یادداشت 4] بنابراین تحلیل برخی معادلات دیفرانسیل در حوزه فرکانس آسان تر است. همچنین، پیچیدگی در حوزه زمان با ضرب معمولی در حوزه فرکانس مطابقت دارد (به قضیه کانولوشن مراجعه کنید ). پس از انجام عملیات مورد نظر، می توان نتیجه را به حوزه زمان برگرداند. تحلیل هارمونیکمطالعه سیستماتیک رابطه بین حوزه‌های فرکانس و زمان، از جمله انواع توابع یا عملیاتی است که در یکی یا دیگری «ساده‌تر» هستند و با بسیاری از حوزه‌های ریاضیات مدرن ارتباط عمیقی دارد.

تجزیه و تحلیل معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

شاید مهمترین کاربرد تبدیل فوریه حل معادلات دیفرانسیل جزئی باشد. بسیاری از معادلات فیزیک ریاضی قرن نوزدهم را می‌توان به این شکل بررسی کرد. فوریه معادله گرما را مطالعه کرد که در یک بعد و در واحدهای بدون بعد است

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}} .}

مثالی که خواهیم آورد، یک مثال کمی دشوارتر، معادله موج در یک بعد است.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\ جزئی ^{2}t}}.}

طبق معمول، مشکل یافتن راه حل نیست: تعداد بی نهایت زیاد است. مشکل به اصطلاح «مشکل مرزی» است: راه حلی پیدا کنید که «شرایط مرزی» را برآورده کند.

{\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}

در اینجا به f و g توابعی داده شده است. برای معادله گرما، تنها یک شرط مرزی می تواند مورد نیاز باشد (معمولا شرط اول). اما برای معادله موج، راه حل های بی نهایت زیادی y وجود دارد که شرط مرزی اول را برآورده می کند. اما وقتی کسی هر دو شرط را تحمیل می کند، تنها یک راه حل ممکن وجود دارد.

یافتن تبدیل فوریه ŷ از راه حل آسان تر از یافتن مستقیم راه حل است. این به این دلیل است که تبدیل فوریه با متغیر فوریه-دوگانه به ضرب متمایز می شود، و بنابراین یک معادله دیفرانسیل جزئی اعمال شده برای تابع اصلی به ضرب توسط توابع چند جمله ای از متغیرهای دوگانه اعمال شده برای تابع تبدیل شده تبدیل می شود. پس از تعیین ŷ ، می توانیم تبدیل فوریه معکوس را برای یافتن y اعمال کنیم .

روش فوریه به شرح زیر است. ابتدا توجه داشته باشید که هر عملکردی از فرم ها

{\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\mbox{ یا }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t ){\bigr )}}

معادله موج را برآورده می کند. به اینها راه حل های ابتدایی می گویند.

دوم، توجه داشته باشید که بنابراین هر انتگرال

{\displaystyle y(x,t)=\int _{0}^{\infty }a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr ) }+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (xt){\bigr )}+b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \ xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (xt)\راست)\,d\xi }

(برای دلخواه + , a − , b + , b − ) معادله موج را برآورده می کند. (این انتگرال فقط نوعی ترکیب خطی پیوسته است و معادله آن خطی است.)

اکنون این شبیه فرمول سنتز فوریه یک تابع است. در واقع، این تبدیل فوریه معکوس واقعی a ± و b ± در متغیر x است.

مرحله سوم بررسی چگونگی یافتن توابع ضریب مجهول خاص a ± و b ± است که منجر به ارضای y شرایط مرزی می شود. ما به مقادیر این راه حل ها در t = 0 علاقه مند هستیم . بنابراین t = 0 را تنظیم می کنیم . با فرض اینکه شرایط مورد نیاز برای وارونگی فوریه برآورده می شود، سپس می توانیم تبدیل های سینوس و کسینوس فوریه (در متغیر x ) هر دو طرف را پیدا کرده و به دست آوریم.

{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}

و

{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}

به طور مشابه، مشتق y را با توجه به t و سپس اعمال تبدیل های سینوس و کسینوس فوریه به دست می آوریم.

{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx= (2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}

و

{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx= (2\pi \xi )\ چپ (b_{+}-b_{-}\راست).}

اینها چهار معادله خطی برای چهار مجهول a ± و b ± هستند، برحسب تبدیل سینوس فوریه و کسینوس شرایط مرزی که به راحتی با جبر ابتدایی حل می شوند، مشروط بر اینکه بتوان این تبدیل ها را پیدا کرد.

به طور خلاصه، ما مجموعه ای از راه حل های ابتدایی را انتخاب کردیم که با ξ پارامتر شده بودند، که راه حل کلی آن یک ترکیب خطی (پیوسته) به شکل یک انتگرال بر روی پارامتر ξ است. اما این انتگرال به صورت انتگرال فوریه بود. مرحله بعدی بیان شرایط مرزی بر حسب این انتگرال ها و قرار دادن آنها با توابع داده شده f و g بود. اما این عبارات به دلیل خواص تبدیل فوریه یک مشتق، شکل انتگرال فوریه را نیز به خود گرفتند. آخرین مرحله استفاده از وارونگی فوریه با اعمال تبدیل فوریه در هر دو طرف بود، بنابراین عباراتی برای توابع ضریب a ± و b به دست آمد.± بر حسب شرایط مرزی داده شده f و g .

از دیدگاه بالاتر، رویه فوریه را می توان به صورت مفهومی تری دوباره فرمول بندی کرد. از آنجایی که دو متغیر وجود دارد، ما از تبدیل فوریه در هر دو x و t استفاده خواهیم کرد تا اینکه مانند فوریه عمل کنیم، که فقط در متغیرهای فضایی تبدیل شد. توجه داشته باشید که ŷ باید به معنای توزیع در نظر گرفته شود زیرا y ( x , t ) L 1 نخواهد بود.: به عنوان یک موج، در طول زمان باقی می ماند و بنابراین یک پدیده گذرا نیست. اما محدود خواهد شد و بنابراین تبدیل فوریه آن را می توان به عنوان یک توزیع تعریف کرد. خواص عملیاتی تبدیل فوریه که به این معادله مربوط می شود این است که در x به ضرب در 2π iξ و تمایز با توجه به t به ضرب در 2π در صورتی که f فرکانس باشد، تمایز می گیرد. سپس معادله موج به یک معادله جبری در ŷ تبدیل می شود :

\xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).

این معادل نیاز به ŷ ( ξ , f ) = 0 است مگر اینکه ξ = ± f . بلافاصله، این توضیح می‌دهد که چرا انتخاب راه‌حل‌های ابتدایی که قبلاً ساخته‌ایم خیلی خوب کار می‌کرد: بدیهی است که f̂ = δ ( ξ ± f ) راه‌حل‌ها خواهند بود. با اعمال وارونگی فوریه برای این توابع دلتا، راه‌حل‌های ابتدایی را که قبلاً انتخاب کردیم، به دست می‌آوریم. اما از نقطه نظر بالاتر، راه‌حل‌های ابتدایی انتخاب نمی‌شود، بلکه فضای همه توزیع‌هایی را که روی مخروطی (منحط) ξ 2 - f 2 = 0 پشتیبانی می‌شوند، در نظر می‌گیرد .

همچنین می‌توانیم توزیع‌های پشتیبانی شده در مخروطی را که توسط توزیع‌های یک متغیر در خط ξ = f به اضافه توزیع‌های روی خط ξ = - f به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند: اگر Φ هر تابع آزمایشی باشد،

{\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi + \int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}

که در آن s + و s − توزیع های یک متغیر هستند.

سپس وارونگی فوریه، برای شرایط مرزی، چیزی بسیار شبیه به آنچه در بالا داشتیم به دست می‌دهد ( ف ( ξ , f ) = e 2π i ( xξ + tf ) را قرار دهید ، که به وضوح رشد چند جمله‌ای است:

{\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi }

و

{\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\ bigr \}}2\pi i\xi e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi .}

اکنون، مانند قبل، با اعمال تبدیل فوریه یک متغیره در متغیر x به این توابع x ، دو معادله در دو توزیع مجهول s ± به دست می‌آید (که اگر شرایط مرزی L 1 یا L 2 باشد، می‌توان آنها را توابع معمولی در نظر گرفت. ).

از نقطه نظر محاسباتی، البته اشکال این است که ابتدا باید تبدیل فوریه شرایط مرزی را محاسبه کرد، سپس راه حل را از روی آنها جمع کرد و سپس تبدیل فوریه معکوس را محاسبه کرد. فرمول‌های بسته نادر هستند، به جز زمانی که برخی از تقارن هندسی وجود دارد که می‌توان از آن بهره‌برداری کرد، و محاسبات عددی به دلیل ماهیت نوسانی انتگرال‌ها، که هم‌گرایی را کند و تخمین آن را دشوار می‌کند، دشوار است. برای محاسبات عملی، اغلب از روش های دیگری استفاده می شود.

قرن بیستم شاهد گسترش این روش‌ها به تمام معادلات دیفرانسیل جزئی خطی با ضرایب چند جمله‌ای بوده است و با گسترش مفهوم تبدیل فوریه به عملگرهای انتگرال فوریه، برخی معادلات غیرخطی نیز می‌شود.

طیف سنجی تبدیل فوریه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طیف‌سنجی تبدیل فوریه

تبدیل فوریه همچنین در تشدید مغناطیسی هسته ای (NMR) و در انواع دیگر طیف سنجی ، به عنوان مثال مادون قرمز ( FTIR ) استفاده می شود. در NMR یک سیگنال واپاشی القایی آزاد با شکل نمایی (FID) در حوزه زمان به دست می‌آید و فوریه به شکل خطی لورنتسی در حوزه فرکانس تبدیل می‌شود. تبدیل فوریه همچنین در تصویربرداری رزونانس مغناطیسی (MRI) و طیف سنجی جرمی استفاده می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform