مسائل انتگرال کانتور

1
انتگرال کانتور زیر را ارزیابی کنید. منحنی است که مبدا را بهدر امتداد یک خط مستقیم
- $\int _{{\گاما }}(xy^{{2}}+2xyi){\mathrm {d}}z$
2
کانتور را پارامتر کنید. منحنی ما به خصوص ساده است:وبنابراین کانتور خود را به صورت زیر می نویسیم.
- $z(t)=t+it،\ \ 0\leq t\leq 1$
3
محاسبه دzدتی ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}t}}$ . نتایج ما را با انتگرال جایگزین کنید.
- ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}t}}=1+i$
- $\int _{{\گاما }}(xy^{{2}}+2xyi){\mathrm {d}}z=\int _{{0}}^{{1}}(t^{{3} }+i2t^{{2}})(1+i){\mathrm {d}}t$
4
ارزیابی کنید.
- ${\begin{تراز شده}\int _{{0}}^{{1}}(t^{{3}}+i2t^{{2}})(1+i){\mathrm {d}}t& =\int _{{0}}^{{1}}(t^{{3}}+i2t^{{2}}+it^{{3}}-2t^{{2}}){\ mathrm {d}}t\\&={\frac {1}{4}}+i\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)- {\frac {2}{3}}\\&=-{\frac {5}{12}}+{\frac {11}{12}}i\end{aligned}}$
5
همان انتگرال را ارزیابی کنید، اما کجاγ $\گاما$ منحنی است که مبدا را به $1+i$ در امتداد $y=x^{{3}}$ . پارامتر ما تغییر می کندو
- $z(t)=t+it^{{3}}$
- ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}t}}=(1+i3t^{{2}}){\mathrm {d}}t$
- ${\begin{aligned}\int _{{\gamma }}(xy^{{2}}+2xyi){\mathrm {d}}z&=\int _{{0}}^{{1}}( t^{{7}}+i2t^{{4}})(1+i3t^{{2}}){\mathrm {d}}t\\&=\int _{{0}}^{{ 1}}(t^{{7}}+i2t^{{4}}+i3t^{{9}}-6t^{{6}}){\mathrm {d}}t\\&={\ frac {1}{8}}+i\left({\frac {2}{5}}+{\frac {3}{10}}\right)-{\frac {6}{7}}\\ &=-{\frac {41}{56}}+{\frac {7}{10}}i\end{تراز شده}}$
- ما در اینجا نشان دادیم که برای توابع غیر تحلیلی مانند $f(z)=xy^{{2}}+2xyi,$ انتگرال کانتور به مسیر انتخاب شده بستگی دارد. ما می‌توانیم نشان دهیم که این تابع با بررسی اینکه آیا بخش‌های واقعی و خیالی معادلات کوشی-ریمان را برآورده می‌کنند، غیر تحلیلی است. مانند ${\frac {\partial u}{\partial x}}=y^{{2}}$ و ${\frac {\partial v}{\partial y}}=2x،$ این برای نشان دادن غیر تحلیلی بودن کافی است.

قسمت3

قضیه اساسی انتگرال های کانتور

1
تعمیم قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال. از آنجایی که به انتگرال های کانتور مربوط می شود، این قضیه برای محاسبه آسان مقدار انتگرال های کانتور تا زمانی که بتوانیم یک پاد مشتق پیدا کنیم استفاده می شود. اثبات این قضیه مشابه تمام قضیه های بنیادی دیگر برهان های حساب دیفرانسیل و انتگرال است، اما برای اختصار آن را در اینجا بیان نمی کنیم.
- تابع را فرض کنید $f(z)$ آنتی مشتق دارد $F(z)$ به طوری که ${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}F(z)=f(z)$ از طریق یک دامنه $د،$ و اجازه دهید $\گاما$ یک کانتور در $د،$ جایی که $z_{{0}}$ و $z_{{1}}$ نقطه شروع و پایان هستند $\گاما$ به ترتیب. سپس $\int _{{\gamma }}f(z){\mathrm {d}}z$ مستقل از مسیر برای همه مسیرهای پیوسته است $\گاما$ با طول محدود، و مقدار آن توسط $F(z_{{1}})-F(z_{{0}}).$
2
انتگرال زیر را با پارامترسازی مستقیم ارزیابی کنید. این نیم دایره در خلاف جهت عقربه های ساعت ازبه
- $\int _{{\gamma }}{\sqrt {z}}{\mathrm {d}}z$
3
پارامترسازی کنیدγ، $\گاما$ پیدا کردندzدتی، ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}t}}،$ و ارزیابی کنید.
- $z(t)=e^{{it}},-{\frac {\pi }{2}}\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$
- ${\frac {{\mathrm {d}}z}{{\mathrm {d}}t}}=ie^{{it}}$
- ${\begin{aligned}\int _{{\gamma }}{\sqrt {z}}{\mathrm {d}}z&=\int _{{-\pi /2}}^{{\pi /2 }}e^{{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log}e^{{it}}}}ie^{{it}}{\mathrm {d}}t\\&=i \int _{{-\pi /2}}^{{\pi /2}}e^{{{\frac {3}{2}}it}}{\mathrm {d}}t\\&= {\frac {2}{3}}e^{{{\frac {3}{2}}it}}{\Bigg |}_{{-\pi /2}}^{{\pi /2} }\\&={\frac {2}{3}}\left(e^{{{\frac {3\pi }{4}}i}}-e^{{-{\frac {3\pi }{4}}i}}\right)\\&={\frac {2}{3}}2i\sin {\frac {3\pi }{4}}\\&={\frac {2{ \sqrt {2}}}{3}}i\end{aligned}}$
4
همان انتگرال را با استفاده از قضیه اساسی انتگرال های کانتور ارزیابی کنید. با این حال، در این روش،در انتگرال یک مشکل ارائه می دهد. از آنجایی که ما می دانیموجود تابع لگاریتمی نشان‌دهنده یک برش شاخه است که نمی‌توانیم آن را ادغام کنیم. خوشبختانه، ما می توانیم برش شاخه خود را به گونه ای انتخاب کنیم که کانتور ما در دامنه ما به خوبی مشخص شود. شاخه اصلی لگاریتم، که در آن برش شاخه از اعداد حقیقی غیرمثبت تشکیل شده است، در این مورد کار می کند، زیرا کانتور ما به دور آن برش شاخه می رود. تا زمانی که تشخیص دهیم لگاریتم اصلی یک آرگومان تعریف شده داردبقیه مراحل محاسبات ساده هستند.
- ${\begin{aligned}\int _{{\gamma }}{\sqrt {z}}{\mathrm {d}}z&={\frac {2}{3}}z^{{3/2}} {\Bigg |}_{{-i}}^{{i}}\\&={\frac {2}{3}}\left(i^{{{\frac {3}{2}}} }-(-i)^{{{\frac {3}{2}}}}\right)\\&={\frac {2}{3}}\left(e^{{{\frac {3 {2}}\operatorname {Log}i}}-e^{{{\frac {3}{2}}\operatorname {Log}(-i)}}\right)\end{aligned}}$
- برای شاخه اصلی لگاریتم، می بینیم که $\operatorname {Log}i=i{\frac {\pi }{2}}$ و $\operatorname {Log}(-i)=-i{\frac {\pi }{2}}.$
- ${\begin{aligned}\int _{{\gamma }}{\sqrt {z}}{\mathrm {d}}z&={\frac {2}{3}}\left(e^{{{\ frac {3}{2}}i{\frac {\pi }{2}}}}-e^{{-{\frac {3}{2}}i{\frac {\pi }{2}} }}\right)\\&={\frac {2}{3}}\left(e^{{{\frac {3\pi }{4}}i}}-e^{{-{\frac {3\pi }{4}}i}}\right)\\&={\frac {2}{3}}2i\sin {\frac {3\pi }{4}}\\&={\ frac {2{\sqrt {2}}}{3}}i\end{aligned}}$