4-سیستم مختصات قطبی

مقاطع مخروطی [ ویرایش ]

یک بخش مخروطی با یک تمرکز روی قطب و دیگری در جایی روی پرتو 0 درجه (به طوری که محور اصلی مخروطی در امتداد محور قطبی قرار گیرد) به صورت زیر داده می شود:

$r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}$

جایی که e خروج از مرکز و $\ خوب$ رکتوم نیمه لتوس ( فاصله عمود بر کانون از محور اصلی تا منحنی) است. اگر e > 1 , این معادله هذلولی را تعریف می کند . اگر e = 1 باشد , سهمی را تعریف می کند . و اگر e < 1 , بیضی را تعریف می کند . مورد خاص e = 0 مورد دوم به دایره ای از شعاع منجر می شود $\ خوب$ .

تقاطع دو منحنی قطبی [ ویرایش ]

نمودارهای دو تابع قطبی $r=f(\تتا)$ و $r=g(\theta )$ دارای تقاطع های ممکن از سه نوع:

در مبدا، اگر معادلات $f (\ تتا) = 0$ و $g(\theta )=0$ هر کدام حداقل یک راه حل داشته باشند.
تمام نکات $[g(\theta _{i})،\theta _{i}]$ جایی که $\تتا _{i}$ راه حل های معادله هستند $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ جایی که $ک$ یک عدد صحیح است
تمام نکات $[g(\theta _{i})،\theta _{i}]$ جایی که $\تتا _{i}$ راه حل های معادله هستند $f(\تتا +(2k+1)\pi )=-g(\تتا)$ جایی که $ک$ یک عدد صحیح است

حساب دیفرانسیل و انتگرال [ ویرایش ]

حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان برای معادلات بیان شده در مختصات قطبی اعمال کرد. [16] [17]

مختصات زاویه ای φ در سراسر این بخش بر حسب رادیان بیان می شود، که انتخاب معمولی هنگام انجام حساب است.

حساب دیفرانسیل [ ویرایش ]

با استفاده از x = r cos φ و y = r sin φ ، می توان رابطه ای بین مشتقات در مختصات دکارتی و قطبی بدست آورد. برای یک تابع معین، u ( x , y )، نتیجه می شود که (با محاسبه مشتقات کل آن ) یا

${\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u }{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{ \frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\ cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{تراز شده}}$

بنابراین فرمول زیر را داریم:

${\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y} }\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}} .\end{تراز شده}}$

با استفاده از تبدیل مختصات معکوس، یک رابطه متقابل مشابه را می توان بین مشتقات به دست آورد. با توجه به تابع u ( r , φ )، نتیجه می شود که

${\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+ {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\ frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\جزئی y}}،\end{تراز شده}}$

یا

${\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt] &=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }} ,\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\ sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end {هم راستا}}$

بنابراین فرمول زیر را داریم:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\ sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r} }+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{تراز شده}}$

برای یافتن شیب دکارتی خط مماس به منحنی قطبی r ( φ ) در هر نقطه معین، منحنی ابتدا به صورت سیستمی از معادلات پارامتری بیان می‌شود .

${\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}$

متمایز کردن هر دو معادله با توجه به φ نتیجه می دهد

${\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\ frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}$

با تقسیم معادله دوم بر معادله اول، شیب دکارتی خط مماس به منحنی در نقطه ( r ( φ )، φ ) به دست می‌آید :

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.$

برای سایر فرمول های مفید از جمله واگرایی، گرادیان و لاپلاسین در مختصات قطبی، مختصات منحنی را ببینید .

+ نوشته شده در چهارشنبه هشتم تیر ۱۴۰۱ ساعت 20:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی