صفحه راهنمای ابهام زدایی

برای مقالات همنام، به لاگرانژی (ابهام‌زدایی) مراجعه کنید.

نظریه میدان لاگرانژی فرمالیسم نظریه میدان کلاسیک است . این آنالوگ نظریه میدان مکانیک لاگرانژی است . مکانیک لاگرانژی برای تجزیه و تحلیل حرکت سیستمی از ذرات گسسته استفاده می شود که هر کدام دارای تعداد محدودی درجه آزادی هستند. نظریه میدان لاگرانژی برای پیوسته ها و میدان هایی که دارای بی نهایت درجه آزادی هستند کاربرد دارد.

یکی از انگیزه‌های توسعه فرمالیسم میدان لاگرانژی، و به طور کلی‌تر نظریه کلاسیک میدان ، ارائه یک مبنای ریاضی مناسب برای نظریه میدان کوانتومی است ، که به‌طور بدنی با مشکلات رسمی مواجه است که آن را به عنوان یک نظریه ریاضی غیرقابل قبول می‌کند. لاگرانژی‌های ارائه‌شده در اینجا با معادل‌های کوانتومی خود یکسان هستند، اما با در نظر گرفتن میدان‌ها به‌عنوان میدان‌های کلاسیک، و نه به‌عنوان میدان‌های کوانتومی، می‌توان تعاریفی ارائه کرد و راه‌حل‌هایی با ویژگی‌های سازگار با رویکرد رسمی کلاسیک در ریاضیات معادلات دیفرانسیل جزئی به دست آورد.. این امر امکان فرموله کردن راه‌حل‌هایی را در فضاهایی با ویژگی‌های خوب مشخص می‌کند، مانند فضاهای Sobolev . این امکان ارائه قضایای مختلف را فراهم می کند، از اثبات وجود تا همگرایی یکنواخت سری های رسمی تا چارچوب های کلی نظریه بالقوه . علاوه بر این، شهود و وضوح با تعمیم به منیفولدهای ریمانی و بسته‌های فیبر به دست می‌آیند.، به ساختار هندسی اجازه می دهد تا به وضوح از معادلات حرکتی مربوطه تشخیص داده شود. یک دید واضح تر از ساختار هندسی، به نوبه خود، استفاده از قضایای بسیار انتزاعی هندسه را برای درک بهتر ممکن ساخته است، از قضیه Chern-Gauss-Bonnet و قضیه Riemann-Roch گرفته تا قضیه شاخص Atiyah-Singer و Chern . -نظریه سیمونز

پیش نمایش [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

در نظریه میدان، متغیر مستقل با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t )، یا به طور کلی با یک نقطه s در منیفولد ریمانی جایگزین می‌شود . متغیرهای وابسته با مقدار یک فیلد در آن نقطه از فضازمان جایگزین می شوند{\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}به طوری که معادلات حرکت با استفاده از یک اصل عمل به دست می آید که به صورت زیر نوشته می شود:

{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}

جایی که عمل{\mathcal {S}}، تابعی از متغیرهای وابسته است{\displaystyle \varphi _{i}(s)}، مشتقات آنها و خود s

{\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{ {\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm { d} ^{n}s}}

جایی که پرانتز نشان می دهد{\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}} ; و s = { s α } مجموعه ای از n متغیر مستقل سیستم، از جمله متغیر زمان را نشان می دهد و با α = 1، 2، 3،…، n نمایه می شود . تایپوگرافی خوشنویسی،\mathcal{L}، برای نشان دادن چگالی و استفاده می شود{\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}شکل حجم تابع میدان است، یعنی اندازه گیری دامنه تابع میدان.

در فرمول‌بندی‌های ریاضی، بیان لاگرانژ به‌عنوان تابعی روی یک بسته معمولی است ، که در آن معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان به‌عنوان مشخص‌کننده ژئودزیک‌های روی بسته تفسیر کرد. کتاب درسی آبراهام و مارسدن 1 اولین توصیف جامع مکانیک کلاسیک را بر حسب ایده‌های هندسی مدرن، یعنی از نظر منیفولدهای مماس ، منیفولدهای سمپلتیک و هندسه تماس ارائه کرد. کتاب راهنمای بلیکر 2ارائه جامعی از نظریه های میدانی در فیزیک بر حسب بسته های ثابت سنج ارائه شده است. چنین فرمولاسیون هایی برای مدت طولانی شناخته شده یا مشکوک بوده اند. Jost 3 با ارائه هندسی ادامه می‌دهد، رابطه بین فرم‌های همیلتونی و لاگرانژی را روشن می‌کند، ساختارهای اسپینور را از اصول اولیه توصیف می‌کند و غیره. تحقیقات فعلی بر ساختارهای غیر صلب متمرکز است (که گاهی اوقات "ساختارهای کوانتومی" نامیده می شود) که در آن فضاهای برداری را با جبرهای تانسوری جایگزین می کنیم . انگیزه این تحقیق درک پیشگامانه گروه های کوانتومی استجبرهای Lie affine  ( گروه‌های Lie به یک معنا «سفت» هستند، زیرا توسط جبر Lie خود تعیین می‌شوند. وقتی دوباره بر روی جبر تانسوری فرم‌بندی می‌شوند، «نرم» می‌شوند و درجات آزادی بی‌نهایت دارند؛ برای مثال جبر Virasoro را ببینید. ).

منبع

https://fr.wikipedia.org/wiki/Lagrangien_(th%C3%A9orie_des_champs)