3-در مورد عبارات معادل برای قانون القای فارادی

3. اثبات معادله. (3) و معادله (4)

ما شروع به یادآوری می کنیم که در نظریه ماکسول می دانیم که میدان های E و B از پتانسیل ها مشتق شده اند، به عنوان مثال ،

کجا پتانسیل اسکالر و پتانسیل برداری (مغناطیسی) است. اگر معادله (26) در نظر گرفته می شود که می توانیم بلافاصله معادله را استخراج کنیم. (3). تنها چیزی که نیاز داریم این است که از نتایج بدست آمده در بخش 2 استفاده کنیم و X= A را در نظر بگیریم. در واقع، خط اول معادله. (23) سپس می شود

برای به دست آوردن معادله (4) به یاد می آوریم که از خط دوم معادله. (23) می توانیم بنویسیم (با استفاده از قضیه استوکس)

مقایسه عضو دوم معادله (27) و معادله (28) معادله را بدست می آوریم. (4 ) یعنی

از جایی که شکل دیفرانسیل قانون فارادی به دست می آید.

نکته 2 ما این بخش را با یادآوری این نکته به پایان می بریم که در دنیای فیزیکی مدارهای واقعی رشته ای نیستند و بدتر از آن با منحنی های بسته هموار توصیف نمی شوند. با این حال، اگر منحنی بسته که یک مدار رشته‌ای را نشان می‌دهد از تعداد محدودی از بخش‌ها ساخته شده باشد که هموار هستند، می‌توانیم فرمول‌های بالا را با انتگرال‌هایی به معنای انتگرال‌های Lebesgue اعمال کنیم.

4. نتیجه گیری

اخیرا مقاله ای [17] با عنوان "قانون فارادی از طریق پتانسیل بردار مغناطیسی"، در Ref. [18] و در رف. [19]. بنابراین، نویسنده ر. [17]، ادعا می کند که یک مشتق "جایگزین" برای قانون فارادی برای مدار رشته ای ارائه کرده است که با سرعت دلخواه در حال حرکت است و شکل خود را تغییر می دهد و مستقیماً از پتانسیل برداری A به جای میدان مغناطیسی B و میدان الکتریکی استفاده می کند. E (که تقریباً در تمام کتابهای درسی ارائه شده است).

اکنون، Ref. [18] به درستی تشخیص داد که مشتق در Ref. [17] اشتباه است، و آن نویسنده با آن در Ref. [19]. در اینجا می‌خواهیم به یاد بیاوریم که ارائه‌ای از قانون فارادی بر حسب پتانسیل بردار مغناطیسی A قبلاً در رساله ماکسول [20] با استفاده از فرمول‌های بزرگ شامل اجزای میدان‌های برداری درگیر ظاهر شده است. همچنین به یاد می آوریم که بیش از 30 سال پیش گامو فرمولی از قانون فارادی بر حسب A با استفاده از محاسبات بردار مدرن ارائه کرده است [21]. در مقاله گامو (که در مراجع [17-19] نقل نشده است) معادلات. (8c) برای حالت خاصی که در آن X = A (پتانسیل برداری) و B = V x A (میدان مغناطیسی) ظاهر می شود، به عنوان مثال،

بنابراین، معادله (30) نیز در Ref. [17] (آنجا معادله (9) است). اما در پاورقی 3 از [17] آمده است که معادله (30) معادل جایی است که عبارت گم شده است. این خطایی است که توسط نویسندگان [18] مشاهده شده است که اثبات معادله را نیز ارائه کرده اند. (8b)، که البته از نظر ریاضی چندان رضایت بخش نیست، این یکی از دلایلی است که ما تصمیم گرفتیم این یادداشت را بنویسیم و یک اشتقاق صحیح از قانون فارادی بر حسب A و رابطه آن با فرمول هلمهولتز را ارائه کنیم. دلیل دیگر این است که هنوز افرادی هستند (مثلاًمرجع. [22]) که نمی فهمند که معادله. (3) و معادله (4) معادل وام داده شده اند و فکر می کنند که معادله. (3) بیانگر شکل معادلات ماکسول است که توسط هرتز ارائه شده است، چیزی که ما از مدتها قبل می دانیم که اشتباه است [23].

ما همچنین می‌خواهیم مشاهده کنیم که اثبات جکسون از قانون فارادی با استفاده از «عدم تغییر گالیله» فقط برای مدار رشته‌ای که بدون تغییر شکل با سرعت ثابت حرکت می‌کند معتبر است. اثباتی که ارائه کردیم در نسبیت خاص کلی و معتبر است، زیرا بر اساس اتحاد های ریاضی قابل اعتماد و در قانون نیروی لورنتس اعمال شده در چارچوب آزمایشگاهی با حرکت و تغییر شکل مدار رشته ای به خوبی توصیف شده است.

اثبات اتحاد در معادله (19)

ما از معادله می دانیم. (16) که