ریاضیات

2. برخی از اتحاد هایی که شامل انتگرال فضا های برداری دیفرانسیل پذیر هستند

فرض کنید یک ناحیه محدب و به همبند ساده (باز)، , (t, x) X (t, x ) یک میدان برداری دیفرانسیل پذیر عمومی باشد و یک میدان برداری با سرعت متمایز جریان سیال باشد . خط انتگرال 4 4 همچنین خط جریان نامیده می شود. از v عبور از یک x معین ∈ R3 یک منحنی هموار است که در t = 0 در x است (یعنی σ x (0) = x ) و به گونه ای که بردار مماس آن در σ(t, x ) است.

به علاوه اجازه دهید . ما σ t را قانون فارادی می نامیم، یعنی در نقشه جریان سیال. فرض کنید J = (0,1) Є و یک حلقه بسته باشد که با حلقه منتقل شده توسط جریان پارامتر شده و نشان داده شود (نگاه کنید بهشکل 1 ). سپس

به وضوح پارامتری از . ما این پیشنهاد را داریم:

قضیه

جایی که

به اصطلاح مشتق مادی است 5 5 توجه داشته باشید که مشتق مادی مشتقی است که در طول مسیر σ t با بردار مماس گرفته شده است. این اغلب در مکانیک سیالات استفاده می شود، جایی که سرعت کل زمان تغییر یک کمیت معین را که توسط یک ذره سیال در حال حرکت روی σx مشاهده می شود، توصیف می کند. در مورد حاضر به نظر می رسد زیرا در انتگرال ما به مقادیر X برای هر t در تمام نقاط از نیاز داریم. و

عنصر خط مماس است 6 6 توجه کنید که dl یک تابع صریح از مختصات دکارتی (x,y,z) نیست. در σ(t، x(l)).

اثبات ما میتوانیم بنویسیم

حال با در نظر گرفتن اینکه برای هر x(l) داریم

از این رو، اولین عبارت در سمت راست معادله. (11) را می توان به صورت نوشتاری کرد

همچنین نوشتن می بینیم که آخرین جمله در معادله. (11) را می توان به صورت نوشتاری کرد

اکنون به یاد می آوریم که برای فیلدهای بردار متمایز دلخواه، آن را حفظ می کند

تنظیم a = d l و b = v و توجه به این که دلالت بر آن دارد

ما همچنین باید اتحاد شناخته شده را به یاد بیاوریم

که دلالت بر تنظیم a= X، b = d l و c = (∇ x v ) دارد، که

و همچنین اتحاد نه چندان شناخته شده 7 7 برای اثبات این اتحاد به پیوست مراجعه کنید.

برای نوشتن آن

در نهایت با استفاده از معادله (13) و معادله (20) اثبات معادله را کامل می کند. (8a) و معادله (8b). همچنین، از معادله (8b) اگر معادله را به خاطر بیاوریم نتیجه می شود. (15) که

از آنجا اثبات معادله (8c) بلافاصله دنبال می شود.

نتیجه‌ای که در مکانیک سیالات به عنوان قضیه گردش کلوین شناخته می‌شود (به عنوان مثال رجوع کنید به موارد [8، 9]).

اکنون،

که در آن، اگر S یک سطح هموار است به طوری که ، سپس . همچنین n فیلد بردار معمولی St.

سپس با استفاده از معادله (8c) می توانیم بنویسیم

همچنین با نشان دادن Y: = ∇x X می توانیم بنویسیم

با وجود معادله (24)، برای یک میدان برداری دیفرانسیل پذیر کلی به گونه ای که داریم

به اصطلاح اتحاد هلمهولتز [10]. توجه داشته باشید که اتحاد در [11] نیز ذکر شده است. اثبات اتحاد هلمهولتز را می توان با استفاده از آرگومان هایی مشابه آنچه در اثبات معادله استفاده می شود به دست آورد. (8a). برخی از کتب درسی به نقل از اتحاد هلمهولتز [12-16] است. با این حال، ما تأکید می کنیم که اثبات قانون القایء فارادی که در تمام کتاب های درسی ذکر شده ارائه شده است، همیشه برای موقعیت های بسیار خاص است و قطعاً از نظر ریاضی رضایت بخش نیست.

اکنون می خواهیم از نتایج فوق برای اثبات معادله استفاده کنیم. (3) و معادله (4).