معادله پواسون – بولتزمن

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

معادله پواسون-بولتزمن یک معادله مفید در بسیاری از تنظیمات است، خواه برای درک رابط های فیزیولوژیکی ، علم پلیمر ، برهمکنش های الکترون در یک نیمه هادی یا موارد دیگر باشد. هدف آن توصیف توزیع پتانسیل الکتریکی در محلول در جهت عادی به سطح باردار است. این توزیع برای تعیین اینکه چگونه برهمکنش های الکترواستاتیکی روی مولکول های محلول تأثیر می گذارد، مهم است. معادله پواسون-بولتزمن از طریق فرضیات میدان میانگین به دست می‌آید. [1] [2] از معادله پواسون-بولتزمن بسیاری از معادلات دیگر با تعدادی از مفروضات مختلف به دست آمده اند.

فهرست

ریشه ها [ ویرایش ]

پیشینه و اشتقاق [ ویرایش ]

معادله پواسون-بولتزمن مدلی را توصیف می‌کند که به‌ترتیب در سال‌های 1910 و 1913 توسط لویی ژرژ گوی و دیوید لئونارد چپمن به‌طور مستقل پیشنهاد شد. [3] در مدل Gouy-Chapman ، یک جامد باردار با یک محلول یونی تماس پیدا می‌کند و لایه‌ای از بارهای سطحی و یون‌های متضاد یا دو لایه ایجاد می‌کند. [4] به دلیل حرکت حرارتی یون‌ها، لایه ضد یون‌ها یک لایه منتشر است و از یک لایه مولکولی منفرد گسترده‌تر است، همانطور که قبلاً توسط هرمان هلمهولتز در مدل هلمهولتز پیشنهاد شده بود. [3] مدل لایه استرن یک گام فراتر می رود و اندازه یون محدود را در نظر می گیرد.

تئوری	ویژگی های مهم	مفروضات
هلمهولتز	بار سطحی که توسط یک لایه مولکولی از یون های ضد خنثی می شود. پتانسیل بار سطحی به صورت خطی از سطح به یون های متضاد پراکنده می شود تا بار را برآورده کند [5]	حرکت حرارتی، انتشار یون، جذب روی سطح، فعل و انفعالات حلال / سطح ناچیز در نظر گرفته شده است [5]
گوی چپمن	حرکت حرارتی یونها به حساب. یونها مانند بارهای نقطه ای عمل می کنند [6]	اندازه یون محدود نادیده گرفته شد. سطح یکنواخت شارژ شده؛ تعاملات غیر کولمبی نادیده گرفته شد [6]
استرن	اندازه یون محدود و کره هیدراتاسیون در نظر گرفته شده است. برخی از یون ها به طور خاص توسط سطح در صفحه جذب می شوند که به عنوان لایه استرن [7] شناخته می شود.	لایه استرن در مقایسه با اندازه ذرات نازک است. سرعت سیال = 0 در لایه استرن [7]

مدل Gouy-Chapman ویژگی‌های خازنی مانند لایه دوگانه الکتریکی را توضیح می‌دهد. [4] یک مورد ساده مسطح با سطح بار منفی در شکل زیر مشاهده می شود. همانطور که انتظار می رود، غلظت یون های ضد در نزدیکی سطح بیشتر از محلول توده است.

یک مورد مسطح ساده برای مدل گوی-چپمن

معادله پواسون - بولتزمن پتانسیل الکتروشیمیایی یون‌ها را در لایه منتشر توصیف می‌کند. توزیع پتانسیل سه بعدی را می توان با معادله پواسون توصیف کرد [4]

{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{ \partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _ {r}\varepsilon _{0}}}،}

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{ \partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _ {r}\varepsilon _{0}}}،$ جایی که

{\displaystyle \rho _{e}} $\rho _{e}$ چگالی بار الکتریکی محلی در C/m 3 است،
{\displaystyle \varepsilon _{r}} $\varepsilon _{r}$ ثابت دی الکتریک ( گذردهی نسبی ) حلال است،
{\displaystyle \varepsilon _{0}} $\varepsilon _{0}$ گذراندن فضای آزاد است،
ψ پتانسیل الکتریکی است .

آزادی حرکت یون ها در محلول را می توان با آمار بولتزمن به حساب آورد. از معادله بولتزمن برای محاسبه چگالی یون محلی استفاده می شود به طوری که

{\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}،}

$c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}،$ جایی که

{\displaystyle c_{i}^{0}} $c_{i}^{0}$ غلظت یون در توده است، [8]
{\displaystyle W_{i}} $W_{i}$ کار مورد نیاز برای حرکت یک یون به سطح از فاصله بی نهایت دور است،
{\displaystyle k_{\mathrm {B} }} $k_{\mathrm {B} }$ ثابت بولتزمن است ،
{\displaystyle T} $تی$ دما بر حسب کلوین است.

معادله چگالی یون محلی را می توان با این فرض که کار انجام شده فقط کار الکتریکی است، که محلول ما از یک نمک 1:1 (مثلا NaCl) تشکیل شده است، و غلظت نمک تشکیل شده است، جایگزین معادله پواسون کرد. بسیار بیشتر از غلظت یونها [4] کار الکتریکی برای آوردن یک کاتیون باردار یا آنیون باردار به سطحی با پتانسیل ψ را می توان با{\displaystyle W^{+}=e\psi } $W^{+}=e\psi$ و{\displaystyle W^{-}=-e\psi } $W^{-}=-e\psi$ به ترتیب. [4] این معادلات کاری را می توان با معادله بولتزمن جایگزین کرد و دو عبارت تولید کرد.

{\displaystyle c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}

$c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}$ و{\displaystyle c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}} $c^{+}=c_{0}\cdot e^{{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$ ، جایی که e بار یک الکترون است، 10 × 1.602-19 کولن.

با جایگزینی این روابط بولتزمن به بیان چگالی بار الکتریکی محلی، عبارت زیر را می توان به دست آورد

{\displaystyle \rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x, y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].}

$\rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x, y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].$

در نهایت، چگالی بار را می توان با معادله پواسون جایگزین کرد تا معادله پواسون-بولتزمن تولید شود. [4]

نظریه های مرتبط [ ویرایش ]

معادله پواسون - بولتزمن می تواند در زمینه های مختلف علمی اشکال مختلفی داشته باشد. در بیوفیزیک و برخی کاربردهای شیمی سطح، به سادگی به عنوان معادله پواسون-بولتزمن شناخته می شود. [9] همچنین در الکتروشیمی به عنوان نظریه Gouy-Chapman شناخته می شود. در شیمی محلول به عنوان نظریه Debye-Huckel . در شیمی کلوئید به عنوان نظریه Derjaguin–Landau–Verwey–Overbeek (DLVO) . [9] فقط تغییرات جزئی برای اعمال معادله پواسون-بولتزمن در مدل‌های سطحی مختلف لازم است، که آن را به ابزاری بسیار مفید در تعیین پتانسیل الکترواستاتیک در سطوح تبدیل می‌کند. [4]

حل تحلیلی [ ویرایش ]

از آنجایی که معادله پواسون-بولتزمن یک دیفرانسیل جزئی از مرتبه دوم است، معمولاً به صورت عددی حل می شود . با این حال، با هندسه های خاص، می توان آن را به صورت تحلیلی حل کرد.

هندسه [ ویرایش ]

هندسه ای که به راحتی این امر را تسهیل می کند یک سطح مسطح است. در مورد یک سطح مسطح بی نهایت گسترده، دو بعد وجود دارد که در آنها پتانسیل به دلیل تقارن نمی تواند تغییر کند. با فرض اینکه این ابعاد ابعاد y و z باشند، فقط بعد x باقی می ماند. در زیر معادله پواسون-بولتزمن است که به صورت تحلیلی بر حسب مشتق مرتبه دوم نسبت به x حل شده است. [4]

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[ e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B}}T }}\درست]}

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[ e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B}}T }}\درست]$

راه حل های تحلیلی نیز برای موارد محوری و کروی در یک مطالعه خاص یافت شده است. [10] معادله به صورت لگاریتم سری توانی و به صورت زیر است:

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{ \psi }-\delta e^{-\psi }}

${\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{ \psi }-\delta e^{-\psi }$

از پتانسیل بی بعدی استفاده می کند{\displaystyle \psi ={\frac {e\Phi }{kT}}} $\psi ={\frac {e\Phi }{kT}}$ و طول ها بر حسب واحد شعاع الکترونی دبای در ناحیه پتانسیل صفر اندازه گیری می شوند{\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}} $R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}$ (جایی که{\displaystyle n_{e0}} $n_{{e0}}$ نشان دهنده چگالی تعداد یون های منفی در ناحیه پتانسیل صفر است). برای حالت کروی، L=2، مورد محوری، L=1، و حالت مسطح، L=0.

موارد کم پتانسیل در مقابل موارد با پتانسیل بالا [ ویرایش ]

هنگام استفاده از معادله پواسون-بولتزمن، تعیین اینکه آیا مورد خاص پتانسیل کم یا زیاد است، مهم است . مورد پتانسیل بالا پیچیده تر می شود، بنابراین در صورت امکان، از معادله پتانسیل پایین استفاده کنید. در شرایط کم پتانسیل، نسخه خطی معادله پواسون-بولتزمن (نشان داده شده در زیر) معتبر است، و معمولاً از آنجایی که ساده تر است و طیف گسترده ای از موارد را در بر می گیرد، استفاده می شود. [11] {\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}} $\psi =\psi _{0}e^{{-\mathrm{K} x}}$

شرایط با پتانسیل پایین [ ویرایش ]

به طور دقیق، پتانسیل پایین به این معنی است{\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T} $e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T$ ; با این حال، نتایج حاصل از معادلات برای طیف وسیع تری از پتانسیل ها، از 50 تا 80 میلی ولت معتبر است. [4] با این وجود، در دمای اتاق،{\displaystyle \psi \leq \mathrm {25mV} } $\psi \leq \mathrm {25mV}$ و این به طور کلی استاندارد است. [4] برخی از شرایط مرزی که در موارد با پتانسیل کم اعمال می‌شوند عبارتند از: در سطح، پتانسیل باید برابر با پتانسیل سطح باشد و در فواصل زیاد از سطح پتانسیل به مقدار صفر نزدیک شود. این طول فروپاشی فاصله با طول Debye حاصل می شود {\displaystyle \lambda _{D}} $\lambda _{D}$ معادله [4]

{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}

$\mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}$

{\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}

$\lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}$

با افزایش غلظت نمک، طول Debye به دلیل یون های موجود در محلول که بار سطحی را غربال می کنند کاهش می یابد. [12] یک نمونه خاص از این معادله برای مورد است{\displaystyle 25^{\circ }C} $25^{\circ }C$ آب با نمک تک ظرفیتی [4] معادله طول دبای به این صورت است:

{\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}\mathrm {\frac {L}{mol}} }}}}

$\lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}\mathrm {\frac {L}{mol}} }}}$

این معادلات همگی به موارد غلظت نمک 1:1 نیاز دارند، اما در صورت وجود یون هایی که ظرفیت بالاتری دارند، از حالت زیر استفاده می شود. [4]

{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{ Z_{i}}^{2}}}}

$\mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{ Z_{i}}^{2}}}$

مورد با پتانسیل بالا [ ویرایش ]

مورد با پتانسیل بالا به عنوان "مورد یک بعدی کامل" نامیده می شود. برای به دست آوردن معادله، از جواب کلی معادله پواسون-بولتزمن استفاده می شود و مورد پتانسیل پایین حذف می شود. معادله با یک پارامتر بدون بعد حل می شود{\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}} $y\ equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}$ ، که نباید با نماد مختصات فضایی، y اشتباه گرفته شود. [4] با استفاده از چندین هویت مثلثاتی و شرایط مرزی که در فواصل زیاد از سطح، پتانسیل بی‌بعد و مشتق آن صفر است، معادله پتانسیل بالا آشکار می‌شود. [4]

{\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{ y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}

$e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{ y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}$

این معادله برای{\displaystyle e^{y/2}} $e^{{y/2}}$ در زیر نشان داده شده است.

{\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm { K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}}

$e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm { K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}$

برای به دست آوردن یک معادله مفیدتر که نمودار توزیع‌های پتانسیل بالا را تسهیل می‌کند، لگاریتم طبیعی هر دو طرف را بگیرید و پتانسیل بدون بعد y را حل کنید.

{\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x }}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}}

$y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x }}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}$

با دانستن اینکه{\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}} $y\ equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}$ ، در معادله قبلی این را جایگزین y کنید و آن را حل کنید{\displaystyle \psi } $\psi$ . معادله زیر ارائه شده است.

{\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}*\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2 }-1)*e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{- \mathrm {K} x}}}}

$\psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}*\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2 }-1)*e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{- \mathrm {K} x}}}$

{\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}

$y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}$

شرایط [ ویرایش ]

در موارد با پتانسیل کم، معادله با پتانسیل بالا ممکن است استفاده شود و همچنان نتایج دقیقی به همراه خواهد داشت. با افزایش پتانسیل، حالت خطی با پتانسیل پایین، پتانسیل را به عنوان تابعی از فاصله از سطح بیش از حد برآورد می کند. این تخمین بیش از حد در فواصل کمتر از نصف طول Debye قابل مشاهده است، جایی که فروپاشی تندتر از فروپاشی نمایی است. شکل زیر از معادله خطی شده و معادله نموداری با پتانسیل بالا استفاده می کند. این یک نمودار پتانسیل در مقابل فاصله برای پتانسیل های سطحی مختلف 50، 100، 150 و 200 میلی ولت است. معادلات به کار رفته در این شکل محلول 80 میلی مولار NaCl را فرض می کنند.

پتانسیل در مقابل فاصله برای پتانسیل های سطحی مختلف 50، 100، 150 و 200 میلی ولت. معادلات به کار رفته در این شکل محلول 80 میلی مولار NaCl را فرض می کنند.

برنامه های عمومی [ ویرایش ]

معادله پواسون - بولتزمن را می توان در زمینه های مختلفی به کار برد که عمدتاً به عنوان یک ابزار مدل سازی برای ایجاد تقریب برای کاربردهایی مانند برهمکنش های بیومولکولی باردار، دینامیک الکترون ها در نیمه هادی ها یا پلاسما و غیره استفاده می شود. بیشتر کاربردهای این معادله به عنوان مدل برای به دست آوردن استفاده می شود. بینش بیشتر در مورد الکترواستاتیک

کاربردهای فیزیولوژیکی [ ویرایش ]

معادله پواسون - بولتزمن را می توان برای سیستم های بیومولکولی اعمال کرد. یک مثال اتصال الکترولیت ها به بیومولکول های موجود در محلول است. این فرآیند به میدان الکترواستاتیک تولید شده توسط مولکول، پتانسیل الکترواستاتیک روی سطح مولکول و همچنین انرژی آزاد الکترواستاتیکی بستگی دارد. [13]

معادله خطی شده پواسون-بولتزمن را می توان برای محاسبه پتانسیل الکترواستاتیک و انرژی آزاد مولکول های بسیار باردار مانند tRNA در یک محلول یونی با تعداد یون های محدود متفاوت در قدرت های یونی فیزیولوژیکی متفاوت استفاده کرد. نشان داده شده است که پتانسیل الکترواستاتیک به بار مولکول بستگی دارد، در حالی که انرژی آزاد الکترواستاتیک، بار خالص سیستم را در نظر می گیرد. [14]

مثال دیگری از استفاده از معادله پواسون - بولتزمن، تعیین نیمرخ پتانسیل الکتریکی در نقاط عمود بر لایه دوگانه فسفولیپیدی یک گلبول قرمز است. این هر دو لایه گلیکوکالیکس و اسپکترین غشای گلبول قرمز را در نظر می گیرد. این اطلاعات به دلایل زیادی از جمله مطالعه پایداری مکانیکی غشای گلبول قرمز مفید است. [15]

انرژی آزاد الکترواستاتیک [ ویرایش ]

معادله پواسون - بولتزمن همچنین می تواند برای محاسبه انرژی آزاد الکترواستاتیکی برای شارژ فرضی یک کره با استفاده از انتگرال شارژ زیر استفاده شود:

{\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '}

$\Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '$ جایی که{\displaystyle \tau q} $\ tau q$ شارژ نهایی کره است

انرژی آزاد الکترواستاتیکی را نیز می توان با گرفتن فرآیند سیستم شارژ بیان کرد. عبارت زیر از پتانسیل شیمیایی مولکول های املاح استفاده می کند و معادله پواسون-بولتزمن را با تابع اویلر-لاگرانژ اجرا می کند:

{\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left( {\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2 }}{8\pi }}\right)dV}

$\Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left( {\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2 }}{8\pi }}\right)dV$

توجه داشته باشید که انرژی آزاد مستقل از مسیر شارژ [5c] است.

عبارت فوق را می توان بر اساس مشارکت های مختلف در کل انرژی آزاد در اصطلاحات انرژی آزاد جداگانه بازنویسی کرد

$\Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}} +\Delta G^{\text{solv}}$ جایی که

بارهای ثابت الکترواستاتیک = $\Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV$
شارژ موبایل الکترواستاتیک = $\Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV$
انرژی آزاد آنتروپیک اختلاط گونه های متحرک = $\Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV$
انرژی آزاد آنتروپیک اختلاط حلال = $\Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV$

در نهایت، با ترکیب سه جمله آخر، معادله زیر نشان دهنده سهم فضای بیرونی در انتگرال چگالی انرژی آزاد است.

$\Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}$

این معادلات می توانند به عنوان مدل های هندسی ساده برای سیستم های بیولوژیکی مانند پروتئین ها ، اسیدهای نوکلئیک و غشاها عمل کنند. [13] این شامل حل معادلات با شرایط مرزی ساده مانند پتانسیل سطح ثابت است. این تقریب ها در زمینه هایی مانند شیمی کلوئید مفید هستند . [13]

علم مواد [ ویرایش ]

یک راه حل تحلیلی برای معادله پواسون - بولتزمن می تواند برای توصیف برهمکنش الکترون-الکترون در یک نیمه هادی عایق فلزی (MIS) استفاده شود. [16] این می تواند برای توصیف وابستگی زمان و موقعیت سیستم های اتلاف کننده مانند سیستم مزوسکوپی استفاده شود. این با حل معادله پواسون-بولتزمن به صورت تحلیلی در حالت سه بعدی انجام می شود. حل این منجر به عباراتی از تابع توزیع برای معادله بولتزمن و پتانسیل میانگین خودسازگار برای معادله پواسون می شود.. این عبارات برای تجزیه و تحلیل انتقال کوانتومی در یک سیستم مزوسکوپی مفید هستند. در اتصالات تونل زنی نیمه هادی فلز-عایق، الکترون ها می توانند نزدیک سطح مشترک بین لایه ها جمع شوند و در نتیجه انتقال کوانتومی سیستم تحت تأثیر برهمکنش های الکترون-الکترون قرار می گیرد. [16] برخی از خواص انتقال مانند جریان الکتریکی و چگالی الکترونیکی را می توان با حل پتانسیل میانگین کولمبی خودسازگار از برهمکنش های الکترون-الکترون، که مربوط به توزیع الکترونیکی است، شناخت. بنابراین، حل تحلیلی معادله پواسون - بولتزمن برای به دست آوردن مقادیر تحلیلی در اتصالات تونل زنی MIS ضروری است. [16] با استفاده از حل تحلیلی زیر معادله پواسون-بولتزمن (نگاه کنید به بخش 2) برای اتصالات تونل زنی MIS، عبارت زیر را می توان برای بیان مقادیر انتقال الکترونیکی مانند چگالی الکترونیکی و جریان الکتریکی تشکیل داد.

$f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\ جزئی v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e }{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [rv(tt')]\times {\frac {\partial f_{0 }}{\partial v}}dt'$

با اعمال معادله بالا برای اتصال تونل MIS، حمل و نقل الکترونیکی را می توان در امتداد محور z، که عمود بر صفحه لایه ها ارجاع می دهد، تجزیه و تحلیل کرد. یک اتصال نوع n در این مورد با بایاس V اعمال شده در امتداد محور z انتخاب می شود. پتانسیل میانگین خودسازگار سیستم را می توان با استفاده از آن یافت

$\rho \rho _{1}+\rho _{2}$

جایی که

$\rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}$ و
$\rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0 }}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{ 1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)$

λ طول Debye نامیده می شود .

چگالی الکترونیکی و جریان الکتریکی را می توان با دستکاری در رابطه 16 در بالا به عنوان تابعی از موقعیت z یافت. این مقادیر حمل و نقل الکترونیکی را می توان برای کمک به درک ویژگی های مختلف حمل و نقل در سیستم استفاده کرد.

محدودیت ها [4] [ ویرایش ]

مانند هر مدل تقریبی، معادله پواسون - بولتزمن یک تقریب است تا یک نمایش دقیق. چندین فرض برای تقریب پتانسیل لایه پراکنده ساخته شد. اندازه محدود یون‌ها ناچیز در نظر گرفته شد و یون‌ها به‌عنوان بارهای نقطه‌ای منفرد در نظر گرفته شدند، که در آن یون‌ها با میانگین میدان الکترواستاتیکی همسایگان خود به جای هر همسایه به‌صورت جداگانه برهم‌کنش دارند. علاوه بر این، فعل و انفعالات غیر کولمبی در نظر گرفته نشد و برهمکنش های خاصی مانند همپوشانی کره های هیدراتاسیون یونی در یک سیستم آبی در نظر گرفته نشد. مجاز بودنحلال ثابت در نظر گرفته شد، که منجر به یک تقریب تقریبی شد زیرا مولکول‌های قطبی از حرکت آزادانه در هنگام برخورد با میدان الکتریکی قوی در سطح جامد جلوگیری می‌کنند.

اگرچه این مدل با محدودیت‌های خاصی مواجه است، اما لایه‌های دوگانه الکتریکی را به خوبی توصیف می‌کند. خطاهای ناشی از مفروضات ذکر شده قبلی در بیشتر موارد یکدیگر را خنثی می کنند. محاسبه برهمکنش های غیر کولمبی غلظت یون را در سطح افزایش می دهد و منجر به کاهش پتانسیل سطح می شود. از سوی دیگر، گنجاندن اندازه محدود یون ها باعث اثر معکوس می شود. معادله پواسون-بولتزمن برای تقریب پتانسیل الکترواستاتیک در سطح برای محلول های آبی نمک های تک ظرفیتی در غلظت های کمتر از 0.2 M و پتانسیل های بیش از 50-80 میلی ولت مناسب ترین است.

در حد برهمکنش های الکترواستاتیکی قوی، یک تئوری جفت قوی تر از جفت ضعیف فرض شده در استخراج نظریه پواسون-بولتزمن کاربرد دارد. [17]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

دو لایه

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%E2%80%93Boltzmann_equation

+ نوشته شده در یکشنبه هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی