از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

قضیه منحصربه‌فرد بودن معادله پواسون بیان می‌کند که برای یک کلاس بزرگ از شرایط مرزی ، معادله ممکن است راه‌حل‌های زیادی داشته باشد، اما گرادیان هر جواب یکسان است. در مورد الکترواستاتیک ، این بدان معنی است که یک میدان الکتریکی منحصر به فرد مشتق شده از یک تابع پتانسیل که معادله پواسون را در شرایط مرزی برآورده می کند، وجود دارد.

 

فهرست

اثبات [ ویرایش ]

بیان کلی معادله پواسون در الکترواستاتیک است

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}،}

جایی که\varphiپتانسیل الکتریکی است و\rho_fتوزیع شارژ در برخی از مناطق استV با سطح مرزیاس.

منحصر به فرد بودن راه حل را می توان برای یک کلاس بزرگ از شرایط مرزی به شرح زیر اثبات کرد.

فرض کنید که ما ادعا می کنیم دو جواب معادله پواسون داریم. اجازه دهید این دو راه حل را نام ببریم\varphi _{1}و\varphi _{2}. سپس

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}،}و

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.}

نتیجه می شود که{\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}حل معادله لاپلاس است که یک مورد خاص از معادله پواسون است که برابر است با{\displaystyle 0}. با تفریق دو راه حل بالا به دست می آید

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}-\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}= 0.}

 

 

 

 

( 1 )

با اعمال هویت دیفرانسیل برداری می دانیم که

{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi .}

با این حال، از ( 1 ) ما همچنین می دانیم که در سراسر منطقه{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0.} در نتیجه، جمله دوم به صفر می رسد و ما آن را پیدا می کنیم

{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}.}

با گرفتن انتگرال حجم بر روی منطقهV، ما آن را پیدا می کنیم

{\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf { \nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}

با اعمال قضیه واگرایی ، عبارت بالا را به صورت بازنویسی می کنیم

{\displaystyle \int _{S}(\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\mathbf {\nabla } \ varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}

 

 

 

 

( 2 )

اکنون به طور متوالی سه شرط مرزی متمایز را در نظر می گیریم: یک شرط مرزی دیریکله، یک شرط مرزی نویمان، و یک شرط مرزی مختلط.

ابتدا، موردی را در نظر می گیریم که در آن شرایط مرزی دیریکله به صورت مشخص شده است\varphi = 0در مرز منطقه اگر شرط مرزی دیریکله دراستوسط هر دو راه حل (به عنوان مثال، اگر\varphi = 0در مرز)، سپس سمت چپ ( 2 ) صفر است. در نتیجه، ما متوجه می شویم که

{\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}

از آنجایی که این انتگرال حجمی یک کمیت مثبت است (به دلیل مجذور عبارت)، باید داشته باشیم{\displaystyle \nabla \varphi =0}در تمام نقاط علاوه بر این، به دلیل گرادیان از\varphiهمه جا صفر است و\varphiدر مرز صفر است،\varphiباید در کل منطقه صفر باشد. در نهایت، از آن زمان \varphi = 0در سراسر منطقه، و از آن زمان{\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}بنابراین در سراسر منطقه{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}در سراسر منطقه این ثابت می کند که حل منحصر به فرد معادله پواسون با شرط مرزی دیریکله وجود دارد.

دوم، موردی را در نظر می گیریم که در آن شرایط مرزی نویمان به صورت مشخص شده است{\displaystyle \nabla \varphi =0}در مرز منطقه اگر شرط مرزی نویمان بر رویاسبا هر دو راه حل، سپس سمت چپ ( 2 ) دوباره صفر می شود. در نتیجه، مانند قبل، متوجه می شویم که

{\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}

مانند قبل، چون این انتگرال حجمی یک کمیت مثبت است، باید داشته باشیم{\displaystyle \nabla \varphi =0}در تمام نقاط علاوه بر این، به دلیل گرادیان از\varphiهمه جا در حجم صفر استV، و به دلیل شیب از\varphiهمه جا در مرز صفر استاس، از این رو\varphiباید ثابت باشد --- اما نه لزوماً صفر --- در کل منطقه. در نهایت، از آن زمان{\displaystyle \varphi =k}در سراسر منطقه، و از آن زمان{\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}بنابراین در سراسر منطقه{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}-k}در سراسر منطقه این ثابت می‌کند که راه‌حل منحصربه‌فرد تا یک ثابت افزایشی معادله پواسون با شرط مرزی نویمان وجود دارد.

تا زمانی که گرادیان یا پتانسیل در هر نقطه از مرز مشخص شده باشد، شرایط مرزی مختلط می‌تواند ارائه شود . شرایط مرزی در بی نهایت نیز برقرار است. این نتیجه از این واقعیت است که انتگرال سطح در ( 2 ) هنوز در فواصل زیاد ناپدید می شود زیرا انتگرال سریعتر از رشد مساحت سطح تجزیه می شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniqueness_theorem_for_Poisson%27s_equation