قضیه یگانه بودن برای معادله پواسون
از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
قضیه منحصربهفرد بودن معادله پواسون بیان میکند که برای یک کلاس بزرگ از شرایط مرزی ، معادله ممکن است راهحلهای زیادی داشته باشد، اما گرادیان هر جواب یکسان است. در مورد الکترواستاتیک ، این بدان معنی است که یک میدان الکتریکی منحصر به فرد مشتق شده از یک تابع پتانسیل که معادله پواسون را در شرایط مرزی برآورده می کند، وجود دارد.
فهرست
اثبات [ ویرایش ]
بیان کلی معادله پواسون در الکترواستاتیک است
جایی کهپتانسیل الکتریکی است و
توزیع شارژ در برخی از مناطق است
با سطح مرزی
.
منحصر به فرد بودن راه حل را می توان برای یک کلاس بزرگ از شرایط مرزی به شرح زیر اثبات کرد.
فرض کنید که ما ادعا می کنیم دو جواب معادله پواسون داریم. اجازه دهید این دو راه حل را نام ببریمو
. سپس
و
نتیجه می شود کهحل معادله لاپلاس است که یک مورد خاص از معادله پواسون است که برابر است با
. با تفریق دو راه حل بالا به دست می آید
| ( 1 ) |
با اعمال هویت دیفرانسیل برداری می دانیم که
با این حال، از ( 1 ) ما همچنین می دانیم که در سراسر منطقه در نتیجه، جمله دوم به صفر می رسد و ما آن را پیدا می کنیم
با گرفتن انتگرال حجم بر روی منطقه، ما آن را پیدا می کنیم
با اعمال قضیه واگرایی ، عبارت بالا را به صورت بازنویسی می کنیم
| ( 2 ) |
اکنون به طور متوالی سه شرط مرزی متمایز را در نظر می گیریم: یک شرط مرزی دیریکله، یک شرط مرزی نویمان، و یک شرط مرزی مختلط.
ابتدا، موردی را در نظر می گیریم که در آن شرایط مرزی دیریکله به صورت مشخص شده استدر مرز منطقه اگر شرط مرزی دیریکله در
توسط هر دو راه حل (به عنوان مثال، اگر
در مرز)، سپس سمت چپ ( 2 ) صفر است. در نتیجه، ما متوجه می شویم که
از آنجایی که این انتگرال حجمی یک کمیت مثبت است (به دلیل مجذور عبارت)، باید داشته باشیمدر تمام نقاط علاوه بر این، به دلیل گرادیان از
همه جا صفر است و
در مرز صفر است،
باید در کل منطقه صفر باشد. در نهایت، از آن زمان
در سراسر منطقه، و از آن زمان
بنابراین در سراسر منطقه
در سراسر منطقه این ثابت می کند که حل منحصر به فرد معادله پواسون با شرط مرزی دیریکله وجود دارد.
دوم، موردی را در نظر می گیریم که در آن شرایط مرزی نویمان به صورت مشخص شده استدر مرز منطقه اگر شرط مرزی نویمان بر روی
با هر دو راه حل، سپس سمت چپ ( 2 ) دوباره صفر می شود. در نتیجه، مانند قبل، متوجه می شویم که
مانند قبل، چون این انتگرال حجمی یک کمیت مثبت است، باید داشته باشیمدر تمام نقاط علاوه بر این، به دلیل گرادیان از
همه جا در حجم صفر است
، و به دلیل شیب از
همه جا در مرز صفر است
، از این رو
باید ثابت باشد --- اما نه لزوماً صفر --- در کل منطقه. در نهایت، از آن زمان
در سراسر منطقه، و از آن زمان
بنابراین در سراسر منطقه
در سراسر منطقه این ثابت میکند که راهحل منحصربهفرد تا یک ثابت افزایشی معادله پواسون با شرط مرزی نویمان وجود دارد.
تا زمانی که گرادیان یا پتانسیل در هر نقطه از مرز مشخص شده باشد، شرایط مرزی مختلط میتواند ارائه شود . شرایط مرزی در بی نهایت نیز برقرار است. این نتیجه از این واقعیت است که انتگرال سطح در ( 2 ) هنوز در فواصل زیاد ناپدید می شود زیرا انتگرال سریعتر از رشد مساحت سطح تجزیه می شود.
همچنین ببینید [ ویرایش ]
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniqueness_theorem_for_Poisson%27s_equation