این مقاله در مورد رویکرد کلاسیک به توابع گرین است. برای یک بحث مدرن، راه حل اساسی را ببینید .

انیمیشنی که نشان می‌دهد چگونه توابع گرین را می‌توان برای حل یک معادله دیفرانسیل با منبع دلخواه بر هم قرار داد.

اگر کسی راه حل معادله دیفرانسیل را با توجه به منبع نقطه ای بداند{\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,y)=\delta (xy)}و عملگر دیفرانسیل{\textstyle {\hat {L}}(x)}خطی است، سپس می توان آنها را برای یافتن راه حل بر هم گذاشت{\textstyle u(x)=\int f(y)G(x,y)\,dy}برای یک منبع کلی{\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}.

در ریاضیات ، تابع گرین پاسخ ضربه ای یک عملگر دیفرانسیل خطی ناهمگن است که روی یک دامنه با شرایط اولیه یا شرایط مرزی مشخص تعریف شده است.

این بدان معناست که اگر L عملگر دیفرانسیل خطی باشد، پس

  • تابع سبز G حل معادله LG  =  δ است که δ تابع دلتای دیراک است .
  • حل مسئله مقدار اولیه Ly  =  f کانولوشن  ( G⁎f  )  است ، که در آن G تابع سبز است.

از طریق اصل برهم نهی ، با توجه به یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی (ODE)، L (راه حل) = منبع، می توان ابتدا L (سبز) = δ s را برای هر s حل کرد، و متوجه شد که، چون منبع مجموع دلتا است . توابع ، جواب مجموع توابع گرین نیز با خطی بودن L است.

توابع گرین به نام جورج گرین ، ریاضیدان بریتانیایی ، که برای اولین بار این مفهوم را در دهه 1820 توسعه داد، نامگذاری شده است. در مطالعه مدرن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی ، توابع گرین عمدتاً از نقطه نظر راه حل های اساسی مورد مطالعه قرار می گیرند .

در نظریه چند جسمی ، این اصطلاح همچنین در فیزیک ، به ویژه در نظریه میدان کوانتومی ، آیرودینامیک ، هواآکوستیک ، الکترودینامیک ، لرزه‌شناسی و نظریه میدان آماری برای اشاره به انواع مختلف توابع همبستگی ، حتی آنهایی که با تعریف ریاضی مطابقت ندارند، استفاده می‌شود. . در نظریه میدان کوانتومی، توابع گرین نقش انتشار دهنده را بر عهده می گیرند .

 

فهرست

تعریف و کاربرد [ ویرایش ]

تابع گرین، G ( x ، s ) ، یک عملگر دیفرانسیل خطی {\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L} (x)}عمل بر روی توزیع ها در زیر مجموعه ای از فضای اقلیدسی \mathbb {R} ^{n}، در یک نقطه s ، هر راه حلی از

 

 

 {\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta (sx)\,,}

 

 

( 1 )

که در آن δ تابع دلتای دیراک است . این ویژگی تابع گرین را می توان برای حل معادلات دیفرانسیل فرم مورد سوء استفاده قرار داد

 

{\displaystyle \operatorname {L} \,u(x)=f(x)~.}

 

 

 

 

( 2 )

اگر هسته L غیر بی اهمیت باشد، تابع Green منحصر به فرد نیست. با این حال، در عمل، ترکیبی از تقارن ، شرایط مرزی و/یا سایر معیارهای تحمیل شده از بیرون، تابع گرین منحصر به فرد را ایجاد می کند. توابع گرین را می توان بر اساس نوع شرایط مرزی برآورده شده با عدد تابع گرین دسته بندی کرد . همچنین، توابع گرین به طور کلی توزیع هستند ، نه لزوما توابع یک متغیر واقعی.

توابع گرین همچنین ابزارهای مفیدی در حل معادلات موج و معادلات انتشار هستند . در مکانیک کوانتومی ، تابع گرین از هامیلتونین یک مفهوم کلیدی با پیوندهای مهم با مفهوم چگالی حالات است .

عملکرد سبز همانطور که در فیزیک استفاده می شود معمولاً با علامت مخالف تعریف می شود. به این معنا که،

 

{\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta (xs)~.}

این تعریف به دلیل یکنواخت بودن تابع دلتای دیراک، هیچ یک از ویژگی های تابع گرین را تغییر قابل توجهی نمی دهد.

 

اگر عملگر ترجمه ثابت باشد ، یعنی چه زمانی{\displaystyle \operatorname {L} }دارای ضرایب ثابت نسبت به x است، پس تابع گرین را می توان به عنوان یک هسته کانولوشن در نظر گرفت ، یعنی

 

{\displaystyle G(x,s)=G(xs)~.}

 

در این مورد، تابع گرین همان پاسخ ضربه ای نظریه سیستم خطی-زمان ثابت است .